НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 548.1

Институт элементоорганических соединений им. А.Н. Несмеянова РАН

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Тверской государственный университет

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

talishome@mail.ru

kraposhin@gmail.com

Igor.veselov@mail.ru

ron@ineos.ac.ru

belayev@polly.phys.msu.ru

Введение

Огромные запасы углеводородов находятся в форме клатратных гидратов (газогидратов), строение и свойства которых определяются тетракоординированным водным каркасом, образованным ребрами полиэдров–полостей. Изучение структуры и свойств клатратных гидратов необходимо для разработки современных и безопасных технологий добычи и транспортировки газа (и других полезных ископаемых), создания энергосберегающих технологий, технологий разделения газовых смесей и т.п.

Несмотря на весьма продолжительную историю изучения клатратов, понимание особенностей их структуры, механизмов образования и фазовых превращений в них остается неполным. Первопричиной этого является несовместимость оси пятого порядка додекаэдра (основного полиэдра–полости клатратов) с решеткой кристалла. В рамках классической кристаллографии не существует конструкции,  отображающей и симметрию додекаэдра, и симметрию решетки. Не существует такой конструкции и для отображения симметрии когерентного сопряжения в одном образце нескольких кристаллических клатратных фаз, которое было обнаружено в [1]. Решение подобных проблем потребовало применения аппарата алгебраической геометрии, в частности, для определения графа усеченного икосаэдра, с которым совпадает строение молекулы фуллерена С₆₀ и который обладает той же точечной группой Y, что и додекаэдр [2]. В [2] было указано и на соответствие между Yи системой корней 8-мерной решетки Е₈ (первой координационной сферы) максимальной полупростой исключительной алгебры Ли e₈ [3].

Возможность реализации упорядоченных твердотельных структур в трехмерном евклидовом пространстве E³ определяется его топологическими свойствами, одним из которых является отсутствие разбиения на правильные тетраэдры. Поэтому плотнейшие упаковки шаров приходится аппроксимировать объединениями вокруг одного ребра 4-х, 5-ти и 6-ти неправильных тетраэдров, а центральный шар оказывается внутри одного из полиэдров, относящихся к типу полиэдров Франка–Каспера [4,5]. Дуальными к таким полиэдрам являются простые (в каждой вершине сходится  минимально возможное число 3 ребер, т.е. 3) 14-гранники с 4-, 5- и 6-угольными гранями.,

Дуальное к тетракадекаэдру [4⁰, 5¹², 6²] разбиение сферы на 24 треугольника определяет канонический полиэдр Z14 Франка-Каспера (k=6), представляющий собой один из основных строительных блоков структур интерметаллидов (иначе называемых топологически плотноупакованными структурами, поскольку они сложены только из тетраэдров). Таким образом, вывод всех простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-, 5- и 6- угольными гранями, фактически, является и выводом полиэдров Z14 вида [4^6-k, 5^2k, 6^8-k], у которых в 6-k, 2k и 8-k вершинах сходятся по 4, 5 и 6 ребер. Полиэдры Франка- Каспера  Z14[4^6-k, 5^2k, 6^8-k] при k= 1, 2, 3, 4, 5 назовем  неканоническими. При одном и том же kдва полиэдра могут обладать одной и той же точечной группой симметрии, и, следовательно, не будут различаться в рамках классической кристаллографии. Данный пример наглядно демонстрирует необходимость определения кристаллографических конструкций в рамках более общего аппарата алгебраической геометрии.

Основной целью настоящей работы является определение конструкций алгебраической геометрии, способных адекватно отобразить симметрию простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-, 5- и 6- угольными гранями. Решение данной задачи необходимо для априорного вывода полиэдров – полостей в клатратах и неканонических 14-вершинных полиэдров Франка-Каспера.

Конструкции алгебраической геометрии и таблицы инцидентности графов простых 24 –вершинных 14-гранных полиэдров.

