Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Уточненная формула для вычисления коэффициентов передаточной матрицы в задачах статистической динамики

# 03, март 2013
DOI: 10.7463/0313.0543198
Файл статьи: Дмитриев_P.pdf (353.12Кб)
авторы: Дмитриев С. Н., Хамидуллин Р. К.

УДК 534.1

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

dim.sm2@yandex.ru

 

При исследовании вынужденных стационарных случайных колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы  [1, 2, 3, 4] широко используются функции частоты, связывающие перемещение в некоторой точке системы с воздействием в какой-либо другой точке при установившихся гармонических колебаниях. Эти функции называют передаточными функциями, динамическими податливостями, гармоническими коэффициентами влияния или элементами матрицы Грина в пространстве Фурье [2, 3].

Передаточная функция  зависит от угловой частоты внешнего воздействия и определяет перемещение -той степени свободы на гармоническое воздействие, приложенное по -той степени свободы. Номера степеней свободы , принимают значения . Коэффициенты  при различных значениях номеров степеней свободы могут быть собраны в некоторую матрицу  размером , которую называется матрицей передаточных функций, матрицей гармонических коэффициентов влияния или матрицей динамических податливостей.

Наиболее распространенным способом вычисления коэффициентов матрицы  является способ, основанный на использовании собственных частот и форм колебаний [1]. Число учитываемых тонов колебаний  является при этом ограниченным, для больших конечно-элементных моделей обычно . Естественно, возникает вопрос о погрешности усечения ряда. В настоящей статье применительно к вычислению матрицы динамических податливостей, найденной с учетом классического внутреннего демпфирования, определяется поправка, позволяющая существенно снизить погрешность усечения.

1.Получение передаточной матрицы для системы с демпфированием

Для вычисления матрицы передаточных функций рассмотрим задачу о стационарных колебаниях системы с степенями свободы с учетом демпфирования [1,3,5]. Динамическое уравнение движения в матричной форме имеет вид:

                                            (1)

Здесь - матрица массы, - матрица демпфирования, - матрица жесткости. ,  и , соответственно, векторы ускорений, скоростей и перемещений узловых точек, - амплитуда вынуждающей силы, угловая частота внешнего воздействия,  - начальная фаза, - мнимая единица.

Демпфирование предполагается классическим, то есть пропорциональным матрице жесткости (внутреннее демпфирование [3]):

                                                                   (2)

или матрице массы (внешнее демпфирование):

,                                                                (3)

где  и  - некоторые коэффициенты.

Установившиеся колебания происходят по гармоническому закону с частотой вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (1) будем искать в виде:

,                                                   (4)

где  - n-мерный вектор комплексных значений амплитуд колебаний узловых точек.

Подставляя (4) в (1) получим:

                                                (5)

В случае классического демпфирования динамические уравнения движения могут быть преобразованы с использованием форм колебаний системы без демпфирования, то есть можно представить вектор амплитудных значений перемещений в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний:

                                                                      (6)

Здесь q- комплексный n-мерный вектор координат форм,  действительная матрица форм колебаний, в которой собственные векторы , являющиеся решением симметричной обобщенной проблемы собственных значений (7):

,                                                 (7)

расположены по столбцам в порядке возрастания соответствующей им угловой частоты собственных колебаний (- номер тона колебаний):

                                                          (8)

Предполагается, как обычно, что формы колебаний удовлетворяют соотношениям - и - ортогональности:

                                                                (9)

- диагональная матрица собственных чисел :

                                                        (10)

- единичная матрица.

Для получения уравнения вынужденных стационарных колебаний в координатах форм, подставим (6) в (5), полученное выражение умножим слева на  и используем соотношения ортогональности (9). В итоге приходим к уравнению:

                                                   (11)

Матрица - диагональная. Для случая, когда матрица демпфирования пропорциональна матрице жесткости:

                                                          (12)

В случае пропорциональности матрице массы:

                                                                     (13)

-  вектор амплитудных значений обобщенных сил, определяется формулой:

                                                                 (14)

Из уравнения (11) можно найти вектор  комплексных значений координат форм:

                                                   (15)

Матричное выражение, стоящее в круглых скобках, является диагональной матрицей. Легко найти матрицу обратную диагональной:

           (16)

Коэффициенты демпфирования ,  определяются по формулам (12) или (13), в зависимости от используемой модели демпфирования.

