НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 62-5, УДК 531

А. М. Гуськов, Г. Я. Пановко, Чан-Ван-Бинь

Введение. Широкое распространение автопараметрических (маятниковых) гасите­лей колебаний обусловлено их специфическими свойствами [Виб 1981], [Кор1988], [Baj.1994], [Ton1992], [Ton2000]. Маятниковые гасители колебаний используются на практике для снижения уровня колебаний различных инженерных сооружений: дымовых труб, телевизионных башен, мостов, высотных зданий, антенн, для автобалансировки ва­лов и др. Особенностью их работы является использование внутреннего резонанса 1:2 в динамической системе с присоединенным маятником. Сложные динамические явления в автопараметрических системах до настоящего времени полностью не изучены. Постоянно проводимые исследования [Бри1977], [Кор 1988], [Aba 2003], [Baj1994], [Car.1988], [Dan2001], [Nab1994], [Nay1979], [Sch1986], [Ton1990], [Ton1991], [Ton1992], [Vya2001], [War2006] показывают, что, в зависимости от уровня и частотного спектра возбуждения, возможны, как чисто периодические стационарные режимы, так и квазипериодические и более сложные – хаотические колебания. Автопараметрический гаситель эффективно ра­ботает только в ограниченной полосе частот внешнего возбуждения и не приводит к появ­лению колебаний с большими амплитудами на других частотах: включение и выключение происходит жестко.

Целью настоящей работы является исследование влияния параметров автопара­метрических систем на возможность подавления вибраций основной системы, а так же выявление эффективности таких систем по сравнению с классическим линейным дина­мическим гасителем колебаний при гармоническом возбуждении. Во второй части будут показаны результаты экспериментальных исследований

На рис. 1 (а) показана принципиальная схема наиболее распространенного вида ма­ятникового гасителя колебаний. На рис. 1 (б) изображена схема классического линейного гасителя колебаний. Объектом гашения колебаний является абсолютно твердое тело (ос­новное тело) массой М, закрепленное на линейном упруго-вязком подвесе и находящееся в поле сил тяжести. Благодаря идеальным направляющим тело может совершать только по­ступательное перемещение в направлении вертикальной оси Оу, начало которой совме­щено со статическим положением центра масс тела. К телу в точке А шарнирно прикреп­лен маятник, состоящий из невесомого абсолютно жесткого стержня длиной l, на свобод­ном конце которого находится сосредоточенная масса m. Маятник может совершать угло­вые колебания, которые описываются углом отклонения α оси маятника от вертикали, проходящей через точку его подвеса.

Предполагаем, что на основное тело (в точке В) действует внешнее гармоническая возмущающая сила , развиваемая дебалансным возбудителем колебаний с массой и эксцентриситетом , вращающимся с постоянной угловой скоростью , т.е. в направле­нии оси действует гармоническая сила .

Рассматриваемая модель состоит из двух парциальных подсистем: 1) основного тела на упруго-вязком подвесе с неподвижным маятником , 2) маятника с непод­вижным основным телом . Эта модель позволяет исследовать различ­ные динамические эффекты: неравномерность вращения маятника, динамическую устой­чивость вертикального положения маятника, вибрационное поддержание вращения маят­ника и др.

Риc. 1. (а) - Модель автопараметрического маятникового гасителя колеба­ний при силовом возбуждении; (б) - модель классического динамического гасителя при силовом возбуждении.

Для целей настоящей работы особый интерес представляет поведение основного тела при возникновении в этой системе автопараметрического резонанса, когда частота возбуждения близка к собственной частоте основной подсистемы, и в два раза больше собственной частоты второй парциальной подсистемы.

Уравнения движения автопараметрического маятникового гасителя колеба­ний при силовом возбуждении. Под действием силы тяжести система может находиться в равновесном положении. Считая характеристику закрепления основного линейной с ко­эффициентом жесткости , статическое отклонение основного тела равно (при этом ве­личиной массы дебаланса пренебрегаем)

(1)

Со стороны связи при движении будет приложена сила, направленная вверх и рав­ная , где - отклонения тела от равновесного положения вниз, - коэффициент линейного вязкого демпфирования связи, - скорость движения тела. Счи­таем так же, что на маятник при его отклонении от вертикали действует возвращающий момент линейного сопротивления . Используя уравнения Лагранжа второго рода, представим уравнения движения рассматриваемой системы в следующем виде

(2)