Один  из полиэдров, аппроксимирующих плотнейшие упаковки шаров - - усеченный октаэдр [4⁶, 6⁸] с шестью квадратными и восемью гексагональными гранями, представляет собой полиэдр Дирихле для ОЦК-решетки. Этот полиэдр показан на рис.1 вместе со своей таблицей инцидентности. Полиэдр [4⁶, 6⁸] принадлежат классу простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров [4ⁿ, 5^12-2n, 6ⁿ⁺²], n=2, 3, 4, 6, который, в частности, содержит 10 стереоэдров, т.е. полиэдров, которые при размножении Федоровскими группами, осуществляют разбиения Е³ без промежутков [5]. В общем случае, к данному классу полиэдров могут принадлежать и не стереоэдры [4^6-k, 5^2k, 6^8-k], k=2, 3, 4, 5, 6.

Вершины полиэдра Кельвина [4⁶, 6⁸] с группой симметрии  O_h=T_hm_dT_h, принадлежат двум конгруэнтным прямым икосаэдрам:

[4⁶,6⁸]@ {3,5}_п  m_d{3,5}_п       (1),

где m_d– диагональная плоскость симметрии куба, T_h– группа  симметрии прямого  икосаэдра {3, 5}_п. Каждая вершина {3, 5}_п окружена тремя вершинами m_d{3, 5}_п и наоборот, поэтому графу [4⁶, 6⁸] может быть однозначно сопоставлен бихроматический граф (рис. 1а). Группа вращений икосаэдра Y изоморфна проективной специальной линейной группе PSL₂(5), входящей в особую серию групп PSL₂(p), p=3, 5, 7, 11, относительно которых инвариантно множество из pи p+1 инволюций [3]. Максимальная из этих групп - группа PSL₂(11) порядка 660 содержит гексагональную и кубическую точечные подгруппы D₆и Т, а также  подгруппуM_5,11(рис. 2):

PSL₂(11) = D₆M_{5, 11}=ТM_5,11 =IС₁₁   (2),

где I- группа вращений икосаэдра, С₁₁ - циклическая группа 11-го порядка [6]. В [2] было показано, что 12 борелевских подгрупп B=M_5,11=C_5*C₁₁ группы PSL₂(11) соотносятся с 12 вершинами икосаэдра. Иными словами, множество вершин икосаэдра изоморфно совокупности смежных классов разложения группы по подгруппе:

Y/C₅↔ PSL₂(11)/B = g_iB ,   g_i∉B=C₅∙C₁₁    (3),

где PSL₂(11) подгруппа индекса 12 в группе Матье M₁₁ [3].

Поскольку параллелоэдр [4⁶,6⁸] – это объединение двух конгруэнтных 12-вершинных (прямых) икосаэдров, обладающее группой симметрии O_h, для отображения симметрии его графа необходимо использовать максимальную подгруппу симметрической группы S₁₂ (перестановок 12 символов), которая удовлетворяет  условиям (1) - (3). Такой подгруппой является группа 2M₁₂, множество смежных классов которой по M₁₁ изоморфно совокупности вершин [4⁶, 6⁸]:

O_h/C_1v↔2M₁₂/M₁₁ = 2g_iM₁₁=g_i 2 PSL₂(11)                   (4),

где 2 – группа 2 порядка. Группа M₁₂  содержит  подгруппу M_n∙S_12-n, где S_12-n- симметрическая группа порядка (12-n)!, n=8, 9, 10, 11. [3]. Соотношения (4) определяют таблицу инцидентности (ТИ) бихроматического графа параллелоэдра [4⁶, 6⁸]. В этой таблице 12х12 столбцу соответствует белая вершина, строке – черная, а знаку инцидентности – соединяющее их ребро (рис. 1.б). В каждом столбце и каждой строке по 3 знака, подтаблица 9´9 представляет собой ТИ конфигурации(9₃)₂ конечной проективной геометрии [7].  Обозначим эту ТИ (рис. 1б) через ТИ12₃(М₉∙S₃).

а)                                                      б)

Рис.1. а). Вершины параллелоэдра [4⁶, 6⁸] являются вершинами белого и черного прямых икосаэдров. б). Таблица инцидентности (ТИ) графа параллелоэдра. Белым вершинам соответствуют столбцы ТИ, черным - строки, ребрам – зачерненные кружки. Кружок в кружке определяет ребро, которое разделяет квадрат и гексагон параллелоэдра. Подблоки таблицы, содержащие такие знаки, показаны светло-серым цветом.