Связь между вектором амплитудных значений перемещений  и вектором амплитудных значений сил  может быть найдена путем подстановки в (15) формулы (6), связывающей перемещения и координаты форм, и (14), определяющей обобщенные силы:

                                            (17)

Матрица, связывающая между собой вектор амплитудных значений перемещений  с вектором амплитудных значений сил , и является искомой матрицей передаточных функций . Из (17) следует:

                                      (18)

Как видно, матрица передаточных функций является комплексной, ее можно представить в виде суммы действительной  и мнимой  частей:

                                                     (19)

Действительная часть:

  (20)

мнимая часть:

  (21)

Отдельные коэффициенты матриц определяются суммой ряда по номеру тона колебаний. Коэффициенты  действительной части матрицы динамических податливостей:

                                                (22)

Коэффициенты  мнимой части матрицы динамических податливостей:

                                                 (23)

- номер тона колебаний,  и  - номера степеней свободы.

 

2.Учет вклада отброшенных тонов колебаний в случае внутреннего демпфирования

При практических расчетах колебаний систем с большим числом степеней свободы, как правило, для учета демпфирования используется модель классического внутреннего демпфирования. Тогда коэффициенты демпфирования определяются формулой (12), а коэффициенты матрицы динамических податливостей

                                        (24)

                                        (25)

При вычислении коэффициентов матрицы динамических податливостей с помощью формул (24) и (25), так как конечно-элементная модель имеет большую размерность, используются не все  частот и форм колебаний, а только ограниченная часть спектра -  тонов колебаний. Вклад отброшенных тонов можно учесть приближенно, причем с хорошей точностью, используя подход, предложенный в работе [6] применительно к построению сокращенной модальной модели в системе без демпфирования. Так как для отброшенных тонов , то при вычислении остатка ряда при  в формулах (24) и (25) можно пренебречь  по сравнению с  положить . Разделяя ряды в (24) и (25) на две части запишем:

                                    (26)

                                (27)

Остаток ряда, соответствующий отброшенным тонам колебаний содержит сумму

                                                           (28)

Такая же сумма встречается в [6], где она названа остаточной податливостью. Для нахождения  используем следующий прием. Если положить в формуле (26) , мы получим значение податливости  для статической задачи:

                                                    (29)

Коэффициенты этой матрицы могут быть найдены путем решения соответствующей задачи статики:  равно перемещению по той степени свободы при приложении единичной силы по той степени свободы.

Сравнивая (28) и (29) запишем

                                                       (30)

Согласно формуле (30) поправка получается путем вычитания из  статического вклада  тонов колебаний, учтенных в расчете. Таким образом, получаются следующие формулы для вычисления действительной и мнимой частей коэффициентов матрицы передаточных функций:

                                      (31)

                              (32)

В полученных формулах учитывается вклад отброшенных тонов колебаний. В отличие от [6], рассмотрение проведено с учетом демпфирования. Передаточная матрица является комплексной, и поправки вносятся как в действительную, так и в мнимую часть.

 

3.Пример вычисления коэффициентов передаточной матрицы

Проиллюстрируем формулы, полученные в настоящей статье, на примере консольной балки. Передаточные функции для балки можно найти не только по формулам (31) и (32), но и, при отсутствии демпфирования, аналитически. Пусть балка заделана на левом конце, а на правом свободна. Найдем матрицу, связывающую перемещение и угол поворота на свободном конце балки с соответствующими силовыми факторами. Эта матрица имеет порядок  и в силу симметрии имеет три независимых коэффициента, которые мы обозначим ,  и . Эти коэффициенты связывают между собой амплитудные значения силовых факторов и компонент перемещений при гармоническом воздействии: - поперечное перемещение с поперечной силой, - поперечное смещение с моментом,  - угол поворота с моментом. При аналитическом решении задач о собственных колебаниях балок [3,5,7] используется безразмерный параметр , связанный с угловой частотой колебаний  формулой:

                                                               (33)

-длина балки, ,  - модуль упругости, - плотность, - площадь поперечного сечения, - момент инерции.

