Наука и Образование: научно-техническое издание: РЕАЛИЗАЦИЯ ФИЛЬТРА ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Реализация фильтра Вольтерра второго порядка для идентификации нелинейных систем

РЕАЛИЗАЦИЯ ФИЛЬТРА ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ управления

К.А.Пупков, Т.Ю.Цибизова

д.т.н., профессор, к.ф.н., доцент

МГТУ им. Н.Э.Баумана

Работа посвящена проблеме идентификации нелинейных систем. В качестве основной трудности данной проблемы можно назвать необходимость обработки большой базы данных, характеризующей работу идентифицируемой системы. Конструктивным подходом в решении данной задачи является использование фильтрующей структуры в виде последовательности Вольтерра. Однако одной из главных причин достаточно редкого применения методики фильтрации Вольтерра на практике является значительная сложность, связанная с реализацией фильтров Вольтерра. Таким образом, главной задачей является нахождение упрощений в разработке и реализации фильтра Вольтерра.

Теория идентификации нелинейных систем, впервые сформулированная в начале XX века, применима для широкого круга нелинейных задач, описывающих большинство сложных процессов. В качестве основной трудности проблемы идентификации можно назвать необходимость обработки большой базы данных, характеризующей работу идентифицируемой системы. Конструктивным подходом в решении данной задачи является использование фильтрующей структуры в виде последовательности Вольтерра. Однако, несмотря на длинную историю и популярность в теоретическом изучении ряда Вольтерра, относительно мало исследователей пытались применить методику фильтрации Вольтерра на практике.

Оказывается, что одна из главных причин - это значительная сложность, связанная с реализацией фильтров Вольтерра. Так как особенная структура фильтра Вольтерра не берется во внимание, то возникают серьезные проблемы с матрицами. Количество операций, необходимое для решения проблемы, увеличивается экспоненциально с увеличением порядка фильтра. Таким образом, главной задачей является нахождение упрощений в разработке и реализации фильтра Вольтерра.

Возьмем фильтр Вольтерра 2-го порядка (ФВ2), который состоит из параллельной комбинации линейного и квадратичного фильтров:

, (1)

где {a(j)} и {b(j,k)} называются линейным и квадратичным весом соответственно, а N указывает длину фильтра (предполагается симметричность квадратичных весов фильтра, т.е. b(j,k) = b(k,j)).

Требуется минимизировать средне-квадратическую ошибку (СКОШ) между основным сигналом s(n) и выходом фильтра y(n), т.е.

. (2)

Первым шагом в определении минимума СКОШ фильтра Вольтерра 2-го порядка является требование бездрейфового выхода фильтра. Другими словами, должно быть E[y(n)] = 0, т.к. основной сигнал имеет нулевое математическое ожидание. Тогда получается следующее соотношение между и b(j,k):

, (3)

где

(4)

обозначает автокорреляционную функцию x(n).

Следовательно, формула для определения ФВ2 будет выглядеть так:

. (5)

Следующий шаг - определение линейного и квадратичного весов фильтра, которые определяют минимум СКОШ. Для этого выведем простое решение для оптимального ФВ2 в предположении, что на входе фильтра белый гауссовый шум.

Формулу (5) можно переписать в матричном виде:

{}, (6)

где

а указывает на NxN матрицу от x(n), где - автокорреляционная функция входного сигнала x(n). А и В - операторы линейного и квадратичного фильтра соответственно.

Определим кросс-корреляционную и кросс-бикорреляционную функции между x(n) и s(n) следующим образом:

или в матричном виде:

Итак, из (2) видно, что линейный и квадратичный операторы ФВ2 с минимальной СКОШ должны удовлетворять следующим математическим соотношениям:

(7)

(8)

После некоторых преобразований получается, что линейный и квадратичный операторы фильтра определяются следующим образом:

(9)

Отсюда видно, что линейный оператор оптимального ФВ2 - это то же самое, что и оптимальный линейный фильтр. Следовательно, можно сконструировать фильтр просто посредством добавления квадратичного фильтра параллельно созданному линейному фильтру.

Предлагается два класса реализации квадратичного оператора ФВ2.

Класс I (умножитель + линейный фильтр)

Рис. 1.

Класс II (линейные фильтры + умножитель)

Рис. 2.

Квадратичный фильтр класса I имеет вид:

. (10)

Как видно из рис. 1 фильтр состоит из умножителя и следующего за ним линейного фильтра. такая реализация также соответствует случаю, когда квадратичный оператор фильтра диагональный, т.е. b(j,k)=0 для .

Здесь СКОШ минимизируется с помощью

где

и - матрица размера NxN, которой (j,k)-й элемент равен . В данном случае СКОШ квадратичного фильтра представляется в виде:

Квадратичный фильтр класса II имеет вид:

. (11)

Таким образом это соответствует случаю, когда оператор квадратичного фильтра может быть разложен на два линейных фильтра:

Следовательно, как показано на рис. 2, фильтр состоит из параллельной комбинации двух фильтров, чьи выходные значения перемножаются для получения выходного значения всего фильтра, и может быть записан в виде:

, (12)

где

Тогда СКОШ между выходом фильтра и значением s(n) выражается через и :

Следующим шагом должна быть минимизация по . Однако одновременная минимизация по 2N переменным представляет собой потенциальную вычислительную проблему из-за связи между и . В качестве альтернативы одновременной минимизации предлагается методика последовательных итераций: