НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.396.96

МГТУ им. Н.Э. Баумана

valerykhokhlov@mail.ru

khokhlov2010@yandex.ru

В автономных информационных системах  (АИС), например акустических и сейсмических, входные сигналы часто являются случайными процессами с неизвестной и изменяющейся средней частотой энергетического спектра и информация о свойствах объектов заключена в статистических характеристиках огибающих входных реализаций [3]. Поэтому в АИС необходимо выделять информативные параметры огибающих и вычислять статистики, инвариантные к средней частоте энергетического спектра.

При корреляционной обработке огибающих входных реализаций в корреляторе в этих условиях необходимо слежение за задержкой [2], что при ограниченной длительности реализации сигнала на входе и необходимости обработки в реальном времени часто оказывается невозможным.

Решить отмеченную проблему можно, если отсчеты огибающей сигнала брать при помощи сопряженного сигналу по Гильберту процесса.

Ниже рассмотрены статистические характеристики отсчетов огибающих узкополосных случайных процессов, взятых с помо­щью сопряженных им по Гильберту процессов.

Общую аналитическую зависимость стационарного в широком смысле узкополосного случайного процесса представим в виде

x(t) = E(t) cos [₀t + (t)],

где E(t) – огибающая; ω₀ – средняя частота; φ(t) – случайная фаза.

На основании [1] автокорреляционная функция (АКФ) огибающей E(t) для узкополосного стационарного нормального случайного процесса может быть представлена как

                                (1)

где σ ² – дисперсия исходного узкополосного случайного процесса; r₀(τ) – огибающая нормированной АКФ; K[r₀(τ)], E[r₀(τ)] – полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.

Первый член в (1) равен квадрату постоянной составляющей огибающей E(t)

                                                                         (2)

Из (1) следует, что среднее значение квадрата огибающей E(t) равно

а дисперсия огибающей E(t) будет

Используя (1), (2), можно найти нормированную АКФ огибающей узкополосного нормального случайного процесса

                                          (3)

Как показали расчеты АКФ по формуле (3) с учетом (1), для большинства практических случаев можно ограничиться пер­вым членом в квадратных скобках (3), т. е.

                                                          (4)

Чтобы устранить влияние нестационарности входного процесса {x(t)}, обусловленное изменением средней частоты ω₀ на отсчеты АКФ, будем производить отсчеты с помощью сопряженного ему по Гильберту процесса {y(t)} (рис. 1).

                                    (5)

Рис. 1 –  Получение отсчетов огибающей реализации сигнала

Как видно из рис. 1  при   y(t_i ) = 0 и x(t_i ) = E(t_i ) = (–1)ⁿE _i . Таким образом, для получения отсчетов огибающей E _i необходимо производить  отсчеты  реализации x(t) в моменты перехода через ноль сопряженного по Гильберту процесса y(t). Реализации сопряженных процессов можно получить на  выходах широкополосного фазорасщепителя со сдвигом фаз на 90°.

Моменты времени, в которые берутся отсчеты, разделены интервалами Δτ_i k, где

Δτ_i k = 

На основании [2] дисперсия интервалов Δτ_i k равна

                                             (6)

где  – значение корреляционной функции фазы при сдвиге |i – k| π/ω₀;

  – величина дисперсии фазы  [1].

Из уравнения (6) следует, что для нахождения  необходимо определить корреляционную функцию  при фиксированных значениях аргумента

,   .                                      (7)

Выражение для  может быть получено в виде степенного ряда по   [1]

,           (8)

где  – – функция;  – огибающая нормированного коэффициента корреляции случайного процесса ;   .

Причем

;

,

где  – энергетический   спектр  случайного процесса .

При прямоугольном энергетическом спектре с шириной полосы

 определяется выражением

.

Если спектральная плотность случайного процесса аппроксимируется  гауссоидой

^,

где ,

то выражение для  имеет вид

.

Обозначим относительную ширину энергетического спектра , тогда интересующие значения  получим в виде:

для прямоугольного энергетического спектра

;                            (9)

для гауссова спектра

.                               (10)

Коэффициент р определяется как

 ,   .

Рис. 2 – Зависимость корреляционной функции фазы от относительной  ширины полосы гауссова энергетического спектра  при различных сдвигах между сечениями

Из выражений (6) и (8) видно, что корреляционная функция случайной фазы, а, следовательно, и дисперсия длительностей интервалов между нулями при значениях аргумента, определяемых уравнениями (7), для  каждого из рассмотренных видов энергетических спектров являются функциями только отно­сительной ширины полосы энергетического спектра и не зависят от средней частоты .

Для удобства обозначим i – k = n, тогда математическое ожидание интервалов между отсчетами  равно

.

 Нормированный коэффициенткорреляции отсчетов огибающей, разделенных интервалами Δτ_i k, получим в виде

                                                   (11)

где W(Δτ_i k) – плотность распределения вероятностей случайной величины Δτ_i k.

Разложим функцию r_E (Δτ_i k) в ряд Тейлора в районе точки |i – k| π/ω₀, ограничи­ваясь первыми тремя членами разложения

                              (12)

где .

