НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК: 621.396.662

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

nastia_kov-k@rambler.ru

Введение

          Исследованию срыва слежения в системе слежения за задержкой (ССЗ) псевдошумового сигнала (ПШС) посвящено много работ [1-6]. В данной статье систематизированы и дополнены новыми данными полученные к настоящему времени результаты.

          Для расчета среднего времени до срыва слежения используется численный метод, основанный на решении уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК). В случае больших отношениях сигнал/шум (ОСШ) использован приближенный метод [6], позволяющий получить грубую асимптотику (поведе­ние логарифма) среднего времени до срыва слежения для систем 2-го порядка с интегрирующим  (ИФ),  пропорционально - интегрирующим  (ПИФ)  и  вырожденным  пропорционально  - интегрирующим (ВПИФ) фильтрами.

          Произведено сравнение полученных результатов с результатами других методов (точным решением уравнения Понтрягина для системы 1-го порядка и формулой Крамерса [2]).

                    1. Модель входного сигнала

          Поставлена задача когерентного приема ПШС, на­блюдающегося на выходе канала в смеси с широкополосным шумом, т.е.

   (1)

где u(t) - сигнал на входе приемного устройства; А - среднеквадратичное значение напряжения u(t);  - центральная частота спектра ПШС и одновременно частота собственных (без управляющего воздействия) колебаний местного генератора системы ФАП; и - переменная начальная фаза и временная задержка ПШС; П(t) - псевдослучайная последовательность импульсов, модулирующая входной сигнал по амплитуде; c(t) и s(t) – независимые в совпадающие моменты времени гауссовы случайные процессы.

          Для когерентного приема ПШС применяется двухканальная сле­дящая система, основной канал, которой представляет собой систему фазовой автоподстройки (ФАП) с устройством свертки спектра и полосовым фильтром, а вспомогательный - ССЗ с устройством гетеродинирования спектра на низкую частоту и фильтра нижних частот (рис. 1).

Рисунок 1 - Двухканальная следящая система

Как следует из рисунка, входной сигнал u(t) в канале ССЗ перемножается на опорный сигнал, формируемый ФАП:

                                 (2)

где  - медленно меняющаяся начальная фаза местного генератора в режиме подстройки; в результате на выходе перемножителя основного канала имеем сигнал

    (3)

где было использовано разложение в ряд Фурье псевдослучайной последовательности :

                                (4)

предполагалось, что , где N – номер последней гармоники, учитываемой в спектре  при фильтрации, и были сгруппированы члены с частотами  и т.д.

          Если считать, что  то при настройке фильтра в канале ССЗ (рис. 1) в полосе  сигнал на выходе этого фильтра будет совпадать с (3) с точностью до первых N гармоник; остальные будут подавлены. Тогда

    (5)

где  - собственно сигнал на входе ССЗ.

          2. Расчет среднего времени до срыва синхронизации, оптимизация параметров ССЗ

          Известно, что знание величины  позволяет сразу же оценить среднее время до срыва синхронизации:

,

причем для расчета коэффициента пропорциональности необходимо знать функцию . Однако поскольку функция не зависит от , то при  экспоненциальный множитель в выражении для Т_с будет доминировать. Цель данной статье - оптимизировать параметры фильтра в кольце регулирова­ния задержки, чтобы режим синхронизации сохранялся возможно бо­лее долго. Для достижения этой цели достаточно максимизировать (за счет оптимального выбора параметров  и , а также М, b и r) функцию . Этой задаче и посвящена данная статья.

          Таким образом, при большом ОСШ выражение для Т_с в ССЗ принимает вид

где  - высота потенциального барьера между устойчивым и неустойчивым состояниями равновесия схемы;

                                 (6)

          ОСШ r обычно задано, так же как и начальная расстройка по частоте  между местной и принимаемой псевдослучайной последовательностью импульсов; М - размерность последовательностей - также фиксированная величина. Поскольку то изменить параметр  можно только дискретно за счет выбора одного из типов фильтра в ССЗ: если выбран ПИФ, то  если выбран ВПИФ, то  = 1 независимо от . Легче всего изменять параметры фильтра: постоянную времени и соотношение коэффициентов усиления пропорционального и интегрирующего звеньев, т.е. варьировать  (или ) и  (или а). Оба эти параметра входят только в функцию .

