НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

os.kozlov@gmail.com   

lm_skvo@rambler.ru

Введение

Регуляторы, обеспечивающие устойчивое и качественное управление при изменении параметров объекта в достаточно широких пределах, получили название робастных. Интерес к робастному управлению существенно возрос после появления статьи В.Л. Харитонова [1] об устойчивости интервальных полиномов, т.е. полиномов, коэффициенты которых могут изменяться в заданных пределах. Вслед за этой статьей появилось большое число публикаций по робастной устойчивости. Отметим, однако, что робастная система должна быть не только устойчивой, но и должна обладать заданным качеством при любых допустимых значениях параметров объекта.

В работах [2, 3] отмечалось, что многие современные методы синтеза регуляторов не получили широкого практического применения. Это объясняется рядом причин, среди которых: отсутствие простой и понятной связи между минимизируемым функционалом и применяемыми на практике показателями качества, чувствительность системы к изменениям параметров объекта, необоснованная сложность синтезированного регулятора. В то же время в промышленности востребованы простые регуляторы низкого порядка (такие как ПИ, ПД, ПИД).

Робастное качество систем управления можно оценить показателями, которые рассматривались в [4–8], и имеют простую зависимость от коэффициентов характеристического полинома. Простые показатели качества характеристических полиномов предложил P. Naslin еще в 1963 г. [4], однако эта работа осталась практически незамеченной. Начиная с 1965 г. вопросами построения простых критериев устойчивости и качества по коэффициентам полинома занимался В.С. Воронов, но ранние его работы остались неизвестными, поскольку были опубликованы в труднодоступных изданиях. В сжатом виде полученные В.С. Вороновым основные результаты изложены в [5]. Аналогичные результаты приведены в работах  Н.И. Соколова и А.В. Липатова, обобщенных в [6].

Приведем основные результаты, следуя работе [5]. Рассмотрим непрерывную линейную систему управления с характеристическим полиномом

.   (1)

Предположим, что все коэффициенты полинома имеют одинаковый знак (пусть они положительны), что является простейшим необходимым условием устойчивости.

Устойчивость и качество системы управления с характеристическим полиномом (1) можно оценить с помощью следующих показателей [5]:

1) приближенные сопрягающие частоты

;

2) показатели (меры) качества

;

3) показатели (меры) устойчивости

.

Выполнение неравенств  является необходимым условием устойчивости, а простейшее достаточное условие устойчивости запишется в виде

,     (2)

где  – вещественный корень уравнения . Условие (2) будет всегда выполняться, если

.   (3)

Таким образом, (3) ­– простейшее достаточное условие устойчивости, сформированное через показатели качества.

         Для робастных систем условия (2) или (3) должны выполняться с запасом. В [5] такие условия с запасом рекомендуется принимать в виде

,   (4)

.       (5)

Условие   является достаточным для того, чтобы все корни полинома были вещественными. В [5, 6] приведены также и более сложные достаточные условия устойчивости, практически приближающиеся к необходимому и достаточному условию. Однако наиболее удобны для синтеза самые простые условия вида (2)–(5), поэтому ограничимся их рассмотрением.

Связь между  и другими показателями качества исследовалась в [6, 7]. Значения  определяют качество переходных процессов. Уменьшение этих показателей приводит к увеличению перерегулирования и уменьшению запасов устойчивости. Выполнение для некоторого  неравенства  является достаточным условием наличия комплексно сопряженных корней (это следует из [6, теорема 5.2]). Малое значение  обычно свидетельствует о колебательности переходного процесса, при этом, чем больше , тем выше частота колебаний, которую можно приближенно оценить величиной . Качество системы определяется в большей степени первыми двумя-тремя значениями , поэтому при синтезе регуляторов низкого порядка следует корректировать именно эти значения. Некоторые преимущества дает задание равных или примерно равных значений .

