Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
Уточненная формула для вычисления коэффициентов передаточной матрицы в задачах статистической динамики
# 03, март 2013 DOI: 10.7463/0313.0543198
Файл статьи:
Дмитриев_P.pdf
(353.12Кб)
УДК 534.1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
При исследовании вынужденных стационарных случайных колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы [1, 2, 3, 4] широко используются функции частоты, связывающие перемещение в некоторой точке системы с воздействием в какой-либо другой точке при установившихся гармонических колебаниях. Эти функции называют передаточными функциями, динамическими податливостями, гармоническими коэффициентами влияния или элементами матрицы Грина в пространстве Фурье [2, 3]. Передаточная функция зависит от угловой частоты внешнего воздействия и определяет перемещение -той степени свободы на гармоническое воздействие, приложенное по -той степени свободы. Номера степеней свободы , принимают значения . Коэффициенты при различных значениях номеров степеней свободы могут быть собраны в некоторую матрицу размером , которую называется матрицей передаточных функций, матрицей гармонических коэффициентов влияния или матрицей динамических податливостей. Наиболее распространенным способом вычисления коэффициентов матрицы является способ, основанный на использовании собственных частот и форм колебаний [1]. Число учитываемых тонов колебаний является при этом ограниченным, для больших конечно-элементных моделей обычно . Естественно, возникает вопрос о погрешности усечения ряда. В настоящей статье применительно к вычислению матрицы динамических податливостей, найденной с учетом классического внутреннего демпфирования, определяется поправка, позволяющая существенно снизить погрешность усечения. 1.Получение передаточной матрицы для системы с демпфированием Для вычисления матрицы передаточных функций рассмотрим задачу о стационарных колебаниях системы с степенями свободы с учетом демпфирования [1,3,5]. Динамическое уравнение движения в матричной форме имеет вид: (1) Здесь - матрица массы, - матрица демпфирования, - матрица жесткости. , и , соответственно, векторы ускорений, скоростей и перемещений узловых точек, - амплитуда вынуждающей силы, угловая частота внешнего воздействия, - начальная фаза, - мнимая единица. Демпфирование предполагается классическим, то есть пропорциональным матрице жесткости (внутреннее демпфирование [3]): (2) или матрице массы (внешнее демпфирование): , (3) где и - некоторые коэффициенты. Установившиеся колебания происходят по гармоническому закону с частотой вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (1) будем искать в виде: , (4) где - n-мерный вектор комплексных значений амплитуд колебаний узловых точек. Подставляя (4) в (1) получим: (5) В случае классического демпфирования динамические уравнения движения могут быть преобразованы с использованием форм колебаний системы без демпфирования, то есть можно представить вектор амплитудных значений перемещений в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний: (6) Здесь q- комплексный n-мерный вектор координат форм, действительная матрица форм колебаний, в которой собственные векторы , являющиеся решением симметричной обобщенной проблемы собственных значений (7): , (7) расположены по столбцам в порядке возрастания соответствующей им угловой частоты собственных колебаний (- номер тона колебаний): (8) Предполагается, как обычно, что формы колебаний удовлетворяют соотношениям - и - ортогональности: (9) - диагональная матрица собственных чисел : (10) - единичная матрица. Для получения уравнения вынужденных стационарных колебаний в координатах форм, подставим (6) в (5), полученное выражение умножим слева на и используем соотношения ортогональности (9). В итоге приходим к уравнению: (11) Матрица - диагональная. Для случая, когда матрица демпфирования пропорциональна матрице жесткости: (12) В случае пропорциональности матрице массы: (13) - вектор амплитудных значений обобщенных сил, определяется формулой: (14) Из уравнения (11) можно найти вектор комплексных значений координат форм: (15) Матричное выражение, стоящее в круглых скобках, является диагональной матрицей. Легко найти матрицу обратную диагональной: (16) Коэффициенты демпфирования , определяются по формулам (12) или (13), в зависимости от используемой модели демпфирования. Связь между вектором амплитудных значений перемещений и вектором амплитудных значений сил может быть найдена путем подстановки в (15) формулы (6), связывающей перемещения и координаты форм, и (14), определяющей обобщенные силы: (17) Матрица, связывающая между собой вектор амплитудных значений перемещений с вектором амплитудных значений сил , и является искомой матрицей передаточных функций . Из (17) следует: (18) Как видно, матрица передаточных функций является комплексной, ее можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей: (19) Действительная часть: (20) мнимая часть: (21) Отдельные коэффициенты матриц определяются суммой ряда по номеру тона колебаний. Коэффициенты действительной части матрицы динамических податливостей: (22) Коэффициенты мнимой части матрицы динамических податливостей: (23) - номер тона колебаний, и - номера степеней свободы.