Сохранение алгебраически существенной части условий (4) позволяет отобразить простой граф полиэдра [4⁶, 6⁸] в простой граф с тем же числом вершин, ребер и граней, которые могут отличаться, например, схождением ребер вершинах. Полиэдр с таким графом назовем M-эквивалентным параллелоэдру [4⁶, 6⁸], если отображение графов осуществляется преобразованием из 2M₁₂.Можно показать, что для ТИ12₃(М₉∙S₃) алгебраически существенными являются два требования: вложение подтаблицы 9´9 в ТИ конфигурации 9₃ и равенство соответствующему инварианту E₈ числа знаков в диагональных блоках. С учетом существования кратных трем инвариантов 18, 24, 30 системы E₈, в диагональных блоках ТИ12₃(М₉∙S₃) могут быть {(3(7+f)3(1+|f|)}, f=0, ±1 знаков.

Старшему инварианту 30 соответствует объединение 24 знаков диагональных блоков ТИ12₃(М₉∙S₃) с 6 знаками двух подблоков недиагональных блоков. Если такими подблоками являются 10–12´1‑3 и 7-9´10-12, то 30-значная подтаблица ТИ12₃(М₉∙S₃) определяет гексагональную призму с двумя параллельными гексагонами оснований и 6 боковыми октагонами, каждый из которых разделяется внутренним горизонтальным ребром на 4- и 6-угольник. В недиагональных блоках ТИ12₃(М₉∙S₃) такие ребра определяются знаками подблоков 10‑12´4‑6 и 7‑9´10‑12, которые назовем горизонтальными (рис. 1). При соединении внутренним ребром вершин одного цвета октагон может быть разбит на два 5-угольника. Замена 2k бихроматических ребер графа на монохроматические (между вершинами одного цвета) требует отбрасывания  2k знаков ТИ и введения 2k стрелок, которые, в терминах проективной геометрии, определяют “инцидентность” между вершиной и вершиной (прямой и прямой). Алгебраически существенными являются только диагональные блоки, поэтому уменьшение числа знаков инцидентности допустимо только в недиагональных. При отбрасывании внутренних (горизонтальных) ребер в 2 соседних боковых октагонах один из них  может быть разделен новым бихроматическим ребром на 4- и 6-угольник, а второй – монохроматическим на два 5-угольника. Это определяет возможность поэтапного отбрасывания знака в горизонтальном подблоке: сначала отбрасываются 2 знака, соответствующие отбрасываемым ребрам, а затем вводится знак, соответствующий новому ребру.

Рис. 2. Групп - подгрупповые соотношения в проективной специальной линейной группе PSL₂(11) или ¹¹I. Подгруппы I’ и I’’ изоморфны группе I, но не являются сопряженными [6].

Итак, в общем случае, можно определить требования к ТИ12₃(М_n∙S_12-n), которая задает простой 24-вершинный граф M-эквивалентный [4⁶, 6⁸]: блок n´n вкладывается в ТИ конфигурации n₃ конечной проективной геометрии, а строение всей ТИ определяется соотношением:

2 [3+(3-k_i^j(f))] {(3(7+f) 3(1+|f|)}+δ (k,f)=36               (5),

где в квадратной и фигурной скобках указано число знаков в недиагональном и диагональных блоках; δ(k,f)=2k_i^j(f)-3(f+|f|) – число монохроматических стрелок. Для краткости, вместо символа ТИ12₃(М_n∙S_12-n) будем использовать символ ТИ М_nS_12-n(f,k); например, граф параллелоэдра [4⁶, 6⁸] будет характеризоваться символом ТИ М₉S₃(0, 0).

а)

б)

в)

Рис. 3. Таблицы инцидентности, графы в форме диаграмм Шлегеля и определяемые ими простые 14-гранные полиэдры-полости клатратов: а) тетракадекаэдр, б) полиэдр № 10 из статьи [5], в) полиэдр с одной 4-угольной гранью из статьи [8]. Шестиугольники  заштрихованы, четырехугольники показаны темно-серым цветом. В тетракадекаэдре жирные линии выделяют боковые декациклы. Внутри полиэдра в) изображена молекула метана.

