НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК   519.6:621.39 

МГТУ им. Н.Э.Баумана,

e-mail: chernshv@bmstu.ru 

Расчет сверхширокополосных устройств, в том числе устройств фильтрации, излучения и др. на плавных нерегулярных линиях передачи (НЛП) с Т-волнами осуществляется с применением численных методов, так как отсутствуют аналитические методы расчета их конфигурации. В связи с этим происходит постоянный поиск наиболее эффективных методов их синтеза [1]. В данной статье рассматривается решение дифференциального уравнения плавной НЛП, которое значительно облегчает такой синтез. 

В [2]  было показано, что характеристики плавной НЛП описываются следующим нелинейным дифференциальным уравнением

                                                  ,                              (1)

где - волновой коэффициент отражения от входа НЛП,  - время запаздывания волны, отраженной от произвольного сечения НЛП, - так называемая функция преобразования, связанная с функцией местных отражений НЛП  через преобразование Фурье [2]:

.

Одной из наибольших сложностей является решение уравнения (1). Его решают численно. И это численное решение сходится тем быстрее, чем точнее найдено его начальное приближение. Найдем такое решение с применением степенных рядов. Для этого требуется разложить входящие в (1) сомножители в ряд Маклорена и приравнять коэффициенты получающихся при перемножении рядов при соответствующих степенях аргумента. 

Для решения требуется получить выражения для нулевой, первой и второй производных  по . Опустим для краткости записи аргументы этих функций.

В [2] было показано, что при значениях  . Таким образом, в окрестности нулевой точки можно положить, что .

Значение второй производной найдем из уравнения (1), из которого видно, что при  .

Для нахождения значения первой производной рассмотрим выражение для . Можно показать, что для плавной НЛП с малыми значениями местных коэффициентов отражения справедливо выражение

                                                            ,                                                 (2)

где   - характеристический полином, определяемый переотражениями между участками НЛП.

             Используя (2),  нетрудно получить, что

.

Следовательно, при   , где  при .

Таким образом, искомые производные найдены.

            Теперь разложим сомножители, входящие в (1) в ряд Маклорена.

Левая часть (1) будет иметь вид

                                     ,                     (3)

где  .

Первая производная из правой части имеет вид

                               ,                          (4)

где , а .

Сомножитель в правой части приобретает вид

                           ,       (5)

где ,   .       

Подставим ряды (3)-(4) в (1), раскроем скобки и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях .

         В итоге получаем

;   ;   ;    ;    ;

то есть четные производные при   равны нулю, а нечетные производные при  равны .

          Полученные результаты позволяют определить зависимость .

Представим эту зависимость в виде ряда Маклорена:

 .

Производные, входящие в это выражение нами определены. После их подстановки получаем

Заметим, что в круглых скобках последнего выражения стоит выражение, совпадающее с разложением в ряд гиперболического арктангенса:

Таким образом, нами получен окончательный вид решения уравнения (1):

.

Это решение используется для быстрого численного решения уравнения (1) с итерационным уточнением коэффициента , начальное значение которого равно единице.

Литература

1. Чернышев С.Л. Приближенный аналитический синтез сверхширокополосных устройств на плавных нерегулярных линиях. Наука в образовании: электронное издание, 0420800025\0001, ╧1, 2008 

  2. Мещанов В.П., Тупикин В.Д., Чернышев С.Л. Коаксиальные пассивные устройства.-Саратов, Изд-во СГУ, 1993.