2.Учет вклада отброшенных тонов колебаний в случае внутреннего демпфирования При практических расчетах колебаний систем с большим числом степеней свободы, как правило, для учета демпфирования используется модель классического внутреннего демпфирования. Тогда коэффициенты демпфирования определяются формулой (12), а коэффициенты матрицы динамических податливостей (24) (25) При вычислении коэффициентов матрицы динамических податливостей с помощью формул (24) и (25), так как конечно-элементная модель имеет большую размерность, используются не все частот и форм колебаний, а только ограниченная часть спектра - тонов колебаний. Вклад отброшенных тонов можно учесть приближенно, причем с хорошей точностью, используя подход, предложенный в работе [6] применительно к построению сокращенной модальной модели в системе без демпфирования. Так как для отброшенных тонов , то при вычислении остатка ряда при в формулах (24) и (25) можно пренебречь по сравнению с положить . Разделяя ряды в (24) и (25) на две части запишем: (26) (27) Остаток ряда, соответствующий отброшенным тонам колебаний содержит сумму (28) Такая же сумма встречается в [6], где она названа остаточной податливостью. Для нахождения используем следующий прием. Если положить в формуле (26) , мы получим значение податливости для статической задачи: (29) Коэффициенты этой матрицы могут быть найдены путем решения соответствующей задачи статики: равно перемещению по той степени свободы при приложении единичной силы по той степени свободы. Сравнивая (28) и (29) запишем (30) Согласно формуле (30) поправка получается путем вычитания из статического вклада тонов колебаний, учтенных в расчете. Таким образом, получаются следующие формулы для вычисления действительной и мнимой частей коэффициентов матрицы передаточных функций: (31) (32) В полученных формулах учитывается вклад отброшенных тонов колебаний. В отличие от [6], рассмотрение проведено с учетом демпфирования. Передаточная матрица является комплексной, и поправки вносятся как в действительную, так и в мнимую часть.
3.Пример вычисления коэффициентов передаточной матрицы Проиллюстрируем формулы, полученные в настоящей статье, на примере консольной балки. Передаточные функции для балки можно найти не только по формулам (31) и (32), но и, при отсутствии демпфирования, аналитически. Пусть балка заделана на левом конце, а на правом свободна. Найдем матрицу, связывающую перемещение и угол поворота на свободном конце балки с соответствующими силовыми факторами. Эта матрица имеет порядок и в силу симметрии имеет три независимых коэффициента, которые мы обозначим , и . Эти коэффициенты связывают между собой амплитудные значения силовых факторов и компонент перемещений при гармоническом воздействии: - поперечное перемещение с поперечной силой, - поперечное смещение с моментом, - угол поворота с моментом. При аналитическом решении задач о собственных колебаниях балок [3,5,7] используется безразмерный параметр , связанный с угловой частотой колебаний формулой: (33) -длина балки, , - модуль упругости, - плотность, - площадь поперечного сечения, - момент инерции. Точные значения коэффициентов передаточной матрицы могут быть найдены путем аналитического решения задачи о вынужденных стационарных колебаниях консольной балки нагруженной на свободном конце силовыми факторами, изменяющимися по гармоническому закону. Последовательно решая задачи о нагружении единичной поперечной силой и единичным моментом, получим следующие аналитические выражения для передаточных функций как функций параметра , заменяющего частоту : (34) (35) (36) Для определения коэффициентов динамической податливости методом суммирования вкладов тонов колебаний форм необходимо вычислить частоты формы собственных колебаний. Значения , соответствующие собственным частотам консольной балки являются корнями характеристического уравнения [7]: (37) Таблица первых шести корней уравнения (37) приведена в [7], для высших тонов корни находились численно. Собственные числа после этого определялись по формуле: (38) номер тона колебаний. Для вычисления передаточных функций используются формы колебаний , нормированные по массе. Применительно к балке условие нормирования :имеет вид: (39) Значение перемещения на свободном конце балки: (40) Угол поворота: (41) Значения статических податливостей, необходимые для вычисления поправок, равны ; ; (42) Сравнение численного и аналитического решений, а так же оценка влияния статической поправки проводилось в следующей последовательности. Вначале передаточные функции , , вычислялись без учета демпфирования и значения, полученные суммированием вкладов тонов колебаний, сравнивались результатами расчета по формулам (34), (35), (36). Затем проводились расчеты с учетом демпфирования при разном числе учитываемых тонов колебаний, так же с учетом и без учета найденной поправки. Вычисления поводились при единичных значениях , и , так как эти параметры не оказывают влияния на скорость сходимости рядов и точность решения.
4.Сравнение точных и приближенных значений коэффициентов в системе без демпфирования Наименьшие погрешности приближенных формул наблюдаются при частотах резонансов, наибольшие при частотах антирезонансов. Частоты резонансов, очевидно, для всех передаточных функций одинаковы, частоты антирезонансов (перехода значения коэффициента через нуль) у каждой функции свои. Значения безразмерного параметра , соответствующие частотам резонансов и антирезонансов приведены в таблице 1:
Таблица 1. Частоты резонансов и антирезонансов.