Точные значения коэффициентов передаточной матрицы могут быть найдены путем аналитического решения задачи о вынужденных стационарных колебаниях консольной балки нагруженной на свободном конце силовыми факторами, изменяющимися по гармоническому закону. Последовательно решая задачи о нагружении единичной поперечной силой и единичным моментом, получим следующие аналитические выражения для передаточных функций как функций параметра , заменяющего частоту :

                           (34)

                                        (35)

                             (36)

Для определения коэффициентов динамической податливости методом суммирования вкладов тонов колебаний форм необходимо вычислить частоты формы собственных колебаний. Значения , соответствующие собственным частотам консольной балки являются корнями характеристического уравнения [7]:

                                                         (37)

Таблица первых шести корней уравнения (37) приведена в [7], для высших тонов корни находились численно. Собственные числа после этого определялись по формуле:

                                                                 (38)

номер тона колебаний. Для вычисления передаточных функций используются формы колебаний , нормированные по массе. Применительно к балке условие нормирования :имеет вид:

                                                              (39)

Значение перемещения на свободном конце балки:

                                                               (40)

Угол поворота:

                                          (41)

Значения статических податливостей, необходимые для вычисления поправок, равны

;   ;                                       (42)

Сравнение численного и аналитического решений, а так же оценка влияния статической поправки проводилось в следующей последовательности. Вначале передаточные функции , ,  вычислялись без учета демпфирования и значения, полученные суммированием вкладов тонов колебаний, сравнивались результатами расчета по формулам (34), (35), (36). Затем проводились расчеты с учетом демпфирования при разном числе учитываемых тонов колебаний, так же с учетом и без учета найденной поправки. Вычисления поводились при единичных значениях ,  и , так как эти параметры не оказывают влияния на скорость сходимости рядов и точность решения.

 

4.Сравнение точных и приближенных значений коэффициентов в системе без демпфирования

Наименьшие погрешности приближенных формул наблюдаются при частотах резонансов, наибольшие при частотах антирезонансов. Частоты резонансов, очевидно, для всех передаточных функций одинаковы, частоты антирезонансов (перехода значения коэффициента через нуль) у каждой функции свои. Значения безразмерного параметра , соответствующие частотам резонансов и антирезонансов приведены в таблице 1:

 

Таблица 1. Частоты резонансов и антирезонансов.

Номер тона

 резонанса

 антирезонанса для .

 антирезонанса для .

 антирезонанса для .

1

1.875104068712

3.926602312051

3.14159265359

2.365020372434

2

4.694091132974

7.068582745625

6.283185307177

5.497803919001

3

7.854757438238

10.210176122819

9.424777960776

8.639379828695

 

В таблицах 2-4 указаны погрешности расчета действительной части коэффициентов динамической податливости. В таблице 2 - , таблице 3 - , таблице 4 - . Точные значения коэффициентов  находятся по формулам (38), (39), (40); приближенные по формуле (31), погрешность по формуле:

                                                        (43)

 при этом при определении  коэффициент  был принят равным нулю (система без демпфирования). Значения коэффициентов передаточных матриц в таблицах найдены при  нескольких значениях безразмерного параметра  (второй столбец таблиц) в окрестности первых трех резонансов, антирезонансов и в промежуточных точках. Если значение параметра, соответствует частоте резонанса или антирезонанса, то это указывается в первых столбцах таблиц буквами «P» или «А». Число тонов колебаний , учитываемых при вычислениях, менялось от 1 до 50, оно указано во второй строке заголовка таблиц. В строках таблиц указаны значения погрешностей в процентах  - без скобок при вычислении коэффициентов передаточных матриц без учета остаточной податливости, в скобках с учетом. Для сокращения размеров таблиц и наглядности погрешности менее 0,01 % заменены на нулевые значения, если значение погрешности превышает 100 % (это возможно при расчетах с без учета остаточных податливостей в окрестности антирезонанса) значение заменяется на «>100»). Если значение число тонов колебаний не достаточно (частота наивысшего учитываемого тона меньше частоты, при которой производится расчет) в ячейке ставится прочерк.

Таблица 2. Значения погрешностей при определении  без учета и с учетом остаточной податливости при отсутствии диссипации в системе.