Рассмотрим все M-эквивалентные полиэдры (кластеры), графы которых определяются  ТИ М₉S₃(f,k), удовлетворяющей (5). Условия f=0, k_i^j(0)=0, 1, 2, δ=2k   означают замену 2k боковых граней [4⁶, 6⁸] на 2k пар 5-угольников по механизму:

[4⁶,6⁸]@[(46)^6-2k,(46)^2k,6²] ↔ [((46) ²)^3-k,((5²)²)^k, 6²] ≅ [4^6-2k, 5^4k ,6^8-2k] (6),

где (46) ² и (5²)² – декациклы, возникающие при объединении пары боковых  октагонов или двух пар 5-угольников.  Варианту k=0 соответствует параллелоэдр [4⁶, 6⁸] (рис. 1а); k=1– стереоэдры №2, 3, 8 [5]; k=2– стереоэдры №5, 7, 9 [5]. Условия f=0, k=3, δ=2k, в соответствии с (5), определяют тетракадекаэдр [5¹², 6²] (рис. 3а), который не является стереоэдром.  Стереоэдр на рис. 3б определяется ТИ, которая задается  одним из преобразований mгруппы 2M₁₂, поэтому данный полиэдр обозначим символом [4², 5⁸, 6⁴]^m. Преобразование m определяется дополнительным  разбиением множества из 21 вектора в (5) на 20 (инвариант Е₈) и 1[9].

В работе [8] был с помощью компьютерного перебора вариантов объединения полиэдров по граням был выведен полиэдр, содержащий наряду с 5-угольными и 6-угольными, одну 4-угольную грань, и не являющийся стереоэдром. Поэтому задача нахождения разбиения методом компьютерной переборки чрезвычайно усложняется: для заполнения пустот между нестереоэдрами может понадобиться несколько разных полиэдров. Поэтому возникла задача априорного определения ТИ простого 24-вершинного 14-гранного полиэдра с одной 4-угольной, десятью 5-угольными и тремя 6-угольными гранями. Хотя данный полиэдр и не является стереоэдром, он может быть полиэдром-полостью в клатратах. Решение этой задачи оказалось возможным благодаря тому, что симметрия системы E₈ (одной из основных конструкций развиваемого аппарата) задается определенным блоковым дизайном или t-(v,k,λ)-схемой (см. ниже).

Блоковый дизайн и графы особых (объединений) полиэдров.

В данной статье решается задача априорного вывода трехмерных упорядоченных (не обязательно кристаллических) структур. Другими словами, это задача нахождения множества вершин, соединенных ребрами (графов), обладающих определенной симметрией  (в нашем случае симметрией решетки Е₈). Например, имеется множество из vэлементов. Число всех возможных перестановок данного множества образуют группу из v! элементов. В такой группе будут присутствовать и физические нереализуемые симметрии, т.е.  мы вообще о структуре ничего не узнаем. В зависимости от поставленной физической задачи с помощью блокового дизайна из этой охватывающей группы выделяются необходимые симметрии. Блоковый дизайн, т.е. разбиение множества на подмножества, реализуется например,   в форме t-(v, k, λ)-схемы.  По определению t-(v, k, λ)-схема – это множество из v элементов, разбитое на bподмножеств (блоков) из k элементов так, что любые t элементов содержатся в λ блоках. При t=1 имеем bk=vr, так что каждый элемент принадлежит r блокам [3].

Системой Штайнера S(t, k, v) называется  t-(v, k, λ)-схема при t=4, v=11, k=5, λ=1), 4-(11, 5, 1)=S(4, 5, 11). Система S(4, 5, 11), состоящая из 66 блоков, показана ниже в виде таблицы [10]. Каждое число входит в bk/v=r=30 блоков. Система S(4, 5, 11) однозначно определяет систему S(5, 6, 12), группой автоморфизмов которой является использованная выше группа M₁₂ (соотношение (4) [3, 10]. И вообще, обе упомянутые системы Штайнера описывают симметрии решетки E₈.

Примером t-(v, k, λ)-схемы с λ≠1 является 2-(11, 5, 2) –схема или биплоскость, которую образуют выделенные жирным шрифтом пятерки чисел в первом столбце показанной ниже таблицы.Действительно, v=11 – это 11 чисел  от 0 до 10, причем 10 обозначено римской цифрой X; блок состоит из k=5 чисел. Какие бы 2 числа мы не взяли, найдутся только два блока из b=11, которые их содержат [10]. Например, 5 и 7 содержатся только в 3-м и 5-м блоках и т.д.

