Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Межкоординатные связи в теории виброзащиты

# 04, апрель 2011
Файл статьи: О©╫О©╫О©...©╫_P.pdf (606.85Кб)
авторы: Директор НИИ Елисеев С. В., доцент Ермошенко Ю. В., аспирант Большаков Р. С.

УДК 62.752

НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования

Иркутский государственный университет путей сообщения

eliseev_s@inbox.ru

ВВЕДЕНИЕ

Вопросам динамики виброзащитных систем в их разнообразных формах конструктивно-технического исполнения посвящено достаточно много работ [1-3]. Как правило, в составе механических колебательных систем используются традиционные элементы в виде пружин, демпферов и твердых тел. Вместе с тем, в последние годы активно используются для получения  различных динамических свойств и другие элементы, позволяющие ввести в рассмотрение динамические эффекты в преобразованиях относительного движения, а также различные рычажные связи и механизмы [4-6].

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В статье рассматриваются возможности учета в динамике транспортных подвесок рычажных связей, которые реализуются специально вводимыми механизмами. Предлагаемая подвеска, точнее, ее модель,  состоит (рис. 1) из объекта защиты массой M с моментом инерции I. Центр тяжести твердого тела расположен в т. А; в системе  подвески задействованы два рычага с массами m1 и m2; их моменты инерции относительно т. А обозначаются соответственно через I1 и I2. К такой схеме приводится, например, тележка локомотива с двумя тяговыми двигателями [5]; центры тяжести рычагов A1, B1 и A2, B2 обозначены соответственно точками O1 и O2.

Рис. 1. Расчетная схема тележки с двигателями с опорно-осевой подвеской

 

 

На рис. 1 звено с передаточной функцией W0 представляет собой дополнительную связь. В простейшем виде она может быть реализована упругим элементом с жесткостью k3 или другим звеном [7]. Предполагается, что силы малы и оказывают малое влияние на динамику системы. Положение центров тяжести определяется соответствующими длинами отрезков l1-l6. Между точками B1 и B2 рычагов действует элемент с передаточной функцией W. Координаты y1 и y2 взяты в неподвижной системе координат. Предполагается также, что в точках A1 и A2 допускаются горизонтальные скольжения, что обеспечивает возможность вертикального движения центра тяжести объекта защиты (точка A). Для дальнейших расчетов примем, что

                                    (1)

В определении кинетической энергии системы на рис. 1 можно использовать теорему Кенига [8]. Учитывая особенности конструктивного построения транспортной подвески, наличие сочленений трех твердых тел, можно предположить достаточным кинетическую энергию системы представить в виде суммы кинетических энергий составных частей в движении относительно неподвижной системы координат, тогда

T = T1 + T2 + T3.                                                                                                                        (2)

 

ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

В выражении (2) T1 соответствует кинетической энергии тела массой m1, имеющего относительно центра тяжести (т.А) момент инерции I1, поэтому

                                                                                                   (3)

где y — координата центра тяжести твердого тела (т. А), угол поворота относительно центра тяжести. Кинетическая энергия подвижных блоков m1I1 и m2I2 определяется с учетом сложного характера их движения. Найдем скорость точки A1 в неподвижной системе координат, используя схему распределения скоростей, показанную на рис. 2. Отметим, что более точным является представление контакта подвижного блока с вибрирующей поверхностью с учетом возможности горизонтального смещения. Однако, на предварительной стадии рассмотрения, будем полагать этот фактор, также как и демпфирование колебаний, маловлияющим. Введем ряд дополнительных соотношений

                                                                                                     (4)

где  .

 

Рис. 2. Схема распределения скоростей

в подвижном блоке

 

Соответственно для второго блока получим

                                                   (5)

при этом

Подвижные рычажные фрагменты участвуют также во вращательном движении относительно точки A. Параметры этого вращения определяются как y1  z1 и y2  z2, что позволяет найти угловые скорости

                       (6)

                    (7)

где  при дальнейших расчетах принято, что  . Более детализированный учет параметров предполагает, что  а соответственно – . При этом  и  рассматриваются как малые приращения углов поворота. В свою очередь, полагая   и , можно записать соотношения

                                        (8)

Таким образом, кинетическая энергия рассматриваемой системы  с учетом (1÷8) может быть определена

                          (9)

Потенциальная энергия системы с учетом деформации упругих элементов запишется в виде

                (10)

где c3 = a3l0; а a3 - коэффициент, учитывающий геометрические особенности расположения рычагов: A1B1 и A2B2 принимаются в первом приближении такими, что выполняются следующие соотношения:

.