 

 

Значение погрешности  в % при η=0

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

2.93

(0)

0.14

(0)

0.03

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

Р

1.875

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

2.905

-

0.85

(0)

0.19

(0)

0.02

(0)

0

(0)

0

(0)

А

3.141

-

-

>100

(25.12)

>100

(0.8)

64.65

(0)

8.05

(0)

0.49

(0)

 

4.306

-

-

2.75

(0.04)

0.6

(0)

0.08

(0)

0

(0)

0

(0)

Р

4.694

-

-

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

5.884

-

-

7.34

(0.41)

1.56

(0.01)

0.2

(0)

0.02

(0)

0

(0)

А

7.068

-

-

>100

(>100)

>100

(54.56)

>100

(0.45)

51.3

(0)

3.11

(0)

 

7.461

-

-

16.68

(2.49)

3.23

(0.07)

0.4

(0)

0.05

(0)

0

(0)

Р

7.854

-

-

0.02

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

9.027

-

-

-

-

5.82

(0.26)

0.71

(0)

0.09

(0)

0

(0)

А

10.2

-

-

-

-

>100

(44.77)

71.94

(0.34)

8.92

(0)

0.5

(0)

 

Таблица 3. Значения погрешностей при определении  без учета и с учетом остаточной податливости при отсутствии диссипации в системе.

 

 

Значение погрешности  в % при η=0

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

10.92

(0)

1.39

(0)

0.51

(0)

0.13

(0)

0.03

(0)

0

(0)

Р

1.875

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

2.51

-

-

4.87

(0)

1.78

(0)

0.44

(0)

0.11

(0)

0.01

(0)

А

3.15

-

-

>100

(2.75)

78.13

(0.14)

69.48

(0)

16.88

(0)

2.23

(0)

 

3.92

-

-

10.36

(0.09)

3.76

(0)

0.94

(0)

0.23

(0)

0.03

(0)

Р

4.694

-

-

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

5.49

-

-

21.67

(0.73)

7.69

(0.04)

1.91

(0)

0.46

(0)

0.06

(0)

А

6.28

-

-

>100

(>100)

>100

(3.98)

>100

(0.39)

>100

(0)

23.49

(0)

 

7.07

-

-

38.59

(3.74)

12.91

(0.17)

3.19

(0)

01.77

(0)

0.1

(0)

Р

7.854

-

-

0.04

(0)

0.01

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

8.64

-

-

-

-

19.61

(0.58)

4.77

(0)

1.16

(0)

0.15

(0)

А

9.42

-

-

-

-

>100

(>100)

>100

(2.85)

>100

(0.04)

33.85

(0)

 

Таблица 4. Значения погрешностей при определении  без учета и с учетом остаточной податливости при отсутствии диссипации в системе.

 

 

Значение погрешности  в % при η=0

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

38.44

(0)

13.04

(0)

7.7

(0)

3.66

(0)

1.63

(0)

0.42

(0)

Р

1.875

0.01

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

2.120

-

-

22.57

(0.01)

13.33

(0)

6.33

(0)

2.82

(0)

0.73

(0)

А

2.360

-

-

>100

(0.95)

>100

(0.08)

>100

(0)

>100

(0)

42.78

(0)

 

3.530

-

-

30.91

(0.11)

18.21

(0)

8.64

(0)

3.84

0

1

0

Р

4.694

-

-

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

5.070

-

-

40.81

(0.64)

23.79

(0.05)

11.28

(0)

5.01

(0)

1.31

(0)

А

5.450

-

-

>100

(12.59)

>100

(1.01)

>100

(0.03)

72.82

(0)

18.95

(0)

 

6.650

-

-

67.06

(3.27)

37.95

(0.25)

17.91

(0)

7.96

(0)

2.07

(0)

Р

7.854

-

-

0.09

(0)

0.05

(0)

0.02

(0)

0

(0)

0

(0)

 

8.240

-

-

-

-

42.94

(0.67)

20.09

(0.02)

8.93

(0)

2.32

(0)

А

8.550

-

-

-

-

>100

(5.24)

>100

(0.16)

59.82

(0)

15.57

(0)

 

Результаты расчетов, записанные в таблицах 2-4, показывают, что наибольшие погрешности возникают при определении коэффициента . Для всех рассмотренных коэффициентов наибольшие погрешности присущи областям антирезонансов. Учет остаточной податливости приводит к значительному повышению точности определения коэффициентов. Если без учета остаточной податливости для определения коэффициентов передаточной матрицы с приемлемой точностью в частотном диапазоне от 0 до третьей собственной частоты может потребоваться порядка 20 – 50 тонов колебаний, то при учете статической поправки достаточно 5-10 тонов.