Уравнения описывают нелинейные колебания автопараметрической системы с двумя степенями свободы. Отклонения маятника от вертикали могут быть произвольными. Для описания данной системы необходимо задать следующие десять физических пара­метров

(3)

Приведение к безразмерному виду. Малые свободные колебания первой парциальной подсистемы описываются уравнением

(4)

Введем нормированный коэффициент линейного демпфирования для обобщенной коор­динаты в следующем виде [Бид 1980]

(5)

Малые парциальные колебания второй парциальной подсистемы имеют вид

(6)

Аналогично , нормированный коэффициент линей­ного демпфирования для обобщенной координаты равен

(7)

Введем масштаб времени , пропорциональный периоду собственных колебаний первой подсистемы и масштаб линейных перемещений , равный статическому отклоне­нию :

(8)

Безразмерное время и безразмерное перемещение основного тела представим как

(9)

Производные по безразмерному времени будем обозначать в дальнейшем «штрихом»: . После подстановки соотношений , в систему с учетом введенных ко­эффициентов демпфирования , получим

(10)

Внешнее воздействие в связано с наличием дебаланса и представлено силой

(11)

В уравнениях , использованы следующие обозначения безразмерных комплексов

(12)

При отсутствии внешнего воздействия - , - уравнения имеют тривиальное реше­ние. Если маятник неподвижен, то уравнения описывают вертикальные колеба­ния основной массы вместе с зафиксированным маятником

(13)

Если закрепить основную массу в равновесном положении под действием силы тяжести, то уравнения определяют реакцию удерживающей связи и свободные колебания присое­диненного к основной массе маятника

(14)

Учитывая очевидный смысл параметра во втором уравнении системы , используем в дальнейшем обозначение для собственной частоты малых колебаний маятника

(15)

Представим уравнения в следующем виде

(16)

Система характеризуется шестью значимыми безразмерными комплексами

(17)

Имея в виду дальнейшие вычисления, разрешим систему уравнений относительно вто­рых производных по времени от обобщенных координат

(18)

Аналитическое решение. Для выяснения внутренних свойств системы уравнений и построения асимптотического решения вблизи внутреннего резонанса воспользу­емся методом многомасштабных разложений [Nay 1979]. Особенностью метода является автоматизм построения высших приближений. Введем формальный параметр малости и выберем систему независимых временных масштабов

(19)

Неизвестные величины зависят от всех учитываемых временных масштабов, которые рассматриваются как независимые переменные

(20)

При этом полная производная по времени раскладывается в ряд по параметру :

(21)

В то же время, выбор порождающей системы представляет собой неформальную процедуру и зависит от искомого решения. Будем следовать масштабированию парамет­ров и переменных, предложенному в работах [Baj 1994], [Vya 2001]. Положим

(22)

После подстановки соотношений , в уравнения с учетом разложения три­гонометрических функций в ряд Тейлора получим следующие выражения:

(23)

Порождающая система получается из путем приравнивания коэффициентом при в первой степени:

(24)

Таким образом, при выбранной схеме масштабирования порождающая система со­ответствует свободным колебаниям двух независимых линейных осцилляторов с собст­венными частотами, равными . Общее решение порождающей системы пред­ставим в комплексной форме

(25)

Комплексно сопряженные величины обозначаются здесь и в дальнейшем звездочкой в ка­честве верхнего индекса.

Приравняем коэффициенты при во второй степени в системе уравнений :

(26)

Правые части в равны

(27)

В уравнениях неизвестными величинами являются первые приближения пере­менных . Левые части уравнений совпадают с порождающей системой уравнений . Для обеспечения равномерной пригодности по времени асимптотических разложе­ний потребуем отсутствия резонансных возбуждений в правых частях уравнений . Заметим, что . Подставим в правые части решение порождающей системы

(28)

После соответствующих упрощений, получаем

(29)

где обозначают комплексно сопряженные выражения.

Потребовав, чтобы решения не содержали вековых членов, получаем сис­тему дифференциальных уравнений относительно первого медленного масштаба времени :

(30)

Соотношения будут удовлетворены тождественно, если между частотными пара­метрами системы выполняются следующие соотношения:

(31)

В этом случае экспоненциальные функции можно сократить, и получим уравнения для ус­тановления амплитуд и фаз

(32)

Соотношение соответствует внутреннему резонансу в автопараметрической системе . Если частота внешнего воздействия равна при этом собственной час­тоте основной системы - , - то имеет место внешний резонанс.