Таблица.

Система Штайнера S(4, 5, 11)или 4-(11, 5, 1)-схема [10].

В используемой нами ТИ12₃(М_n∙S_12-n) неявно задействована конечная проективная плоскость PG(2,q), которая является системой Штайнера S(t,k,v) = S(2, q+1, q²+q+1). Действительно, для PG(2,q) число точек v (столбцов в таблице инцидентности) и прямых b(блоков, то есть строк в ТИ) равно v=b=q²+q+1; число k точек на прямой (число точек в блоке) и число r прямых, проходящих через одну точку (каждая точка принадлежит r прямым) равно k=r=q+1. Любые две точки (t =2) принадлежат одной (l=1) прямой, а общее число знаков инцидентности в ТИ PG(2,q) равно b×к=v×r=(q²+q+1)(q+1). Для любого целого t (2£t’£t) каждая t-схема определяет и t’-схему, для которой t’=t–1, l’=l(+1-t)/k+1-t. Это позволяет по известной PG(2,q) строить более общие t-(v, k, l) схемы[3, 11].

Например, при t=3, v=q²+1, k=q+1, =1 система Штейнера S(3, q+1, q²+1)  определяет плоскость Мёбиуса (инверсную плоскость), которая получается из евклидовой плоскости присоединением единственной идеальной точки. Данная точка считается принадлежащей всем прямым плоскости, а такое присоединение уравнивает на плоскости  прямые и окружности, называемые циклами. Подмножество из q²+1 точек проективного пространства порядка q, обладающего тем свойством, что никакие три точки в нем не коллинеарны является овалоидом. Использование овалоида над координатным полем GF(2) позволяет получать точки конечной аффинной плоскости соответствующего порядка, которую, в свою очередь, можно соотнести с корневой системой соответствующей полупростой алгебры.

Рис. 4. Таблица инцидентности плоскости Мёбиуса порядка 3 и определяемое ею объединение 9 кубооктаэдров вокруг центрального. а) Таблица инцидентности плоскости Мёбиуса порядка 3 как 3-(10, 4, 1)−схема [11].б), в) определяемое таблицей а) объединение по квадратным граням 10 кубооктаэдров из ГЦК − решётки. Тройная б) и двойная в) оси кластера совпадают с тройной и двойной осями нулевого кубооктаэдра.

Для определяемой S(3, 4, 10) плоскости Мебиуса (при q=3) справедливы следующие положения:

1) Число всех точек плоскости q²+1=10

2) Число всех циклов q (q²+1) =30

3) Каждый цикл инцидентен q+1 =4 точкам

4) Каждая точка инцидентна q(q+1)=12 циклам

5) Каждые два столбца пересекают в точности q+1=4 строки.

Удовлетворяющая этим условиям таблица инцидентности (рис. 4а) состоит из 10 столбцов и 30 строк [11]. В работе [7] показано, что столбец в ТИ (рис. 4а) можно считать центром кубооктаэдра, а каждый из 12 знаков инцидентности данного столбца − вершиной этого кубооктаэдра. При такой трактовке ТИ S(3, 4, 10) определяет объединение по квадратным граням 10 кубооктаэдров, в котором 6 кубооктаэдров стоят на всех квадратных гранях центрального, тем самым выделяя его (рис. 4б, в). Центр такого кубооктаэдра соответствует идеальной точке Р_о плоскости Мебиуса. Изображённый на рис. 4б, в кластер обладает симметрией D₃ и вкладывается в ГЦК-решётку [7]. Таким образом, если рассмотренные ТИ PG(2,q)=S(2, q+1, q²+q+1), q=2, 3, 4 определяли графы особых кластеров  тетракоординированных (алмазоподобных) структур, то подтаблица ТИ  S(3, q+1, q²+1), q=3 определяет граф особого кластера тетраэдрической (металлической) структуры.