В таблицах 2-4 указаны погрешности расчета действительной части коэффициентов динамической податливости. В таблице 2 - , таблице 3 - , таблице 4 - . Точные значения коэффициентов находятся по формулам (38), (39), (40); приближенные по формуле (31), погрешность по формуле: (43) при этом при определении коэффициент был принят равным нулю (система без демпфирования). Значения коэффициентов передаточных матриц в таблицах найдены при нескольких значениях безразмерного параметра (второй столбец таблиц) в окрестности первых трех резонансов, антирезонансов и в промежуточных точках. Если значение параметра, соответствует частоте резонанса или антирезонанса, то это указывается в первых столбцах таблиц буквами «P» или «А». Число тонов колебаний , учитываемых при вычислениях, менялось от 1 до 50, оно указано во второй строке заголовка таблиц. В строках таблиц указаны значения погрешностей в процентах - без скобок при вычислении коэффициентов передаточных матриц без учета остаточной податливости, в скобках с учетом. Для сокращения размеров таблиц и наглядности погрешности менее 0,01 % заменены на нулевые значения, если значение погрешности превышает 100 % (это возможно при расчетах с без учета остаточных податливостей в окрестности антирезонанса) значение заменяется на «>100»). Если значение число тонов колебаний не достаточно (частота наивысшего учитываемого тона меньше частоты, при которой производится расчет) в ячейке ставится прочерк. Таблица 2. Значения погрешностей при определении без учета и с учетом остаточной податливости при отсутствии диссипации в системе.
Таблица 3. Значения погрешностей при определении без учета и с учетом остаточной податливости при отсутствии диссипации в системе.
Таблица 4. Значения погрешностей при определении без учета и с учетом остаточной податливости при отсутствии диссипации в системе.
Результаты расчетов, записанные в таблицах 2-4, показывают, что наибольшие погрешности возникают при определении коэффициента . Для всех рассмотренных коэффициентов наибольшие погрешности присущи областям антирезонансов. Учет остаточной податливости приводит к значительному повышению точности определения коэффициентов. Если без учета остаточной податливости для определения коэффициентов передаточной матрицы с приемлемой точностью в частотном диапазоне от 0 до третьей собственной частоты может потребоваться порядка 20 – 50 тонов колебаний, то при учете статической поправки достаточно 5-10 тонов.
5.Анализ точности вычисления коэффициентов при наличии демпфирования Проанализируем теперь точность определения коэффициентов без учета и с учетом статической поправки для консольной балки при наличии демпфирования. Для этого сравним погрешности при вычислении амплитудно частотной и фазо частотной характеристик при тех же значениях частот, что и ранее. Коэффициент демпфирования возьмем равным . Взяв достаточно большое количество тонов колебаний (n=100), посчитаем коэффициенты динамической податливости для мнимой и действительной частей по формулам (24) и (25) и примем полученные значения за точные. Расчет амплитуды и фазы осуществляется по формулам (44) (45) Погрешности определения амплитуды и фазы (46) (47) Результаты расчетов погрешностей амплитуды при различном числе учитываемых тонов даны в таблицах 5, 7, 9, фазы - в таблицах 6, 8, 10..
Таблица 5. Значения погрешности при определении амплитуды без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.
Таблица 6. Значения погрешности при определении фазы без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.
Таблица 7. Значения погрешности при определении амплитуды без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.
Таблица 8. Значения погрешности при определении фазы без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.
Таблица 9. Значения погрешности при определении амплитуды без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.
Таблица 10. Значения погрешности при определении фазы коэффициента без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.
Анализ результатов расчета коэффициентов динамической податливости в системе с наличием демпфирования показывает, что учет остаточной податливости приводит к существенному уточнению и амплитуды и фазы. Как и в случае отсутствия демпфирования с увеличением значения безразмерного параметра отмечается повышение погрешности, погрешность при этом нарастает в меньшей степени, чем в системе с демпфированием. В областях близких к антирезонансам погрешности по фазе получаются существенно больше, чем погрешности по амплитуде. Таким образом, во всех случаях статическая поправка, предложенная в настоящей статье, дает заметное увеличение точности вычислений. Если при этом выполняется частотный критерий – частота последнего учитываемого тона колебаний превышает верхнюю границу частотного диапазона, то точность вычислений оказывается вполне удовлетворительной.
Список литературы 1. Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 223 с. 2. Светлицкий В.А. Статистическая механика и теория надежности. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002. 504 с. 3. Вибрации в технике. Справочник. В 6 т. Т. 1 / под ред. В.Н. Челомея. М.: Машиностроение. 352 с. 4. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. В 3 т. Т. 3 /под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 507 с. 5. Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 271 с. 6. Крейг Р., Чжан К. Методы свободных границ для связывания субконструкций при исследовании динамики // Ракетная техника и космонавтика (русск. перевод журнала American Institute of Aeronautics and Astronautics). 1976. Т. 14, № 11. [Craig R., Chang C.-J. Free-interface methods of substructure coupling for dynamic analysis // AIAA Journal. 1976. Vol. 14, no. 11. P. 1633-1635. DOI: 10.2514/3.7264 ]. 7. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с. Публикации с ключевыми словами: динамика, передаточная матрица, конечный элемент, демпфирование, динамическая податливость, стационарный случайный процесс Публикации со словами: динамика, передаточная матрица, конечный элемент, демпфирование, динамическая податливость, стационарный случайный процесс Смотри также:
Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|