Рассмотрим случай малых частотных расстроек

(33)

Подставим в уравнения . Заметим, что . После проведения сокраще­ний, получаем следующие два уравнения

(34)

Представим комплексные функции в полярном виде

(35)

При этом амплитуды и фазы являются действительными функ­циями медленного времени . После подстановки в получаем

(36)

Учитывая вид экспоненциальных функций в , введем дополнительные переменные, не содержащие монотонно растущих слагаемых

(37)

Соотношения принимают вид

(38)

Разделив действительные и мнимые части уравнений , получим систему четырех урав­нений, определяющих амплитуды и фазы колебаний вблизи резонанса:

(39)

Полученные уравнения определяют установление во времени амплитуд и фаз в медленном времени . Данная система обыкновенных диффе­ренциальных уравнений не имеет точного решения. Неподвижным точкам системы соответствуют периодические движения исходной системы .

Определение периодических движений. Рассмотрим стационарные решения сис­темы

(40)

Получаем следующую систему трансцендентных уравнений

(41)

Существует два стационарных решения системы .

Решение 1. В этом случае маятник не работает - . Последние два уравнения удовлетворяются тождественно. Первые два уравнения дают следующее решение

(42)

Переходя к амплитуде переменной , - и, учитывая соотношения , получим

(43)

Решение 2. Соответствует стационарной работе динамического гасителя.

(44)

Соответственно, амплитуда основного тела и фаза его стационарных колебаний маятника

(45)

Для определения стационарной амплитуды маятника и фазы колебаний основного тела имеем следующие два уравнения

(46)

Перейдем к амплитуде маятника в виде , тогда уравнений можно запи­сать в следующем виде

(47)

На рис. 2 приведены результаты расчетов по формулам (пунктирная черная линия) – для системы с выключенным маятником, , (красные линии) – для системы с работающим маятником, а также расчеты, проведенные методом установления (си­ние линии) для полной системы . Расчеты проведены при следующих значениях параметров .

На рис. 2а видно, что при настройке маятника на внутренний резонанс в об­ласти внешнего резонанса происходит существенное снижение амплитуд основного тела (сравнение с резонансной характеристикой, полученной при неподвижном маятнике). Следует обратить внимание на различие решений, полученных с помощью асимптотиче­ского приближения – красные линии, - и решений, найденных методом установления при численном интегрировании системы уравнений . Дело в том, что методом установле­ния можно получить только устойчивые решения. А стационарные решения системы пер­вого приближения получаются без анализа устойчивости. Можно отметить, что маятни­ковый гаситель колебаний работает только вблизи резонансного пика и вне интер­вала маятник остается неподвижным (рис. 2б).

Рис. 2. Амплитудные характеристики автопараметрической системы, срав­нение результатов.

Результаты проведенных вычислений показывают, что расчетные формулы , , являются достаточно точными в области вблизи основного резонанса и могут быть использованы при проектировании подобных систем.

Исследование устойчивости стационарных движений системы . Проварьируем уравнения около равновесных состояний. Обозначим вектор вариаций как

(48)

Тогда уравнения в вариациях можно записать в следующем виде

(49)

где соответствующая матрица Якоби. Ввиду того, что матрица Якоби имеет постоянные в масштабе элементы, решение системы ищется в виде подстановки Эйлера . Условием устойчивости соответствующего стационарного реше­ния системы является отрицательность действительных частей корней характеристиче­ского полинома системы

(50)

Непосредственные расчеты показывают, что стационарные режимы вне зоны, ограничен­ной вертикальными линиями на характеристиках, полученных методом установления (рис. 2а), являются неустойчивыми - . То есть, режим динамического гаше­ния маятниковым гасителем наблюдается в некотором диапазоне частот, вблизи ос­новного резонанса заданной системы. Ширина области надежного гашения вибраций (рис. 3) зависти от параметров системы .

Сравнение свойств динамических гасителей. Отмеченная особенность автопа­раметрического гасителя колебаний представляет определенный интерес для решения практических задач. Дело в том, что большие амплитуды вибраций наблюдаются, когда в спектре внешних воздействий имеются частоты, близкие к собственным частотам дина­мической системы. Желание уменьшить эти вибрации приводит к необходимости разраба­тывать дополнительные устройства – динамические гасители колебаний [Виб 1981], [Бри 1977], [Кар 1988], [Кор 1988] и др., - присоединение которых может изменять спектр соб­ственных частот расширенных динамических систем.

Рис. 3. 1 – АЧХ основной парциальной системы (без включенного гасителя колебаний); 2 – АЧХ системы с работающим автопараметрическим гасителем колебаний; 3 – АЧХ системы с работающим классическим динамическим гасителем колебаний.

