НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК: 621.396.662

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

nastia_kov-k@rambler.ru

Введение

            Системы фазовой автоподстройки (ФАП) находят широкое применение в различных областях техники: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция сигналов с частотной и фазовой модуляцией, измерение частоты и фазы сигналов и т.д.

            Для анализа дискретных ФАП применяются интегральное уравнение Колмогорова-Чепмена и уравнение среднего времени до срыва синхронизации [1-3]. В указанных работах найдены плотности распределения вероятности (ПРВ) координат, в меньшей степени исследованы характеристики срыва слежения, причем рассмотрены непрерывные системы, и не проводится анализ дискретных ФАП.

            В данной статье приводится анализ срыва синхронизации дискретных ФАП 1-го и 2-го порядков различными методами.

            1. Постановка задачи

            Срыв слежения в непрерывной ФАП, которая описывается си­стемой стохастических ДУ 2-го порядка, представляет собой до настоящего времени в общем случае нерешенную задачу. Корректно эта задача должна быть решена как краевая задача для уравнения Понтрягина [4]. Пусть М - диффузионный оператор Понтрягина. Т - среднее время до срыва слежения,  - граница области D фазового пространства. Срыв слежения происходит тогда и только тогда, если изображающая точка выходит за границу  области D фазового пространства. При этом среднее время до срыва удовлетворяет краевой задаче

MT = -1 в области D; Т = 0 на границе.                                 (1)

Однако трудность заключается в правильном выборе краевых условий, чего корректно до сих пор не сделано. Поэтому приходится прибегать к более простым методам вычисления времени до срыва слежения.

            Можно, в частности, использовать приближенные формулу Крамepca и формулу Журавлева для ФАП с интегрирующим фильтром (ИФ), а также формулу [5] для ФАП с пропорционально-интегрирующим фильтром (ПИФ). Имеются приближенные выражения для среднего времени до срыва, которые получили Таусворт [6] и Линдсей. Кроме того, для приближенного вычисления среднего времени до срыва слежения могут быть использованы метод усреднения и другие асимптотические методы.

            Анализ срыва слежения в непрерывных системах автоматического регулирования второго порядка рассмотрен в ряде работ [6, 7 и др.]. Некоторые неудобства при сопоставлении результатов представляет различная нормировка среднего времени Т_с до срыва синхронизации, так, например, Шухман [7] нормирует по шумовой полосе (), Таусворт [6] и Линдсей - по удвоенной шумовой полосе (), в статье отдается предпочтение нормировке  при у(х) = sin(х), переходящую в нормировку по полосе синхронизации в системе 1-го порядка [8]. В данной статье вначале рассматриваются приближенные соотношения для среднего времени до срыва слежения, а затем решается краевая задача.

            2. Приближенные методы анализа

            Метод Таусворта (метод аппроксимации условного среднего значения ). Данный метод используется как для аппроксимации коэффициентов сноса и диффузии в уравнении Понтрягина [6], так и для аппроксимации решения этого уравнения. Рассмотрим вначале первый способ решения задачи: в [6] показано, что в случае ФАП 2-го порядка можно использовать дифференциальное уравнение (ДУ) Понтрягина в форме [6]

                                      (2)

Здесь оператор Понтрягина

 - коэффициент сноса;  - коэффициент диффузии;

Решение Т(х₀), как и в системе 1-го порядка, должно удо­влетворять граничным условиям (1)

                                                          (3)

Запишем ДУ (2) в форме [6]

                                 (4)

где  

В [7] по методу Таусворта получено обобщенное ДУ Понтрягина.

Это ДУ при наличии вырожденного ПИФ (ВПИФ) имеет вид

Т                         (5)

где  а граничные условия аналогичны (3)

При вычислении  и  целесообразно в общем случае численно решать краевую задачу (1) методом прогонки.

            Разбивая отрезок на N участков длиной  точками   полагая  и заменяя производные конечными разностями, при  имеем [8]

           (6)

где  граничные условия  

Для системы 1-го порядка ДУ (2), (4) являются точными, для системы 2-го порядка - приближенными за счет приближен­ного вычисления коэффициентов сноса и диффузии.

            Найдем решение ДУ (4). Запишем (4) в форме ДУ 1-го порядка [8]

dz/dx + p(x)z = q(х),

где z = dT/dx; р(х) = 2а(х)/b(х); q(х) = -2/b(х).

            Решением этого ДУ служит

где  Отсюда  

            Общее решение ДУ (4) имеет вид

                                     (7)

где   Постоянная  опре­деляется из граничного условия :

в результате получаем решение ДУ Понтрягина

                                       (8)

            Постоянная C₁ находится из второго граничного условия :

            В результате окончательно находим решение ДУ (4), удовле­творяющее граничным условиям (3)

            Символическая форма ДУ ФАП имеет вид [6]

            Замечаем, что полоса синхронизации

 Согласно методу Таусворта

где  - односторонний энергетический спектр белого шума  

            Для системы 1-го порядка

            (9)

где  

            Пусть фильтр низких частот представляет собой ВПИФ , тогда

где

            Односторонняя шумовая полоса В линеаризованной ФАП имеет вид [8]

где     

            Отсюда, если  получаем шумовую полосу ФАП с ВПИФ

                        (10)

            При наличии ПИФ F = а,

            При   находим коэффициент  для ФАП с ВПИФ

                                             (11)

где .