Каждый блок Bв t-(v, k, λ)-схеме может быть представлен своим характеристическим вектором (c₁, … , c_v), таким что c_i=1 если iB и с_i=0 если iB. Таким образом, t-схема является и двоичным кодом, в  каждом слове  которого из v символов находятся kненулевых. Используемая в (2)-(4) группа PSL₂(11), представляет собой группу автоморфизмов биплоскости [5-8], поэтому решение данной задачи потребовало трактовки группы M₁₂  и как группы автоморфизмов троичного кода Голея G₁₂. Этот код определяется добавлением проверки на четность к  коду G₁₁,состоящему  из 729 наборов (слов), в которых по 11 позициям размещены 1, -1 и 0:

G₁₁=1 + 132x⁵ + 132x⁶ + 330x⁸ + 110x⁹ + 24x¹¹

                      G₁₂=1               + 264x⁶     + 440x⁹ +           24x¹²                                (7)

где Аxⁿ обозначает число А наборов xⁿ, состоящих из n  ненулевых символов [5]. Если 0 сопоставляется пустая клетка в ТИ , 1- знак инцидентности, то -1 сопоставляется пустая  клетка ТИ, в которую может быть перенесен знак инцидентности. Переход от    t-(v, k, λ)-схемы к определяемому ею коду, существенно расширяет симметрийные возможности определения ТИ графов. Действительно, система  S(4, 5, 11) состоит из 66 блоков, а код G₁₁ из 729 слов. Не вдаваясь в математические подробности изложенные в [9], укажем, что соотношения (7) позволяют априори получать особые ТИ вида ТИ12₃(М₉∙S₃), которые нельзя выделить только в рамках соотношений (5). Полученная по этому алгоритму ТИ и определяемый ею граф 14-гранного полиэдра с одной 4-угольной, десятью 5-угольными и тремя 6-угольными гранями приведен на рис. 3в.

Рис. 5. Образование декацикла в тетракадекаэдре из молекул воды при молекулярно- динамическом моделировании фазового перехода газогидрат – лед.

Полученные результаты можно, в частности, рассматривать как симметрийную основу для взаимной трансформации полиэдров, т.е. фазовых и структурных превращений.  Ранее было показано, что так можно описать мартенситные превращения в железе [12] и титане [13], эвтектоидное превращение в сталях[14], а также использовать длямолекулярно-динамического моделирования разложения газогидрата, в результате которого молекула газа покидает полиэдр – полость из молекул воды [12]. Например, для газогидрата I с метаном, занимающим додекаэдрические и тетракадекаэдрические пустоты, было установлено, что его фазовому переходу в лед (воду) предшествует процесс трансформации части тетракадекаэдров (рис.3а) в априори выведенные полиэдры-полости газогидратов (рис. 3б, в). Для части тетракадекаэдров зафиксирован и процесс образования декациклов, через которые молекулы метана уже могут покинуть тетракадекаэдры (рис. 5).

Заключение

Полиэдр Кельвина является родоночальником особого класса простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-,5-и 6-угольными гранями. Его симметрия наиболее полно определяется соотношениями (4), в которых используется базовая конструкция группы Матье М₁₂. Эта группа представляет собой группу автоморфизмов системы Штайнера S(5,6,12), которая однозначно связана с кодом Голея G₁₂ и системой Е₈ [2, 3, 6]. Применение конструкций М₁₂, S(5, 6, 12), G₁₂ и Е₈ позволило априори определить графы полиэдров этого класса, который содержит 10 стереоэдров, генерирующих 23 кристаллографических тетракоординированных  разбиения Е³. Хотя структуры большинства газогидратов ограничиваются этими разбиениями, но принципиально важно в рамках единого аппарата априори определять и графы полиэдров, которые не являются стереоэдрами. В частности, принадлежность стартовых полиэдров к одному классу гарантирует сборку упорядоченных (не обязательно кристаллических) структур.

В более широком контексте, результаты данной работы позволяют утверждать, что существуют особые полиэдры (кластеры) или объединения полиэдров (кластеров), которые являются структурными реализациями конструкций алгебраической геометрии и не могут быть адекватно определены в рамках классической кристаллографии. Априорный вывод таких “строительных блоков” позволяет установить закон сборки  широкого класса упорядоченных (не обязательно кристаллических)  тетракоординированных (клатратных, алмазоподобных и т.п.) и тетраэдрических (металлических и т.п.) структур.В частностидля интерметаллидов такими строительными блоками являются полиэдры Франка-Каспера Z14[4^6-k, 5^2k, 6^8-k], канонический (k=6) и неканоническиеk=1, 2, 3, 4, 5. Для них символ в квадратных скобках (тот же, что и для выведенных полиэдров – полостей) обозначает количество вершин, в которых сходятся по 4, 5, 6 ребер, а симметрия определяется соответствующей таблицей инцидентности. При одном и том же kдва полиэдра Z14[4^6-k, 5^2k, 6^8-k]  могут обладать одной и той же точечной группой симметрии, и будут различаться только (определяемыми в рамках алгебраической геометрии) таблицами инцидентности. Это наглядно демонстрирует ограниченность классической кристаллографии и возможности развиваемого подхода.