Рассмотрим теперь семейство полиномов (1), коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам ,  . Условия вида (2)–(5) для такого семейства получаем заменой  и  на значения

.  (6)

Значения  показателей устойчивости можно получить, рассматривая четыре полинома Харитонова, которые дают наихудшие (с точки зрения устойчивости) сочетания коэффициентов. А для показателей качества  наихудшими являются два полинома, в которых чередуются минимальные и максимальные значения коэффициентов.

В статье предложен новый подход к синтезу регуляторов, основанный на использовании рассмотренных выше показателей. На конкретных примерах показано, что этот подход позволяет синтезировать регуляторы минимального порядка, обеспечивающие заданное качество системы управления при неопределенности параметров объекта.

1 Постановка задачи

Рассмотрим линейную одномерную систему, структурная схема которой показана на рисунке. Объект описывается дробно-рациональной передаточной функцией , а передаточную функцию регулятора зададим в виде , где , . Примем также . Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

.   (7)

Как правило, корректирующие свойства регулятора определяются коэффициентами числителя его передаточной функции. Поэтому будем искать коэффициенты полинома , предполагая, что полином  задан исходя из условий обеспечения заданного порядка астатизма и фильтрующих свойств регулятора. Подбором значений неизвестных параметров регулятора  можно добиться заданных значений  показателей. В зависимости от того, какие показатели используются при синтезе, возможны следующие постановки задачи.

Рисунок – Структурная схема системы управления

Задача 1. Найти значения параметров регулятора, при которых показатели качества  принимают заданные значения.

Значения  не изменятся, если каждый из коэффициентов  полинома (1) умножить на . Число  задает временной масштаб, но не влияет на качество переходных процессов (чем меньше , тем быстрее протекают процессы в системе). Поэтому при синтезе систем заданного быстродействия  следует добавить показатель, оценивающий быстродействие системы. В качестве такого показателя можно использовать значение .

Задача 2. Найти значения параметров регулятора, при которых приближенная сопрягающая частота  и показатели качества  принимают заданные значения.

Для следящих систем важным показателем является точность отработки задающего воздействия. Ошибка следящей системы определяется в значительной степени положением низкочастотной асимптоты логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой системы равна . Низкочастотная асимптота однозначно задается значениями порядка астатизма  и низкочастотного коэффициента усиления (добротности) . Для системы, имеющей порядок астатизма , коэффициенты  полинома  равны , а .

Задача 3.  Найти значения параметров регулятора, при которых добротность  и показатели качества  принимают заданные значения.

В результате расчета регулятора низкого порядка можно получить систему, которая не удовлетворяет некоторым требованиям либо даже окажется неустойчивой. Поэтому следует, начиная с минимально возможного порядка, последовательно повышать порядок регулятора до тех пор, пока не будут выполнены все требования. Такая процедура позволяет синтезировать регуляторы минимального порядка.

2 Решение задачи

В приведенных постановках решение задачи синтеза сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров регулятора. Решение задачи 2, а также решение задач 1 и 3 при  (т.е. при ) можно представить в виде конечных формул. Решение задач 1 и 3 при  следует производить итерационным методом. Уравнения для итераций можно сформировать таким образом, что при любом  они будут содержать две неизвестные при решении задачи 1 и одну неизвестную при решении задачи 3.

Запишем соотношение (7) через коэффициенты полиномов:

.

Если коэффициенты  известны, то параметры регулятора можно найти с помощью рекуррентных формул

.       (8)

Решение задачи 1. Если известны  и , то коэффициенты  можно найти по формулам

.          (9)

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению  и  из уравнений

,   (10)

где значения  рассчитываем по формулам (9), (8). Если  , то уравнения (10) превращаются в равенства , . Эти же значения рекомендуется задавать в качестве начальных при итерационном решении уравнений (10).