            Найдем величину . Согласно [6]

где .

            Если ограничиться линейным членом разложения, то можно получить выражение [6]

где      находим         Отсюда при  находим  Тогда

            Коэффициент

где

            Если ПИФ вырожденный (l = 1), то

                       (12)

            С учетом приведенных значений коэффициентов уравнения Понтрягина имеем

            Следовательно,  является функцией четной. Отсюда следует, что функция  в (8) и (9) является нечетной функцией. В дальнейшем рассматриваются границы  симметричные относительно начала координат, поэтому постоянная  В этом частном случае по (9) находим среднее время достижения порога [8]:

            Учтем равенство

Тогда получаем

            Полагая  и используя выражение (11), (12) для коэффициентов  и , находим среднее время достижения порога в системе 2-го порядка с ВПИФ

где    

            При выполнении условия  получаем

                  (13)

            При   по (13) находится точное значение среднего времени достижения порога в системе 1-го порядка при нулевой начальной расстройке [8, формула (1.85)]. Значение  можно найти, используя разностную схему ДУ Понтрягина (6).

            Вычисленная таким образом зависимость  изображена на рис. 1 а при  и рис. 1 б при отношении помеха/сигнал  и различных значениях . Сравнивая рис. 1 а и рис. 1 б, замечаем, что при больших значениях отношения сигнал/шум (ОСШ)

 (рис. 1 а),                         (рис. 1 б),

в последнем случае, как и для системы 1-го порядка [8]. На рис. 1 а, б: 1- =8, 2- =4, 3-= 2, 4- =1, 5- =0,5, 6- =0,1;   на рис. 1 а: 7 -=20.                  

Рис. 1. Среднее время достижения порога в системе 1 порядка при нулевой начальной расстройке

При больших значениях  независимо от величины  справедлива приближенная формула для моментов времени  до срыва слежения [8]

                                                           (14)

Справедливость этой формулы доказана в [8] для ФАП 1-го порядка. С ростом  при  значения  асимметрии  и эксцесса  попадают в интервал, определяемый для системы 1-го порядка [8]:

            При аппроксимации решения уравнения Понтрягина Таусворт получил формулу [6, формула (18)]

                                             (15)

где

При больших  и  малых  формула (15) дает большую погрешность.

Асимптотические методы. Для ФАП с ИФ при малой посто­янной времени фильтра или, что эквивалентно, при большом значе­нии величины  можно воспользоваться приближенным соотноше­нием

,                                                         (16)

причем величина  может быть вычислена по формуле Журавлева.

            В результате получаем

                                          (17)

где  ([8]); W(х) - ПРВ системы 1-го порядка.

            На рис. 2 зависимость (17) изображена сплошными линиями при  = 2, 5, здесь же крестиками обозначены значения , вычи­сленные по формуле (17), когда величина рассчитывалась мето­дом матричной прогонки; штриховыми линиями на рис. 2 изобра­жена зависимость  для системы 1-го порядка [8]

                         (18)

где .

            При наличии ПИФ справедлива система стохастических ДУ, из первого уравнения которой при   получаем ДУ

                                  (19)

т.е. ДУ ФАП 1-го порядка, отличающееся параметром  и .

            При     

тогда среднее значение частотного рассогласования

где  - среднее значение величины  при усреднении с весом ПРВ W₁(x), которая отличается от W(x) системы 1-го порядка значением : W₁(x) получается из W(x) заменой r на  и . Следовательно, все формулы, справедливые для системы 1-го порядка, оказываются асимптотическими для системы 2-го порядка с ПИФ при  Формула для среднего времени до срыва слежения принимает вид  

где

            Эта зависимость в форме    изображена на рис. 2.

Рис. 2. Зависимость среднего времени от ОСШ для дискретной ФАП 2-го порядка с невырожденным ФАП асимптотическим методом
1- 0; 2- 0,2; 3- 0,4; 4- 0,6; 5- 0,8       

            По (13) можно получить асимптоти­ческие формулы, справедливые при ма­лых и больших значениях .

            При  используя приближенные равенства  находим

                                          (20)

            При   для си­стемы 1-го порядка [8];  Тогда приближенная формула для сред­него времени до срыва слежения прини­мает вид

                              (21)

Рис. 3. Зависимость среднего времени от ОСШ для дискретной ФАП 1-го порядка асимптотическим методом:  1- 0,2; 2- 0,4; 3- 0,6; 4- 0,8.