          Проанализируем зависимость функции  от параметров , а и . Сразу замечаем, что при с_о = 1, а = 1, а также при с_о = 1 и , как и должно быть (вырождение в систему 1-го порядка, для  которой

это можно показать аналитически); тот же результат получаем при с_о = 1, а = 0, т.е. при наличии ИФ в кольце регулирования задержки, что согласуется с формулой Крамерса. С другой стороны, при с_о = 1, а₀ получаем  имеет место вырождение в систему первого порядка, но с увеличением действующего ОСШ: новое ОСШ  как и в «обычной» ФАП с дискримина­ционной характеристикой g(х) = sin х. Таким образом, полученное выражение для среднего времени до срыва синхронизма устойчиво к любым предельным переходам_, приводящим к понижению порядка системы; это не имеет места для ряда других методов расчета. 

          Проанализируем зависимость функции (6) от параметров  и а. Пусть  тогда

если используется ПИФ (а, иначе  = 1), и

если используется ВПИФ.

          На рис. 2 а, б приведены зависимости  при различных значениях параметра а; рис. 2а соответствует  = 1, рис. 2б  = 0,81. Как видим, функция  - монотонно возрастающая при использовании ПИФ и ВПИФ, но среднее время до срыва синхро­низации при использовании ПИФ больше только при очень малых значениях : уже при  = 0,1 использование ПИФ, нечувствительного к изменению , обеспечивает большую длительность синхронизма. Оптимальными также являются малые значения параметра а, но этого и следовало ожидать, так как растет действующее ОСШ. 

Рисунок 2 - Зависимости  при различных значениях параметра а
 1, 2 - a=0,2; 3, 4- a=0,4; 5, 6 - a=0,6; 7, 8 - a=0,8; 9, 10- a=1;

1, 3,5, 7, 9 – ПИФ; 2, 4, 6, 8, 10 – ВПИФ.

          Проанализируем зависимость функции (6) от параметра а. Пусть  тогда

если используется ПИФ (или ИФ, когда а=0), и

                                    (7)

если используется ВПИФ.

          На рис. 3а, б приведены зависимости  при различных значениях параметра ; рис. 3а соответствует применению ПИФ в кольце регулирования задержки; рис. 3б - применению ВПИФ.

Рисунок 3 - Зависимости  при различных значениях параметра
а), б) 1- =0,01; 2- =0,05; 3- =0,1; 4- =0,2; 5- =0,5; 6- =1;   б) 7 -

          В обоих случаях имеется максимум зависимостей , т.е. при фиксированном  (заданных полосе синхронизации и постоянной времени фильтра) соотношение между коэффициентами усиления пропорционального и интегрирующего звеньев фильтра может быть выбрано оптимальным, обеспечивающим наибольшую среднюю продолжительность режима синхронизма. Исследование соотношения (7) на экстремум приводит к следующему простому результату: оптимальное значение параметра а при заданном  дается формулой

а соответствующее максимально достижимое среднее время до срыва синхронизации (нормированное к r и M)

зависимость  также приведена на рис. 3 б.

          На рис. 4, рис. 5 представлены полученные зависимости среднего времени до срыва слежения для ФАП 1-го (рис. 5) и 2-го порядков (ПИФ – рис. 4а и ВПИФ – рис. 4б) при различных значениях а и .

а) ПИФ                                                          б) ВПИФ

Рисунок 4 - Зависимость среднего времени от ОСШ для ФАП
а = 0,2; 2- а =0,4; 3- а =0,6; 4- а =0,8

Рисунок 5 - Зависимость среднего времени от ОСШ для ФАП 1-го порядка

1- 1; 2-2; 3-3; 4-4; 5-6

Заключение

          В статье представлено среднее время до срыва синхронизма для ФАП 2-го порядка. Получены оптимальное значение параметра системы и максимально достижимое среднее время до срыва синхронизации. Проведено сравнение полученных результатов для ФАП с ПИФ и ВПИФ.

Список литературы

1.  Lindsey W.C., Simоn М.К. Теlесоmmunication sуstеms engineering. Prentice-Hall, 1973.

2.  Вlаnсhard А. Phase-Iocked loops: application to coherent receiver design. N.Y.: Wiley, 1976.

3.  Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Радио и связь, 1972. 448 с.

4.  Евсиков Ю.А., Обрезков Г.В., Разевиг В.Д., Чапурский В. В., Чиликин В. М. Прикладные математические методы анализа в радиотехнике / под ред. Г.В. Обрезкова. М.: Высшая школа, 1985. 343 с.

5.  Klapper J., Frunkle J. Phase-Iocked and frequency-feedback sуstеms. New Jersey, N.Y.: Academic Press, 1972.

6.  Gardner F.M. Phase lock tеchniquеs. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 1979.