Выводы

1. Выделена система конструкций алгебраической геометрии: решетка векторов Е₈, группа Матье М₁₂, система Штейнера S(5, 6, 12) и код Голея G₁₂, которая позволяет априори определять графы особого класса простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-,5-и 6-угольными гранями. Впервые выведен граф полиэдра данного класса, который обладает одной 4-угольной гранью и не является параллелоэдром.

2. Впервые показано, что существуют особые полиэдры (кластеры) или объединения полиэдров (кластеров), которые являются структурными реализациями таких конструкций алгебраической геометрии как код Голея и плоскость Мёбиуса (инверсная плоскость)

3. Выведены возможные в интерметаллидахнеканонические 14-вершиные полиэдры Франка-Каспера Z14[4^6-k, 5^2k, 6^8-k], которые при одном и том же kмогут обладать одной и той же точечной группой симметрии и различаться только в рамках алгебраической геометрии.

Авторы выражают глубокую признательность М.И. Самойловичу за интерес к работе и стимулирующие обсуждения Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-03-00740 а) и программы ОХНМ РАН ОХ-О6.

Списоклитературы.

1. Walsh M.R., Koh C.A., Sloan E.D., Sum A.K., Wu D.T. Microsecond Simulations of Spontaneous Methane Hydrate Nucleation and Growth //Science. 2009. V.326 №.5956, P.1095 - 1098 .

2. Kostant B. The graph of the truncated icosahedron and the last letter of Galois  //Notices of the AMS , 1995, vol. 42, no. 9, pp. 959-968.

3. Конвей Дж. Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т.1. М.: Мир, 1990. 415 с.

4. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966. 648 с.

5. Delgado Friedrichs O., O'Keeffe M. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with 16 faces //Acta Cryst. A. 2005. V.61. P.358-364.

6. Lijnen E., Ceulemans A., Fowler P.W., Deza M. The undecakisicosahedral group and a 3-regular carbon network of genus 26 //J. of Math. Chem. 2007.V42, №3. P.617-644.

7. Самойлович М.И., Талис А.Л. Основы теории симметрии наноструктурных состояний. М.: ЦНИТИ "Техномаш", 2006. С. 10-238.

8. Gabbrielli R. A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces // Phil. Mag. Lett. 2009. V.89. P. 483-491.

9. Самойлович М.И., Талис А.Л. Газогидраты: скрытые симметрии  и локальные фазовые превращения – ключ к пониманию закономерностей строения полиэдральных тетракоординированных структур //Наука и технология. 2010. №4. С. 41-55.

10.  Brown E. The Fabulous (11, 5, 2) Biplane //Mathematics magazine 2004. - V.77. - P.87-99.

11.Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. М.: Наука, 1980. 320 с.

12. Kraposhin V.S., Talis A.L., Dubois J.-M. Structural realization of the polytope approach for the geometrical description of the transition of a quasicrystal into a crystalline phase// J. Phys.: Condens. Matter. V. 14(2002) 8987- 8996.

13. Kraposhin V.S., Talis A.L., Wang Y.J. Description of polymorphic transformations of Ti and Zr in the framework of the algebraic geometry // Materials Science and Engineering A. – 2006. – V.438-440. – P.85-89.

14. Крапошин В.С., Сильченков А.Д. Кристаллографический механизм перлитного превращения в системе железо-углерод// Проблемы черной металлургии и металловедения. -2009.-№2.-С.55-64.

15. Веселов И.Н., Талис А.Л., Ронова И.А., Терещенко Г.Ф. Молекулярно-динамическое моделирование фазового перехода газогидрат I – лед // Молекулярное взаимодействие и конформации молекул : Тезисы докладов XV Всероссийского Симпозиума. Петрозаводск, 2010. С. 69.