Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Динамический гаситель колебаний. Влияние места установки

# 03, март 2011
Файл статьи: О©╫О©╫О©...╫_P .pdf (819.65Кб)
авторы: Директор НИИ Елисеев С. В., доцент Ермошенко Ю. В., аспирант Большаков Р. С.

УДК 621.534.833

НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования

Иркутский государственный университет путей сообщения

eliseev_s@inbox.ru

Введение. Вопросы использования динамических гасителей в системах с двумя степенями свободы, при всей изученности проблемы динамического гашения колебаний [1÷3], редко рассматриваются в научной литературе. Вместе с тем, задачи защиты объекта в виде твердого тела на двух упругих опорах имеют значение для инженерной практики, поскольку системы «балочного» типа достаточно широко используются в транспортной динамике [4, 5].

Постановка задачи. Общие положения. Рассмотрим виброзащитную систему, представленную на рис. 1 в виде твердого тела, имеющего массу М и момент инерции I. В точке A находится центр тяжести системы. Его положение определяется соответствующими длинами отрезковl1 и l2. В точке A закрепляется Г-динамический гаситель с массами m1 и m2, разнесенными от шарнирного соединения на расстояния l6  и l7 соответственно. В точках B1 и B2  присоединяются упругие элементы жесткостью k­ 3 и k4; через l4 иl5 обозначены расстояния точек B1 и B2 от центра тяжести (точки A). Для описания движения  выбраны две системы обобщенных координат y1, y2 и y3 (эта система может быть трансформирована в систему координат y1, y2 и φ1, где φ1 - угол поворота Г-образного динамического гасителя колебаний (ДГ) относительно установившегося положения). Вторая система координат определяется координатами y, φ и φ1, где y - координата центра тяжести (или центра масс), φ - угол поворота твердого тела вокруг центра тяжести или центра масс, φ1 -угол поворота динамического гасителя (как вариант этой системы координат, могут быть использованы: y, φ и y3).

Рис. 1. Расчетная схема для задач транспортной динамики:

AE1=l1,AE2=l2,AB1=l4, AB2=l5, AC=l3; z1 и z2 – кинематические возмущения

Будем полагать, что на рис. 1 точка A соответствует положению центра тяжести твердого тела без учета динамического гасителя. Если принять, что ДГ устанавливается в точке C, то в такой системе положение центра масс может быть определено по формуле

                                           (1)

где начало координат выбрано в точке E1, совпадающей с концом балки (pис. 1). Если динамический гаситель обладает достаточно большой массой, то центр масс, определяемый по формуле (1), сместится от исходного положения в точке A в другую точку, назовем ее A1. На рис. 2 показано взаимное расположение интересующих нас точек и трансформируем ДГ к плоскому виду.

 

Рис. 2. Расчетная схема системы с упрощенным

ДГ и учетом смещения центра масс в т. A1

Изменение положения центра масс по сравнению с исходным положением, при котором центр тяжести твердого тела (т. А) и точка прикрепления ДГ (т. С) совпадали бы, характеризуется смещением т. С на величину l3 и определяется по формуле (1). В этом случае расстояние между центром тяжести и центром масс можно найти как

l0=l1x.                                                                  (2)

В дальнейших расчетах будем полагать, что механическая система движется поступательно со скоростью центра масс и вращается при этом вокруг центра масс. Кинетическая и потенциальная энергия системы [6] запишется в виде

                                          (3)

           (4)

Введем ряд соотношений, необходимых для вывода дифференциальных уравнений движения:

Подробности вывода уравнений движения, соответствующего расчетной схеме на рис. 1, представлена в работе [7]. С учетом (5) можно записать (3) и (4) в виде

                     (6)

         (7)

Запишем (6), (7) в развернутом виде:

                               (8)

   (9)

Произведем упрощения (8), (9)

                           (10)

           (11)

Примем ряд соотношений

                      (12)

Запишем (10) в виде 

             (13)

В свою очередь:

                             (14)

Преобразуем (13), (14) к развернутому виду:

                     (15)

                      (16)

Сделаем ряд промежуточных выкладок:

              (17)

             (18)

                  (19)

   (20)

 (21)

                   (22)

Используя (15) ÷ (22), запишем уравнения движения системы в виде:

          (23)

           (24)

             (25)

Коэффициенты уравнений (23)÷(25) приведены в таблице 1. Для системы в координатах y1, y2 и φ1 характерны перекрестные связи:

·           между парциальными системами y1, y2 - инерционно-упругие связи, что предопределяет возможности «зануления» связи;

·           между парциальными системами y1 и y3 - инерционно-упругая связь;

·           между парциальными системами y2 и y3 - также имеется инерционно-упругая связь.