Воспользуемся для вывода дифференциальных уравнений движения формализмом Лагранжа и запишем ряд необходимых соотношений в системе координат полагая, что

                     (11)

Приведем выражение (10) к виду

      (12)

Используя (10)÷(11), получим систему дифференциальных уравнений движения в системе координат .

         (13)

          (14)

Коэффициенты уравнений (13), (14) приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Коэффициенты системы дифференциальных уравнений (13)÷(14) в координатах

a11

a12

a21

a22

Q1

Q2

Примечание: Q1, Q2 - обобщенные силы по координатам y и  .

                Структурная схема системы приведена на рис. 3. Её характерной особенностью является то, что связи между парциальными системами носят упругий характер. В отличие от традиционных представлений [8] условия «зануления» перекрестных связей определяются не только рычажными связями, которые формируются разнесением точек крепления пружин k1 и k2, но и параметрами рычажных механизмов c1 и c2.

Рис. 3. Структурная схема системы в координатах

Условия развязки колебаний между парциальными системами могут быть записаны в виде

.                                    (15)

По правилам Крамера [9] найдем, что

,                                                                                 (16)

.                                                                                             (17)

Используя таблицу 1 и структурную схему (рис. 3), найдем, что (при z1 = z2 = z):

            (18)

 

ВЫБОР СИСТЕМЫ КООРДИНАТ y1, y2

Аналогично можно получить детализированное выражение (17). Если использовать систему обобщенных координат y1, y2, то выражение для кинетической энергии примет вид:

       (19)

В свою очередь, потенциальная энергия определится:

           (20)

Найдем вспомогательные соотношения:

Используя (19)÷(20), запишем дифференциальные уравнения движения в системе координат y1 и y2 :

       (21)

Здесь

                                       (22)

Коэффициенты уравнений (21), (22) представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Коэффициенты системы дифференциальных уравнений в координатах y1, y2

a11

a12

a21

a22

Примечание: обобщенные силы по координатам y1 и y2 соответственно.

 

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ И ЕЕ ОСОБЕННОСТИ

Структурная схема системы в координатах y1 и y2 приведена на рис. 3. Анализ показывает, что рычажные связи существенным образом меняют связи между парциальными системами. Кроме того, передача внешних воздействий идет через механические цепи с формированием дополнительных инерционных сил, которые вносят свои коррективы в динамику взаимодействия звеньев.

 

Рис. 4. Структурная схема системы в координатах y1, y2

Из анализа структурной схемы системы в координатах y1 и y2 (рис.4) следует, что в системе возможно «зануление» связей между парциальными системами y1 и y2 на частоте

                                            (24)

Что касается общего вида передаточной функции (),  то при z1 = z2 получим

                                                                                            (25)

где коэффициенты d1-d3, n1-n3 определяются параметрами системы  и коэффициентами уравнений (22), (23).

Передаточная функция  имеет такой же вид, как и (24), однако, коэффициенты числителя будут другими. Для оценки устойчивости системы необходимо исследовать характеристическое уравнение (знаменатель (25)), например, в соответствии с критериями Рауса-Гурвица [10]. Для получения частот собственных колебаний решается  характеристическое уравнение, которое в данном случае сводится к биквадратному частотному уравнению.  В общем случае корни биквадратного уравнения будут действительными положительными числами. Отметим, что числитель и знаменатель передаточной функции имеют один порядок; что предполагаются следующие особенности системы:

при

                                               ,                                                       (26)

где  и коэффициенты, определяемые так же как n3 и d3.

В свою очередь, при

.                                                        (27)

Поскольку частотное уравнение числителя передаточной функции имеет 4-ый порядок, то можно ожидать в системе координат y1 и y2 появления двух динамических режимов по каждой координате. При определенных условиях можно полагать выполнение соотношения (порядки частотных уравнений числителя и знаменателя совпадают): ,   что приводит к специфичному виду движения объекта защиты при отсутствии угловых колебаний .

 Рассмотрим особенности динамических свойств подвески (рис. 1): вначале в системе обобщенных координат . Воспользуемся данными из таблицы 1 и введем некоторые обозначения. Пусть    (при этом z1z2 = z).  После некоторых преобразований найдем, что





 .