При этом возможны ситуации, при которых опасными окажутся другие частоты внешнего возбуждения. Автопараметрический гаситель колебаний оказывается «работающим» только вблизи настраиваемой частоты. Именно эта особенность может быть особенно привлекательной в приложениях. Для пояснения этой особенности на рис. 3 показаны амплитудно-частотные характеристики автопараметрического (рис. 1а) и классического (рис. 1б) динамических гасителей колебаний при одинаковых массовых и частотных парциальных характеристиках.

Сравнение показывает, что вблизи резонанса при прочих равных условиях (оставляя в стороне конструктивные особенности и вопросы прочности) классический гаситель может оказаться эффективнее. Но при этом появляются значительные боковые резонансные пики, которые, в случае большого разброса частотного воздействия могут сыграть отрицательную роль.

Приведенная в настоящей работе математическая модель нелинейной динамической системы с автопараметрическим гасителем колебаний позволяет провести эффективное численное исследование динамики системы при различных внешних воздействиях.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 07-08-00253-а, 07-08-00592-а и гранта CRDF НОЦ - 018.

ЛИТЕРАТУРА

[Бид 1980] Бидерман В. Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. – М.: Высш. школа, 1980. – 408 с.

[Виб 1981] Вибрации в технике. Справочник. Т.6. Защита от вибрации и ударов/ Под ред. К. В.Фролова.- М.: Машиностроение, 1995.-456 с.

[Бри 1977] Брискин Е. С.,Чернышев В.М. Оптимизация параметров динамиче­ских гасителей колебаний // Там же.-1977.-╧2.190-192.

[Кар 1988] Карамышкин В. В. Динамические гасители колебаний./Под ред. К.М. Ра­гульскиса.- Л.: Машиностроение Ленингр., 1988. – 105 с.

[Кор 1988] Коренев Б. Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний. – М.: Наука. Гл. ред Физ.-мат.-лит., 1988. – 304 с., ил. 97.

[Най 1976] Найфэ А. Х. Методы возмущений. - М.: Издатель­ство «Мир», 1976. – 455с.

[Aba 2003] Abadi. Nonlinear Dynamics of Self-excitation in Autoparametrci Systems. Utrecht: Utrecht University, 2003. – 95 p.

[Baj 1994] Bajaj A. K., Chang S. L., Johnson J. M. Amplitude modulated dynamics of a resonantly excited autoparametric two degree-of-freedom system // Nonlinear dynamics 5 (1995), pp. 433-457.

[Car 1988] Cartmell M. P., Roberts J. W. Simultaneous combination resonances in an autoparametrically resonant system. // Journal of Sound and Vibration 123 (1988), no.1, 81-101.

[Dan 2001] Danuta S., Maciej K. Nonlinear oscillations of a coupled autoparametrical system with ideal and non-ideal source of power. - Academic Press, 2001. – 20 p.

[Nab 1994] Nabergoj R., Tondl A., Virag Z. Autoparametric resonance in an exter­nally excited system // Chaos, Solition Fractals , 1994, 4, pp. 263-273.

[Nay 1979] Nayfeh A. H, Mook D. T. Nonlinear oscillations. New York: Wiley & Suns, 1979.

[Sch 1986] Schmidt G., Tondl A. Nonlinear vibrations. - Berlin: Akademie-Verlag,1986.

[Ton 1990] Tondl A., Nabergoj R. Model simulation of parametrically excited ship roll­ing. Nonlinear Dyn. 1, 134-141, 1990.

[Ton 1991] Tondl A. Quenching of selt-exited vibrations. - Amsterdam: Elsevier, 1991b.

[Ton 1992] Tondl A. A contribution to the analysis of autoparametric systems // Acta tech. Cesk. Akad. Ved 37, 735-758, 1992b.

[Ton 2000] Tondl A., Ruijgrok Th., Verhulst F., Nabergoj R. Autoparametric reso­nance mechanical systems. - Cambridge: Cambridge university press, 2000.-196 p.

[Vya 2001] Vyas A., Bajaj A.K. Dynamics of autoparametric vibration absorbers using multiple pendulums // Journal of Sound and vibration 246(1), 115-135, 2001.

[War 2006] Warminski J., Kecik K. Autoparametric vibration of nonlinear system with pendulum / Hindawi publishing Corporation Mathematical problem in Engineering. Article ID 80705, 1-19, Vol.2006.