 

5.Анализ точности вычисления коэффициентов при наличии демпфирования

Проанализируем теперь точность определения коэффициентов без учета и с учетом статической поправки для консольной балки при наличии демпфирования. Для этого сравним погрешности при вычислении амплитудно частотной и фазо частотной характеристик при тех же значениях частот, что и ранее. Коэффициент демпфирования возьмем равным .

Взяв достаточно большое количество тонов колебаний (n=100), посчитаем коэффициенты динамической податливости для мнимой и действительной частей по формулам (24) и (25) и примем полученные значения за точные. Расчет амплитуды и фазы осуществляется по формулам

                                            (44)

                                                        (45)

Погрешности определения амплитуды и фазы

                                          (46)

                                           (47)

Результаты расчетов погрешностей амплитуды при различном числе учитываемых тонов  даны в таблицах 5, 7, 9, фазы - в таблицах 6, 8, 10..

 

Таблица 5. Значения погрешности при определении амплитуды   без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.

 

 

Значение погрешности  в % при η=0.01

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

 

2.93

(0)

0.14

(0)

0.03

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

Р

 

1.875

 

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

2.905

 

-

-

0.84

(0)

0.19

(0)

0.02

(0)

0

(0)

0

(0)

А

3.141

 

-

-

1.64

(0.03)

0.29

(0)

0.03

(0)

0

(0)

0

(0)

 

4.306

 

-

-

2.13

(0.03)

0.47

(0.01)

0.06

(0)

0

(0)

0

(0)

Р

 

4.694

 

-

-

0.05

(0)

0.01

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

5.884

 

-

-

5.34

(0.42)

1.14

(0.13)

0.14

(0.02)

0.02

(0)

0

(0)

А

 

7.068

 

-

-

6.54

(1.65)

1.31

(0.32)

0.16

(0.04)

0.02

(0)

0

(0)

 

7.461

 

-

-

3.63

(1.76)

0.73

(0.23)

0.09

(0.03)

0.01

(0)

0

(0)

Р

 

7.854

 

-

-

2.67

(2.17)

0.6

(0.24)

0.07

(0.03)

0

(0)

0

(0)

 

9.027

 

-

-

-

-

1.25

(0.84)

0.16

(0.1)

0.02

(0.01)

0

(0)

 

 

Таблица 6. Значения погрешности при определении фазы  без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.

 

 

Значение погрешности в % при η=0.01

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

 

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

Р

1.875

 

0.07

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

2.905

 

-

-

2.6

(0)

0.58

(0)

0.07

(0)

0

(0)

0

(0)

А

3.141

 

-

-

7.19

(0.09)

1.61

(0.04)

0.2

(0)

0.03

(0)

0

(0)

 

4.306

 

-

-

2.19

(0.05)

0.48

(0.02)

0.06

(0)

0

(0)

0

(0)

Р

4.694

 

-

-

0.9

(0.02)

0.2

(0)

0.02

(0)

0

(0)

0

(0)

 

5.884

 

-

-

13

(0.52)

2.83

(0.31)

0.36

(0.04)

0.04

(0)

0

(0)

А

7.068

 

-

-

20.32

(2.45)

4.3

(1)

0.54

(0.13)

0.07

(0.02)

0

(0)

 

7.461

 

-

-

18.89

(3.04)

3.87

(1.12)

0.49

(0.15)

0.06

(0.02)

0

(0)

Р

7.854

 

-

-

19.29

(3.89)

3.86

(1.37)

0.48

(0.18)

0.06

(0.02)

0

(0)

 

9.027

 

-

-

-

-

7.02

(4.37)

0.87

(0.58)

0.11

(0.07)

0

(0)

 

Таблица 7. Значения погрешности при определении амплитуды  без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.