Числитель (25) можно привести к виду

                  (28)

откуда  

В свою очередь, знаменатель (29) принимает форму

                                                                            (29)

тогда

Из характеристического уравнения (29) можно найти граничное условие устойчивости по Раусу-Гурвицу [8]:

                                                                                                           (30)

что определяет возможность появления в системе циклической координаты. В общем случае рассматриваемая система может иметь два действительных положительных корня, что соответствует значениям двух частот собственных колебаний. На этих частотах амплитудно-частотная характеристика имеет резонансные пики (рис. 5). Однако система может иметь и комплексно-сопряженные корни, учитывая возможность большой вариативности.

Выбор параметров системы существенно влияет на вид амплитудно-частотной характеристики системы. На рис. 5 приведена АЧХ системы по координате y, график зависимости соответствует типовым проявлениям свойств механических  колебательных структур с устройствами преобразования движения в первом каскаде. В качестве настроечного параметра выбрана величина жесткости k3 упругого элемента, соединяющего рычаги A1A2 и B1B2 (рис. 1). Дальнейшее увеличение жесткости k3 меняет характер расположения частот динамического гашения относительно частот собственных колебаний. На рис. 5 приведена зависимость, отражающая условие нахождения режима динамического гашения при частоте меньшей, чем первая частота собственных колебаний. При больших значениях k3 АЧХ может иметь вид, при котором на высоких частотах система практически не «запирается» и имеет две частоты собственных колебаний (рис. 7). Общим для приведенных АЧХ является наличие двух частот динамического гашения и «запирания» системы на высоких частотах. Однако в частных случаях при определенных условиях система может иметь одну частоту  динамического гашения или даже не иметь таковой.

Амплитудно-частотные характеристики системы по координате  отличаются от АЧХ по координате y тем, что режим динамического гашения будет только один.

 

 

Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика системы по координате y с двумя режимами динамического гашения

 

 

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика системы по координате y при динамическом гашении до первого резонанса

 

 

Описание: p7

Для движения по координате  по правилу Крамера [ 7 ] можно записать

                                                                                               (31)

Найдем частотное уравнение числителя (31):

       (32)

Поэтому для координаты  в (25)

 ,

что касается коэффициентов характеристического уравнения, то

Частота динамического гашения по координате  определится значением

                                     (33)

Различные виды АЧХ системы по  при изменениях k3 приведены на рис. 8 (а, б, в), где  рис. 8а соответствует случаю нахождения режима динамического гашения между двумя резонансными частотами; случай б – соответствует режиму динамического гашения до первого резонанса. На рис. 8в показана в увеличенном масштабе зона динамического гашения.

 При рассмотрении системы в координатах y1 и y2, используя таблицу 2, запишем:

; , где






                                                                
(34)

;

Передаточная функция при входе z и выходе y1 имеет вид

           (35)

Частотное уравнение числителя (36) можно записать

      (36)

откуда найдем

    (37)

Отметим, что характеристическое уравнение в (36) остается таким же, как и в (25). Для координаты y2 частотное уравнение числителя (35) имеет вид

        (38)

откуда

       (39)

Исследуя уравнение числителя (36), можно получить самые разнообразные частотные характеристики с возможностями двух, одного или отсутствия режимов динамического гашения; можно получить условия y1 - y2 = 0, то есть режим, при котором угол поворота объекта .

 

 

Рис. 8 Амплитудно-частотные характеристики системы по φ

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, введение рычажных связей  в схему транспортной подвески может существенно расширить спектр динамических свойств  подвески и в случае построения системы управления параметрами системы обеспечить режимы частичного или полного гашения на определенных частотах воздействий со стороны основания.

 

ЛИТЕРАТУРА

1.        Хоменко А.П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных объектов. – Иркутск: ИГУ. 2000. – 293 с.

2.        Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля . М.: Машиностроение, 1972. – 372 с.

3.        Елисеев С.В., Волков Л.Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. – Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1990. – 312 с.

4.        Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты. Иркутский гос. ун-т путей сообщения. – Иркутск, 2009. – 159 с. – Рус. Деп. в ВИНИТИ 27.11.09 ╧737-В 2009.

5.        Ермошенко Ю.В. Управление вибрационным состоянием в задачах виброзащиты и виброизоляции // Дисс. на соиск. уч. ст. к.т.н. – Иркутск: ИрГУПС, 2002. – 185 с.

6.        Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т2. Динамика. – М.: Наука, 1980. – 640с.

7.        Дружинский И.А. Механические цепи. М.: Машиностроение. 1977. – 240 с.

8.        Ким П.Д. Теория автоматического управления в 2-х томах. Т.1. Линейные системы.  М.: Физматгиз, 2003. – 288 с.

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2023 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)