Найдем частоты «зануления» перекрестных связей, получим:

между y1 и y2

                                  (26)

между y1 и y3 -

                                           (27)

между y2 и y3 -

                                               (28)

Передаточные функции системы (при z1 = z2 = z) могут быть найдены из табл. 1 по правилам Крамера [8]:

                            (29)

                           (30)

где

   -       (30')

-  характеристическое уравнение.

Решая частотные уравнения числителей (29), (30), найдем, что в системе возможно появление двух частот динамического гашения.

 

Табл. 1

Таблица коэффициентов системы уравнений (23)÷(25)

в координатах у1, у2, φ1

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Q1

Q2

Q3

k1z1

k2z2

0

Примечание:

 

Особенности динамических свойств. Рассмотрим работу системы в другой системе координат y, φ и φ1,

                              (31)

где

Преобразуем (31) к детализированному виду:                   

             (32)

Сделаем ряд промежуточных выкладок:

       (33)

     (34)

       (35)

Запишем выражение для потенциальной энергии:

       (36)

Примем ряд обозначений:

                     (37)

Введем соотношения

Пусть a4 =l1 - l0, b4 = l2 + l0, тогда выражение (36) преобразуется к виду

                         (38)

или в развернутом виде

           (39)

Произведем ряд вспомогательных выкладок:

                            (40)

          (41)

                                  (42)

Запишем систему уравнений движения:

                           (43)

     (44)

                 (45)

Табл. 2

Коэффициенты уравнений движения (43) ÷ (45)  

в координатах у, φ и φ1

a11

a12

a13

 

 

a21

a22

a23

 

a31

a32

a33

 

 

 

0

Примечание:

,, - обобщенные силы, соответствующие координатам у, φ, φ1; при этом

Коэффициенты уравнений движения в координатах у, φ и φ1 приведены в таблице 2. Отметим, что связи между парциальными  системами у, y1 и φ, φ1 носят упруго-инерционный характер и на определенных частотах могут «зануляться», обеспечивая независимость движения:

 между парциальными системами y и φ, при этом

                     (46)

между парциальными системами φ и φ«зануление» происходит на частоте

                                             (47)

Связь между y и φ1  носит  инерциальный характер и не «обнуляется».

Передаточные функции для системы координат у, φ и φ1   (при z1 = z2 = z) имеют вид

                                 (48)

                                   (49)

где A1  определяется выражением (30'). Из частотных уравнений  числителей (48), (49) могут быть определены по две частоты динамического гашения. На рис. 3 представлена структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления для расчетной схемы (рис. 2) в координатах  у, φ и φ1 . Особенностью структурной схемы является система формирования внешних воздействий, в которой может происходить взаимная компенсация возникающих сил, в частности, при выполнении условий k1a4 = k2b4; в этом случае на парциальную систему φ  внешнее возмущение передаваться не будет. Следует отметить, что все динамические взаимодействия в системах рассматриваются в предположении о малости действия сил трения.

Для исследования влияния l0 произведем ряд расчетов. Для оценки динамических свойств решилась модельная задача, в которой были приняты следующие параметры:

M = 100 кг, J =  50 кгм2, m1 = m2 = 5, 10, 20, 50 кг,

K1 = 5000 Н/м, К2 = 7000 Н/м, К3 = 200 Н/м, К4 = 300 Н/м,

l3 = 0 ÷ 0,5 м (с шагом 0,1); l4 = l6 = 0,2; 0,4;

l5 = l7 = 0,2; 0,4; ω = 0 ÷ 15 рад/сек.

На рис. 3 показаны амплитудно – частотные характеристики (АЧХ), построенные с использованием выражений (48). В частотности, можно отметить, что семейство кривых, которые отражают влияние изменения смещения точки установки ДГ на свойства системы (рис. 3б). Для системы характерно наличие двух режимов динамического гашения в до- и межрезонансных частотных областях (рис. 3а). На рис. 3б взаимное расположение АЧХ показано более детализировано.

Влияние изменения l0 характер взаимного расположения АЧХ зависит, существенным образом, от соотношения параметров и выбора координат объекта защиты. На рис. 4 приведено семейство АЧХ по координате y2. Для системы характерным является наличие одного режима колебаний в межрезонансной области. В системе проявляются три режима резонансных колебаний.

Сравнительный анализ АЧХ при различных сочетаниях параметров показывает возможность реализации различных форм кривых, отражающих особенности влияния l0. На рис. 5 приведено семейство АЧХ, отражающее при изменении l0 возможность формирования режима динамического гашения в зарезонансной области (рис. 5а, б).

Особенностью системы является то обстоятельство, что режим резонанса на высшей частоте собственных колебаний не всегда реализуется, поскольку определяемая частота носит комплексно-сопряженный характер. Однако смещение режима динамического гашения за пределы второй частоты собственных колебаний связано формированием некоторого максимума отклонений по координате у2.

Характерная особенность в формировании режимов динамического гашения колебаний приведена на рис. 6 а, б для случая возникновения двух режимов ДГ в межрезонансной области частот; третья частота при данных параметрах не реализуется.

Отметим, что рассмотрение динамических свойств системы с тремя степенями свободы в общем случае предполагает существование трех режимов резонансных явлений, однако при построении АЧХ в силу условий симметрии взаимодействий и комплексности корней характеристического уравнения, вид кривых может носить упрощенный (по числу резонансных пиков) вид; режимы динамического гашения также реализуются в большом разнообразии форм, что отражается в различных вариантах расположения числа режимов динамического гашения колебаний и их места расположения на частотной оси.

Заключение. Предварительная оценка динамических свойств виброзащитных систем с двумя степенями свободы с динамическим гасителем, прикрепляемом через сочленение (или шарнир) показывает возможность изменения достаточно широкого спектра изменения частотных характеристик. В этом плане наибольший интерес для технических приложений представляет возможность вариации точки установки ДГ, а также управления параметрами m1 и m2, l6 и l7, позволяющим изменять не только свойства системы, но ее структуру (например, при выполнении условий m1l6m2l7 = 0).

Одним из подходов, которые могли бы иметь продолжение, является оценка возможности реализации совместных режимов динамического гашения по у1 и у2, что соответствует режиму динамического гашения по у, (при этом φ ≠ 0), а также выполнения условий совместного динамического гашения по у и по φ.

Библиографический список

1. Коренев С.В. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. / Б.Г. Коренев, П.М. Резников. – М.: Наука., 1963. – 535 с.

2. Елисеев С.В., Нерубенко Г.П. Динамические гасители колебаний. – Новосибирск. : Наука. 1982. – 182 с.

3. Карамышкин В.В. Динамические гасители колебаний. – Л.: Машиностроение. 1988. – 108 с.

4. Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля. / Р.В. Ротенберг – М.: Машиностроение. 1972. – 372 с.

5. Ермошенко Ю.В. Управление вибрационным состоянием в задачах виброзащиты и виброизоляции. // Диссертация на соискание уч. ст. к.т.н. – Иркутск: ИрГУПС. 2002. – 185 с.

6. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Том 2. Динамика. – М.: Наука. 1968. – 640 с.

7. Елисеев С.В. Ермошенко Ю.В. Возможные подходы в изменении перекрестных связей в системах с двумя степенями свободы // Системы. Методы. Технологии. Вып. 1(5). Братск.: БрГУ, 2010., с. 20 – 28.

8. Дружинский И.А. Механические цепи – Л.: Машиностроение. / 1977. – 224 с.

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2019 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)