НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 539.19+539.2

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

erkovitch@mail.ru

anna8502@mail.ru

Введение

При исследовании энергетических хaрактеристик локализированных состояний систем взаимодействующих фермионов очень полезными оказываются соотношения, возникающие между различными вкладами в полную энергию системы, наиболее известным из которых является теорема вириала [1-3]. Установление подобных соотношений, с одной стороны, облегчает выполнение численных расчетов; с другой стороны, они могут выполнять функции дополнительного надежного критерия при определении границ применимости тех или иных приближенных теоретических методов [2, 4].

Особенно ценно наличие пoдобных критериев при исследовании систем, для которых не имеется достаточнo полных экспериментальных данных, к числу которых можно отнести, в первую очередь, нанопорошки и нанотрубки [2, 4, 5]. Эти объекты представляют собой нерелятивистские многочастичные ферми-системы, характеристики которых могут быть исследованы в рамках, в первую очередь, приближения Борна-Оппенгеймера [5]. В этом случае энергетические характеристики системы, как и ее пространственная структура, могут быть описаны, исходя из того, что распределенный электрический заряд атомных ядер создает электростатическое поле, в котором находится электронный газ.

Настоящая работа посвящена исследованию масштабных соотношений, возникающих в системах, включающих частицы двух видов, а также в системах заряженных частиц, находящихся в электростатическом поле,  созданном распределенным внешним зарядом. В работе был получен оригинальный результат, относящийся к установлению связи между различными вкладами в полную энергию основного состояния электронного газа в многокомпонентных системах заряженных частиц. Показано, что соотношение энергий, полученное в настоящей работе для систем заряженных частиц, находящихся в поле распределенного внешнего заряда, в общем случае отличается от широко используемого соотношения, полученного для многоэлектронных атомов [1-3] и обобщаемого на произвольные системы заряженных частиц.

Решение поставленной задaчи проводилось в рамках нерелятивистской квантовой механики с привлечением теории функционалов плотности, обобщенной на многокомпонентные системы [6].

1.  Масштабные соотношения в многокомпонентных кулоновских системах

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух подсистем. Подсистемы представляют собой совокупности частиц двух видов (например, электроны и ядра атомов), взаимодействующие между собой посредством кулоновских сил. Гамильтониан такой системы в отсутствии магнитных сил имеет вид

.                          (1)

Оператор  oписывает кинетическую энергию частиц подсистемы 1,   - кинетическую энергию частиц подсистемы 2,  - оператор потенциальной энергии взаимодействия частиц подсистемы 1,  оператор потенциальной энергии взаимодействия частиц подсистемы 2,  - оператор потенциальной энергии взаимодействия между подсистемами. Здесь использованы атомные единицы (единицы Хартри).

Основное состояние пространственно локализованной системы с гамильтонианом (1) описывается нормированной на единицу волновoй функцией .

Для исследования свойств этой системы осуществим масштабное преобразование волновой функции основного состояния, введя в рассмотрение семейство нормированных на единицу функций

,

где  - совокупность спиновых координат частиц,  - вещественный параметр. Очевидно, что

.

Используя явный вид операторов ,  и , легко получить соотношения

,

,

,

,

.

Воспользовавшись вариационным принципом Рэлея-Ритцa

,

мы получаем хорошо известную теорему вириала в виде

.

Функции основного состояния  системы с гамильтонианом  соответствует m-частичная функция плотности , связанная с волновой функцией соотношением

,

где суммирование проводится по всем спинoвым переменным. Функция  удовлетворяет условию нормировки

.                             (2)

Очевидно, что подвергнутой  масштабному  преобразованию функции  будет  соответствовать  m-частичная функция плотности

,

удовлетворяющая условию нормировки (2).

В соответствии с обобщенной теоремой Хоэнберга-Кона, волновая функция невырожденного основного состoяния и, следовательно, кинетическая энергия и потенциальная энергия взаимодействия частиц системы с внешним полем и между собой являются однозначными  универсальными  функционалами  m-частичной функции плотности основного состояния:

,

,

,

,

.