 

 

Значение погрешности  в % при η=0.01

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

 

10.92

(0)

1.39

(0)

0.51

(0)

0.13

(0)

0.03

(0)

0

(0)

Р

 

1.875

 

0.02

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

-

2.51

 

-

-

4.81

(0.01)

1.76

(0)

0.44

(0)

0.11

(0)

0.01

(0)

А

 

3.15

 

-

-

22.62

(0.02)

1.42

(0.03)

0.48

(0)

0.17

(0)

0.02

(0)

 

 

-

-

10.31

(0.15)

3.75

(0.08)

0.94

(0.02)

0.23

(0)

0.03

(0)

Р

 

4.694

 

-

-

0.84

(0.01)

0.32

(0.01)

0.08

(0)

0.02

(0)

0

(0)

 

 

-

-

13.05

(0.84)

4.48

(0.38)

1.09

(0.1)

0.26

(0.02)

0.03

(0)

А

 

6.28

 

-

-

12.09

(1.05)

1.75

(0.04)

0.14

(0)

0.02

(0)

0

(0)

 

7.07

 

-

-

17.84

(2.44)

7.44

(1.91)

1.98

(0.51)

0.49

(0.12)

0.06

(0.02)

Р

 

7.854

 

-

-

12.63

(1.72)

4.82

(1.91)

1.28

(0.5)

0.32

(0.12)

0.04

(0.02)

 

8.64

 

-

-

-

-

2.99

(2.14)

0.89

(0.55)

0.23

(0.13)

0.03

(0.02)

 

Таблица 8. Значения погрешности при определении фазы  без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.

 

 

Значение погрешности  при η=0.01

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

 

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

Р

 

1.875

 

0.28

(0)

0.04

(0)

0.01

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

 

2.51

 

-

-

8.95

(0.02)

3.36

(0.01)

0.85

(0)

0.21

(0)

0.03

(0)

А

3.15

 

-

-

>100

(0.33)

>100

(0.18)

>100

(0.05)

>100

(0.01)

0.15

(0)

 

3.92

 

-

-

6.84

(0.13)

2.33

(0.05)

0.56

(0.01)

0.14

(0)

0.02

(0)

Р

 

4.694

 

-

-

>100

(0.08)

0.86

(0.04)

0.21

(0.01)

0.05

(0)

0

(0)

 

5.49

 

-

-

22.48

(1.24)

8.57

(0.76)

2.2

(0.2)

0.54

(0.05)

0.07

(0)

А

6.28

 

-

-

40.61

(4.32)

15.12

(2.26)

3.8

(0.59)

0.92

(0.14)

0.12

(0.02)

 

7.07

 

-

-

>100

(4.49)

>100

(1.99)

2.13

(0.52)

0.51

(0.13)

0.07

(0.02)

Р

 

7.854

7

-

-

25.43

(6.28)

7.91

(2.7)

1.88

(0.7)

0.45

(0.17)

0.06

(0.02)

 

8.64

 

-

-

-

-

12.74

(6.45)

3.06

(1.68)

0.74

(0.41)

0.1

(0.05)

 

Таблица 9. Значения погрешности при определении амплитуды  без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.

 

 

Значение погрешности в % при η=0.01

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

 

38.44

(0)

13.04

(0)

7.7

(0)

3.66

(0)

1.63

(0)

0.42

(0)

Р

 

1.875

 

0.12

(0)

0.04

(0)

0.03

(0)

0.01

(0)

0

(0)

0

(0)

 

2.12

 

-

-

22.1

(0.03)

13.04

(0.02)

6.19

(0.01)

2.75

(0)

0.72

(0)

А

2.360

 

-

-

>100

(0.18)

>100

(0.13)

50.41

(0.06)

16.15

(0.03)

2.86

(0)

 

3.53

 

-

-

31

(0.37)

18.27

(0.27)

8.67

(0.13)

3.86

(0.06)

1

(0.02)

Р

 

4.694

 

-

-

4.78

(0.18)

3

(0.15)

1.49

(0.08)

0.68

(0.03)

0.18

(0)

 

5.07

 

-

-

14.74

(0.58)