            Значения , рассчитанные по этой формуле, при =0,1 и соответственно = 2; 4; 10; 1000 равны 4,4413 (3,3759); 3,0842 (2,6731); 2.3884 (2,2575); 1,9778 (1,9865) (в скобках указаны точные значения). Таким образом, точность приближенной формулы растет с ­ростом .

            Пусть , тогда подынтегральные функции в (13) имеют острые максимумы: во внутреннем интеграле в точке , во внешнем – в точке  причем  и  находятся из уравнения  или

            Следовательно, =0, а  можно вычислить, используя приближенное равенство

            Имея в виду острый максимум в точке  воспользуемся отрезком ряда

тогда приближенно можно вычислить внутренний интеграл в (13)

            Остается вычислить внешний интеграл в (13), используя разложение во втором остром максимуме

            В результате находим приближенное значение внешнего интеграла (13)

            Таким образом, приближенная формула для среднего времени до срыва слежения для ФАП с ВПИФ с учетом (13) и равенства   принимает вид

                           (22)

где

Рис. 4 Зависимость среднего времени от ОСШ для дискретной ФАП с ВПИФ асимптотическим методом: 1- 0.2; 2- 0.4; 3- 0.6; 4- 0.8.

            Отсюда при  следует известное приближенное равенство (14).

            Запишем полученное соотношение в виде произведения

                                                              (23)

где  

            Сравним результаты вычислений  по формуле (4.23) и точные данные (указаны в скобках). При =2; 4; 10 соответственно получаем: при 2 – 47,2 (74,2); 70,8 (37,9); 110 (138); при  - 1,59·10³ (2,28·10³); 5,88·10³  (7,32·10³); 2,08·10⁴ (2,33·10⁴). Как видно, относительная погрешность превышает 36% и 30% соответственно при ,  и уменьшается с ростом . Для сравнения отметим, что погрешность (4.14) составляет 21 %, 17%, 5% соответственно при  и 5.

            В качестве оценки времени до срыва слежения может быть использована формула

где  - частота достижения уровня  фазовым случайным процессом.

            При  получаем

                                                (24)

Это же равенство находится по формуле Крамерса при  и

            3. Срыв слежения в системе с интегрирующим фильтром

            На рис. 5 изображены графики зависимости среднего време­ни до срыва слежения от параметров системы при r=1; 2 и  Кривые 1 и 2 соответствуют первой формуле Крамерса.

            Метод Крамерса (малая расстройка  и значительная величи­на ОСШ r). При вычислении среднего времени в системе с ИФ воспользуемся формулой Крамерса. При  формула Крамерса для нормирован­ной величины среднего времени  принимает вид

                                                (25)

где        

                   (26)

Кривые 3 и 4 соответствуют второй формуле Крамерса

                                                 (27)

где  

            В крайних точках параметра  численным методом получены следующие результаты: при r=1  если  и  если  при r=2  если  и  если .

Рис. 5. Зависимости среднего времени от срыва слежения от параметров системы численным методом при  1, 2 – соответствует 1-ой формуле Крамерса,

3, 4 – 2-ой формуле Крамерса; 1, 3 -  r=1; 2, 4 -  r=2.

            На рис. 5 замечаем, что при малых  результаты ближе ко 2-ой формуле Крамерса, а при умеренных  результаты численного метода совпадают с данными, полученными по 1-ой формуле Крамерса, и при  среднее время до срыва стремится к асимптоте, характеризующей систему 1-го порядка. Кроме того, замечаем, что с уменьшением  сближаются средние времена достижения порогов  и .

Заключение

            Таким образом, в результате проведенного анализа были получены сравнительные характеристики среднего времени до срыва синхронизации приближенными методами в зависимости от значений отношения сигнал/шум и отношения помеха/сигнал. Представлены полученные результаты для ФАП 1-го и 2-го порядков. Получены характеристики для ФАП с ПИФ и ВПИФ.

Список литературы

1.     Chie C.M. Mathematical analogies between first-order digital and analog phase-locked loops // IEEE Trans. 1978. Vol. COM-26, № 6. P. 860-865. DOI: 10.1109/TCOM.1978.1094148

2.     Weinberg A., Liu B. Discrete time analysis of nonuniform sampling first- and second- order phase-locked loops // IEEE Trans. 1972. Vol. COM-22, № 2. P. 123-137. DOI: 10.1109/TCOM.1974.1092168

3.     Битюцкий В.И., Сердюков П.Н. Оценка времени до срыва синхронизма в импульсной системе ФАПЧ // Радиотехника. 1973. № 8. С. 95-97.

4.     Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977.525 с.

5.     Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. 488 с.

6.     Tausworthe R.C. Cycle slipping in phase-locked loops // IEEE Trans. on Communications. 1967. Vol. COM-15, № 3. P. 417-421.

7.     Schuchman L. Time to cycle slip in first and second order phase locked loop // Inter. Comm. Conf. San-Francisco. 1970. P. 341-349.  

8.     Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996. 252 с.