Решение задачи 2. Если известно значение , то коэффициенты  можно найти по формулам

    (11)

Уравнение относительно  запишется в виде

,    (12)

где значения  находим из (11), (8). Уравнение (12) является линейным и может быть решено следующим образом. Задав , вычислим по формулам (11), (8), (12) левую часть (невязку)  уравнения (12). Аналогичным образом вычислим невязку  этого уравнения при . Тогда решение уравнения (12) будет . Зная , из (11) и (8) находим искомые параметры регулятора.

Решение задачи 3. Если известно значение , то коэффициенты  можно найти по формулам

    (13)

Уравнение относительно  запишется в виде (12), где значения  находим из (13), (8). В качестве начального значения для итераций рекомендуется задавать . Решив уравнение (12), находим параметры регулятора из (13), (8).

3 Примеры

Все примеры были реализованы и решены с помощью программного комплекса  (ПК) "МВТУ" [9,10], который является аналогом пакета Simulink, входящего в состав системы MATLAB. Модели в ПК "МВТУ" формируются в виде структурных схем, состоящих из типовых блоков, соединенных линиями связи (в том числе и векторными). Встроенный паскале-подобный язык программирования позволяет в удобном виде задавать дифференциальные и алгебраические уравнения. С помощью этого языка были записаны уравнения синтеза. Для решения этих уравнений применялись реализованные в ПК "МВТУ" методы Ньютона-Рафсона и Бройдена.

Пример 1. Объект задан передаточной функцией

.    (14)

Проведем синтез ПИ-регулятора с передаточной функцией  на основе заданных значений  и .  Результаты, полученные при , представлены в таблице 1. Приведены следующие показатели:  – наиболее близкий к мнимой оси корень характеристического полинома,  – время переходного процесса,  – перерегулирование,  – запас устойчивости по фазе. Как меру робастности приводим  – максимальное значение , при котором все объекты с параметрами, удовлетворяющими ограничениям , , стабилизируются данным регулятором. Здесь  и  – номинальные значения, приведенные в (14).  В качестве времени переходного процесса принимаем минимальное время, по истечении которого ошибка при единичном входном воздействии не превышает 0,02. Добротность по ускорению  совпадает с коэффициентом  регулятора.

При увеличении значений  робастность системы повышается, что видно также по увеличению запаса по фазе и уменьшению перерегулирования, но некоторые другие показатели ухудшаются. Время  сначала уменьшается, а затем увеличивается, что вполне объясняется характером изменения корня . Наиболее приемлемым является значение , которое обеспечивает максимальную степень устойчивости  и компромисс между другими показателями.

Таблица 1 – Результаты решения примера 1

Пример 2. Объект задан передаточной функцией

.   (15)

Необходимо найти регулятор минимального порядка, обеспечивающий время переходного процесса . Для обеспечения заданного быстродействия значение  должно быть не меньше . А чтобы регулятор был робастным, значения  должны быть достаточно большими. Потребуем, чтобы выполнялись неравенства  для  и  для . При синтезе задаем показатели  и , по которым находим параметры регулятора.

Использование регуляторов 0-го и 1-го порядка не позволило обеспечить , поэтому остановимся на регуляторе 2-го порядка c передаточной функцией

.   (16)

Знаменатель в (16) такой же, как у фильтра Баттерворта 2-го порядка, что позволяет обеспечить хорошую фильтрацию помех. Первоначально задаем . Принимая  и рассчитав несколько вариантов, мы нашли значения , , при которых требования выполняются с некоторым запасом. Оставляя неизменными эти значения, увеличиваем  пока требования еще выполняются. В результате получили следующие значения параметров регулятора (16):

.        (17)

Таблица 2 – Результаты решения примера 2

Исследуем робастность синтезированной системы. Для этого предположим, что параметры объекта (15) является интервальными числами, удовлетворяющими ограничениям . Примем , , где  – номинальные значения, приведенные в (15). Для  и  мы нашли значения параметров объекта, удовлетворяющие заданным ограничениям, при которых время переходного процесса  принимает максимальное значение (для расчета использовался режим "Оптимизация" ПК "МВТУ"). Полученные результаты приведены в таблице 2, где  – степень устойчивости. Отметим, что максимальные значения  были достигнуты в вершинных точках области допустимых значений параметров. Было найдено также максимальное значение , при котором интервальный объект стабилизируется регулятором (16), (17).