7.35

(0.34)

2.98

(0.16)

1.21

(0.07)

0.3

(0.02)

А

5.450

 

-

-

22.99

(1.64)

5.08

(0.79)

0.96

(0.38)

1.2

(0.16)

0.43

(0.04)

 

6.65

 

-

-

56.82

(9.26)

35.29

(7.03)

17.22

(3.43)

7.74

(1.53)

2.03

(0.4)

Р

 

7.854

 

-

-

40.62

(13.51)

25.19

(10.49)

12.65

(5.08)

5.77

(2.25)

1.52

(0.58)

 

8.24

 

-

-

-

-

24.76

(13.36)

12.82

(6.42)

5.91

(2.83)

1.57

(0.73)

 

Таблица 10. Значения погрешности при определении фазы коэффициента без учета и с учетом остаточной податливости для системы с демпфированием.

 

 

Значение погрешности  в % при η=0.01

 

r=1

r=3

r=5

r=10

r=20

r=50

 

0

 

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

Р

 

1.875

 

1.44

(0.02)

0.48

(0)

0.28

(0)

0.13

(0)

0.06

(0)

0.02

(0)

 

2.12

 

-

-

23.76

(0.04)

15.16

(0.03)

7.66

(0.02)

3.52

(0)

0.94

(0)

А

 

2.360

 

-

-

83.45

(0.59)

71.69

(0.44)

49.82

(0.22)

27.3

(0.1)

7.87

(0.03)

 

3.53

 

-

-

13.81

(0.19)

6.92

(0.09)

2.94

(0.04)

1.24

(0.02)

0.31

(0)

Р

4.694

 

-

-

9.79

(0.35)

5.62

(0.26)

2.62

(0.13)

1.16

(0.06)

0.3

(0.01)

 

5.07

 

-

-

29.87

(1.67)

18.42

(1.26)

9.05

(0.61)

4.09

(0.27)

1.07

(0.07)

А

 

5.450

 

-

-

56.08

(4.19)

35.7

(3.04)

17.34

(1.49)

7.66

(0.67)

1.98

(0.17)

 

6.65

 

-

-

79.69

(6.00)

29.77

(3.49)

10.96

(1.71)

4.37

(0.78)

1.07

(0.2)

Р

 

7.854

 

-

-

>100

(10.05)

23.74

(6.01)

9.54

(3.01)

3.92

(1.38)

0.98

(0.36)

 

8.24

 

-

-

-

-

>100

(7.82)

10.53

(3.97)

4.33

(1.83)

1.08

(0.48)

 

Анализ результатов расчета коэффициентов динамической податливости в системе с наличием демпфирования показывает, что учет остаточной податливости приводит к существенному уточнению и амплитуды и фазы. Как и в случае отсутствия демпфирования с увеличением значения безразмерного параметра  отмечается повышение погрешности, погрешность при этом нарастает в меньшей степени, чем в системе с демпфированием. В областях близких к антирезонансам погрешности по фазе получаются существенно больше, чем погрешности по амплитуде.

Таким образом, во всех случаях статическая поправка, предложенная в настоящей статье, дает заметное увеличение точности вычислений. Если при этом выполняется частотный критерий – частота последнего учитываемого тона колебаний превышает верхнюю границу частотного диапазона, то точность вычислений оказывается вполне удовлетворительной.

 

Список литературы

1. Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 223 с.

2. Светлицкий В.А. Статистическая механика и теория надежности. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002. 504 с.

3. Вибрации в технике. Справочник. В 6 т. Т. 1 / под ред. В.Н. Челомея. М.: Машиностроение. 352 с.

4. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. В 3 т. Т. 3 /под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 507 с.

5. Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 271 с.

6. Крейг Р., Чжан К. Методы  свободных  границ  для связывания субконструкций при исследовании динамики // Ракетная техника и космонавтика (русск. перевод журнала American Institute of Aeronautics and Astronautics). 1976. Т. 14, № 11. [Craig R., Chang C.-J. Free-interface methods of substructure coupling for dynamic analysis // AIAA Journal. 1976. Vol. 14, no. 11. P. 1633-1635. DOI: 10.2514/3.7264  ].

7. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.


Тематические рубрики:
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2024 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)