НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 311.17

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

gsadykhov@gmail.com

sleavik@gmail.com

Введение

Пусть в последовательности независимых испытаний вероятность события  равна,  причем, . Тогда между функциями распределения биномиального и нормального законов

 и

существует следующая связь (интегральная теорема Муавра-Лапласа) [1]:

,

где  - число сочетаний из n элементов по k, q=1-p.

Для построения статистических проверок гипотез с заданными вероятностями ошибок требуется информация о значениях «хвостов» распределений. Однако, относительная погрешность нормальной аппроксимации биномиального распределения на его «хвостах» довольно велика [2]. Это послужило одной из причин разработки теории больших уклонений, доказательства различных неравенств «хвостов» биномиального закона, а также для «хвостов» распределения сумм случайных величин [3].

В качестве примеров можно указать экспоненциальную оценку «хвостов» для сумм  независимых случайных величин  со значениями из отрезка [0,1], которую получил В. Хёвдинг [4]: если , (здесь  - обозначение математического ожидания), то

,

где  - произвольное число, - обозначение вероятности, а также формулу Пуассона [1] при малых p:

,

где  - постоянная.

Заметим, что это предельное соотношение послужило основой математической модели пуассоновского потока отказов в теории надёжности, выраженной следующей формулой для вероятности появления k отказов за время длительностью t:

.

В частности, при k = 0 из этого соотношения находим формулу для вероятности безотказной работы объекта в течение времени t

,

где  - заданная (постоянная) интенсивность отказов.

1.         Постановка задачи

В системе управления надежностью часто возникает вопрос о соответствии интенсивности отказов определенного типа комплектующих изделий (КИ) среднему значению интенсивности отказов для группы КИ разных типов, объединенных по принципу единства технологии изготовления, назначения и условий их эксплуатации. Для решения этого вопроса обычного сравнения точечных оценок интенсивностей отказов группы типов КИ по ряду причин недостаточно. В связи с этим возникает задача статистической проверки, так называемой, нулевой гипотезы о соответствии интенсивности отказов типа среднегрупповому значению интенсивности отказов в случае пуассоновского процесса.

2.         Основное утверждение

Допустим, что группу образует  типов КИ. Пусть наработка -го типа составила  часов, а число отказов в количестве . Через  () обозначим случайное число отказов, а через  - наблюденное число.

Общая наработка группы типов КИ при этом составит

.

Пусть  - интенсивность отказов -го типа КИ.

Тогда для пуассоновской случайной величины  имеем

,                                                         (1)

так как

,

где - математическое ожидание величины, стоящей внутри угловых скобок.

С другой стороны,

.                                                               (2)

Из соотношений (1) и (2) найдем

,

где  и  постоянны.

Пусть имеются основания предполагать, что неизвестная интенсивность отказов -го типа КИ  () равна среднегрупповой интенсивности отказов , которая в свою очередь тоже неизвестна, т. е. определим нулевую гипотезу

                                                             (3)

и займемся построением решающего правила ее проверки при наблюдаемом числе отказов  и  и соответствующих наработках  и .

Для этой цели нам необходимо доказать следующее утверждение

Теорема. При условии нулевой гипотезы (3) справедлива следующая формула:

,                        (4)

где

,                                                                   (5)

 - число сочетаний из  элементов по ;

 - обозначение условной вероятности события, находящегося в первой скобке относительно события, содержащегося во второй скобке.

Доказательство. Из определения пуассоновского потока отказов имеем

,                                        (6)

                                         (7)

Рассмотрим следующее условное распределение отказов -го типа КИ при заданном числе отказов в группе, которое, в силу известных формул из теории вероятностей, равно [1]

,                     (8)

где  – символ произведения событий, заключенных в скобках.

Поскольку  и  независимые случайные величины, то имеем

                (9)

Пуассоновская величина  при условии справедливости гипотезы (3) имеет математическое ожидание, равное , поэтому

.            (10)

Подставляя соотношения (6), (7) и (10) в (9), получим

.

Откуда, с учетом справедливости гипотезы (3), имеем

,

где значение  определено формулой (5).

Наконец, подставляя полученное выражение в соотношение (8), получим искомую формулу (4), что и требовалось доказать.

Другими словами, доказанная теорема устанавливает связь условного распределения числа отказов в пуассоновском потоке через биномиальный закон.

В свою очередь, установленная связь позволяет при конкурирующей гипотезе

в качестве решающего правила определить следующее условие для принятия гипотезы (3):

,                                              (11)

где  - уровень значимости критерия ( - мало), а  определено соотношением (5).

Если же

,                                              (12)

то нулевая гипотеза (3) при конкурирующей  отвергается.

Приведём следующий пример использования проверки гипотезы (3) при конкурирующей гипотезе .

Пример. Наработка -го типа КИ составила , а наработка группы КИ - . При этом число отказов -го типа КИ составляет , а для группы . Требуется проверить нулевую гипотезу  с уровнем значимости  при конкурирующей гипотезе .

Решение. Воспользуемся решающим правилом в виде (11) или (12). Для этой цели определим величину

,

которая, после подстановки исходных данных примера, равна

.

Очевидно, что  значительно меньше . Следовательно, согласно (12), нулевая гипотеза  отвергается.

Заметим, что точечные оценки интенсивностей отказов в условиях примера имеют для -го типа КИ и группы, соответственно, следующие значения:

,      .

Выводы

Таким образом, установлена оценка условного распределения отказов в пуассоновском потоке через биномиальный закон. Установленная оценка позволяет построить новые решающие правила при проверке нулевой гипотезы .

Работа выполнена при поддержке ОАО РТИ им. акад. А.Л. Минца.

Список литературы

1.               Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: КомКнига URSS, 2005. 397 c.

2.               Зубков А.М., Серов А.А. Незамеченные наилучшие неравенства для биномиального закона // Международная конференция «Теория вероятностей и её приложения» : сб. докл.  М.: Ленанд, 2012. С. 35-36.

3.               Садыхов Г.С., Савченко В.П. Зависимость показателей ресурса от характеристик его расходования // Доклады РАН. 1998. Т. 361, № 2. С. 189-191.

4.               Hoeffding W. Probability inequalities for sums of bounded random variables // J. Amer. Statist. Ass. 1963. Vol. 58, no. 301. P. 13-30.