Пример 3. Рассмотрим построение робастного регулятора при интервальной неопределенности параметров объекта. Объект задан передаточной функцией

,

где , , , , , . Требуется найти регулятор минимального порядка, обеспечивающий второй порядок астатизма и добротность по ускорению . Кроме этого потребуем, выполнения неравенств  для  и неравенств  для всех .

         Второй порядок астатизма обеспечивает ПИ-регулятор, но он не позволяет обеспечить заданные требования даже при номинальных значениях параметров объекта. Поэтому будем использовать ПИД‑регулятор с передаточной функцией

.

Представим нашу задачу как задачу математического программирования

        (18)

где  и  – минимальные значения соответствующих  показателей в области допустимых значений параметров объекта. При  значения  и  можно рассчитать по формулам (6).  Для этого достаточно найти значения   в двух точках области:  и , а значения  – в четырех точках, соответствующих полиномам Харитонова. Этот же прием можно использовать и при малых значениях .

         В результате решения задачи (18) с помощью ПК "МВТУ" получены значения параметров регулятора , , , , при которых , , . Для полученного регулятора с помощью поисковой оптимизации мы нашли наихудшие значения ряда показателей во всей допустимой области изменения параметров объекта. Результаты при номинальных, а также наиболее неблагоприятных сочетаниях параметров приведены в таблице 3. Наихудшие значения показателей выделены жирным шрифтом.

Таблица 3 – Результаты решения примера 3

Заключение

Использование рассмотренных показателей устойчивости и качества позволяет синтезировать регуляторы минимального порядка, обеспечивающие устойчивость и заданные динамические свойства системы управления при любых допустимых значениях параметров объекта. Простая связь этих показателей с другими показателями качества и коэффициентами характеристического полинома делает процедуру синтеза простой и понятной. 

Список литературы

1. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений  //Дифференциальные  уравнения. 1978. Т. 14, № 11. С. 2086-2088.
2. Киселев О.Н., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию H ^¥ и по критерию максимальной робастности // Автоматика и телемеханика. 1999. № 3. С. 119-130.
3. Гончаров В.И., Лиепиньш А.В., Рудницкий В.А. Синтез робастных регуляторов низкого порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 4. С. 36-43.
4. Naslin P. Polynomes normaux et critere algebrique d'amortissement // Automatisme. 1963. Vol. 8, no. 6. P. 215-233.
5. Воронов В.С. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С. 49-54.
6. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами: Инженерные методы анализа и синтеза / Б.Н. Петров, Н.И. Соколов, А.В. Липатов, Л.А. Носов, Ф.Р. Садыков, Г.В. Серпионов, П.А. Фролов, Ш.Г. Альтшулер. М.: Машиностроение, 1986. 256 с.
7. Скворцов Л.М., Федосов Б.Т. Об алгебраических критериях В.С. Воронова устойчивости и качества линейных систем. 2005. Режим доступа: http://model.exponenta.ru/bt/bt_00118.html (дата обращения 18.12.2012).
8. Опейко О.Ф. Синтез линейной системы на основании упрощенной модели объекта // Автоматика и телемеханика. 2005. № 1. С. 29-36.
9. Козлов О.С., Кондаков Д.Е., Скворцов Л.М., Тимофеев К.А., Ходаковский В.В. Программный комплекс "Моделирование в технических устройствах". 2005. Режим доступа: http://model.exponenta.ru/mvtu/20050615.html (дата обращения 18.12.2012).
10. Козлов О.С., Скворцов Л.М. Исследование и проектирование автоматических систем с помощью программного комплекса "МВТУ" // Информационные технологии. 2006. № 8. C. 9-15.