Подставив выражение (12) в (11), получим:

                           (13)

На основании (4)  будет иметь вид

                                       (14)

Подставив выражения (6) и (8) в равенство (13), полу­чим нормированные АКФ огибающей узкополосного случайного процесса для прямоугольного и гауссового энергетических спектров, выраженные через относительную ширину полосы энерге­тического спектра процесса α и количество интервалов между отсчетами АКФ огибающей n.

На основании (13) с учетом (4)–(6) и (9)–(10) можно сделать вывод, что значения нормированных коэффициентов корреляция отсчетов узкополосного нормального случайного процесса, взятых с помощью сопряженного по Гильберту процесса, зависят от относительной ширины полосы энергетического спектра процесса α и количества интервалов между нулями, разделяющих эти отсчеты n, а также от вида энергетического спектра, и не зависят от средней частоты энергетического спектра входного процесса.

а

б

Рис. 3. Зависимости коэффициентов корреляции отсчетов огибающей, взятых с помощью сопряженного по Гильберту процесса от относительной ширины полосы энергетического спектра процесса α при сдвигах n между отсчетами а- n=1, б- n=5

На рис. 3 приведены зависимости коэффициентов корреляции отсчетов огибающей, взятых с помощью сопряженного по Гильберту процесса от относительной ширины полосы энергетического спектра процесса α и значениях сдвига n, равных одному на рис. 3,а и пяти интервалам – на рис. 3,б между нулями для гауссова и прямоугольного спектров.

а

б

Рис. 4. Зависимости  АКФ огибающей от относительной ширины полосы энергети­ческого спектра процесса α  при сдвигах n между отсчетами а- n=1,б- n=5

На  рис. 4 приведены зависимости отсчетов АКФ огибающей от относительной ширины полосы энергетического спектра процесса α и значениях сдвига n, равных одному на рис. 4,а и пяти интервалам на рис. 4,б между нулями для гауссова и прямо­угольного спектров.

Анализ данных графиков показывает, что до значений α, равных 0,7–0,8, коэффициенты корреляции отсчетов, взятых по предложенной методике, практически совпадают со значениями отсчетов АКФ огибающей. Таким образом, отсчеты огибающей, выделенные с помощью сопряженного по Гильберту процесса, могут быть использованы в качестве информативных параметров, инвариантных к средней частоте сигналов с относительной шириной полосы до значений α, равных 0,7–0,8.

Предложенный способ обработки огибающих позволяет автоматически следить за средней частотой энергетических спектров входных реализаций и реализовать обработку сигналов в реальном масштабе времени, что важно для АИС.  При цифровой обработке сигналов сопряженный по Гильберту процесс может быть получен при помощи дискретного преобразования Гильберта. Однако, для существенного упрощения цифровой части тракта обработки сигнала, без применения дискретизатора реализаций сигнала на входе, возможно применение в аналоговом тракте широкополосного фазорасщепителя  [4] , который преобразует входную реализацию в два процесса, модули спектров которых равны, а  фазы на всех частотах сдвинуты на 90 град.. То есть на выходе фазорасщепителя получают два процесса, сопряженых по Гильберту.

На  рис. 5 приведена структурная схема тракта обработки сигнала с фазорасщепителем на входе. 

Рисунок 5 – Структурная схема тракта обработки огибающей входной реализации с фазорасщепителем на входе:
1-приемное устройство; 2- фильтр; 3- широкополосный фазорасщепитель; 4- компаратор; 5- ключ; 6- тракт принятия решения.

В схеме рис. 5  на вход тракта принятия решения поступают отсчеты огибающей, взятые при помощи сопряженного по Гильберту процесса. При этом осуществляется автоматическое слежение за частотой взятия отсчетов в соответствии с изменяющейся средней частотой энергетического спектра входной реализации. Для узкополосных сигналов отсчеты можно брать с шагом, равным нескольким интервалам между нулями сопряженного процесса. При этом отпадает необходимость  в дискретизации входной реализации с высокой частотой при неизвестной и изменяющейся  средней частоте энергетического спектра.

Заключение

В статье обоснована возможность получения отсчетов огибающих входных реализаций с помощью сопряженного по Гильберту процесса, которые могут быть использованы в качестве информативных параметров сигналов для их обнаружения и распознавания. При этом осуществляется автоматическое слежение за частотой взятия отсчетов в соответствии с изменяющейся средней частотой энергетического спектра входной реализации. Показана возможность применения метода для входных реализаций с относительной шириной полосы энергетического спектра до значений, равных 0,7–0,8.

Литература

1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радио­техники: в 3–х кн. – М.: Сов. радио, 1974. – Кн. 1. – 552 с.

2.  Хохлов В.К. Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.-336 с.:ил.

3. Хохлов В.К., Гулин Ю.Ю. Выбор информативных признаков в автономных информационных системах с нейросетевыми трактами обработки сигналов  Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». – 2003. – № 3. – с. 70-83.

4. Авраменко А.А., Галямичев Ю.П., Ланнэ А.А. Электрические линии задержки и фазовращатели. - М.:- Связь. 1973.