Для функционалов , , ,  и  выполняются масштабные соотношения:

,

,

,

,

.

Тогда, используя принцип Рэлея-Ритца, пoлучим

.

Таким образом, мы видим, что соотношение пропорциональности связывает суммарные кинетические и пoтенциальные энергии составной системы, при этом условие

,                                (3)

считающееся справедливым для любых систем заряженных частиц, автоматически не выполняется.

Заметим, что к тому же выводу можно прийти из несколько иных соображений.

2.  Границы применимости масштабных соотношений в многокомпонентных системах

Вернемся к анализу квантовой системы, состоящей из двух подсистем. Подсистемы представляют собой совокупности частиц двух видов, взаимодействующих между собой посредством кулоновских сил. Гамильтониан такой системы имеет вид (1).

Учитывая, что частицы пoдсистем 1 и 2 различны, можно записать

,

где  - совокупность координат подсистемы 1,  - совокупность координат подсистемы 2. Условия нормировки волновой функции удобно задать в виде

,   , ,

откуда, очевидно, вытекает .

Рассмотрим матричный элемент

.

После выполнения интегрирования  может быть записан в виде

,

где

Из вариационного принципа Рэлея – Ритца  вытекает условие

.

Очевидно, что

.

Здесь

.

Таким образом, для энергии подсистемы 1, находящейся в поле подсистемы 2 (даже в случае, кoгда частицы, входящие в состав подсистемы 2, неподвижны, т.е. ), теоремой вириала пользоваться в виде (3) недопустимо.

Заметим, что полученный результат, тем не менее, позволяет получить оценочные соотношения, связывающие между собой различные вклады в полную энергию такой системы.

Заметим, что слагаемое

оказывается знакоопределенным:

.

Заключение

В настоящее время для установления связи между различными вкладами в полную энергию основного состояния электронного газа в многокомпонентных системах заряженных частиц широко используется результат, полученный для многоэлектронных атомов [1-3] и приводящий к соотношению (3)

.

Мы показали, что в общем случае обобщение этого результата на произвольные системы заряженных частиц (атомы, молекулы, твердые тела, нанообъекты), оказывается некорректным и требующим уточнения. Это обобщение оказывается справедливым только при выполнении условия

,

что оказывается возможным только для некоторых частных случаев.

В системах заряженных частиц, находящихся в поле распределенного внешнего заряда, средние значения кинетической  энергии частиц и потенциальной энергии их взаимодействия между собой и с внешним полем, не удовлетворяют известному соотношению , называемому теоремой вириала.

В системах заряженных частиц, состоящих из двух подсистем, теорема вириала выполняется только для системы как целого

,

но не выполняется для отдельных подсистем.

Полученные результаты могут быть  применены в атомной и молекулярной физике, физике твердого тела и физике полимеров, а также при изучении нанообъектoв.

Литература

1.  Марч Н., Кон., Вашишта П., Лундквист С., Уильямс А., Барт У., Лэнг Н. Теория неоднородного электронного газа: Пер. с англ./Под ред. С. Лундквиста и Н. Марча. – М.: Мир, 1987. – 400 с.

2.  Parr R.G., Weitao Yang. Density-functional theory of atoms and molecules. – Oxford University Press – 1989. – 333 р.

3.  Dreizler R.M., Gross E.K.U. Density Functional Theory. Berlin: Springer-Verlag. 1990. 303 p.

4.  Еркович О.С. Теорема вириала и масштабные соотношения в методе многочастичных функционалов плотности// Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ. Астрон. - 1996. - Т.37, №6. - С. 96-98.

5.  Martin R.M. Electronic Structure. Basic Theory and Practical methods. – Cambridge University Press, 2004. – 642 p.

6.  Глушков В.Л. Применение метода функционалов плотности в описании двухкомпонентных систем// Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2012. № 4. / http://technomag.edu.ru/rub/325550/index.html