НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 519.6:681.51.011

МГТУ им. Н.Э. Баумана

aliverw@mail.ru

Введение

При расчете систем автоматического управления для достижения наибольшей эффективности систем – минимума перерегулирования, минимальной длительности переходного процесса, минимума ошибки – возникает задача оптимизации, в частности, численной. Для таких задач имеется развитый математический аппарат [1-4] и различные программные среды, одна из которых – MatLab – популярна для математиков и инженеров. Если целевую функцию можно записать в явном формульном виде, как правило, никаких особых проблем при ее оптимизации не возникает – пользуются встроенными средствами MatLab, т.е. встроенной функцией fminsearchили встроенным пакетом с итерактивной оптимизацией OptimizationToolbox. Задача усложняется, если записать целевую функцию аналитически нельзя. Это имеет место, например, когда значение целевой функции определяется только численными методами и никак не подсчитывается аналитически. Такое происходит, в частности, когда моделируется переходный процесс в автоматической системе: параметры переходного процесса станут известны только после выполнения очередного акта имитационного моделирования. В таких случаях необходимо вручную писать на языке MatLabпрограмму, реализующую какой-либо алгоритм численной оптимизации.

Структура программного комплекса

Разработан комплекс таких программ, автоматизирована оптимизация переходного процесса. Для имитационного моделирования процесса используется встроенное средство моделирования систем – Simulink. После каждой реализации моделирования выходные данные передаются в рабочее пространство MatLab, где обрабатываются написанными программами (рис. 1).

Рис. 1. Структура взаимодействия программ для оптимизации переходного процесса

Проводился сравнительный анализ методов численной оптимизации, в результате которого был выбран метод деформируемого многогранника. Также его называют симплекс-методом, методом Нелдера-Мида [1-6]. Специалисты характеризуют данный метод как один из самых эффективных и удобных для выполнения на ЭВМ. Его преимущество перед случайным поиском – существенно меньшее количество вычислений целевой функции. Как показал сравнительный анализ, меньшее в 3-4 раза и более того, в зависимости от конкретной задачи. Преимущество перед градиентными методами – отсутствие ограничений на вид целевой функции. Можно заметить, что встроенная функция MatLabfminsearchпо умолчанию использует именно метод Нелдера-Мида. Также особенностью является расширяемость программного комплекса, разработанного в пакете MatLab: если понадобится оптимизировать другую систему или изменить критерий оптимизации, требуемые модификации программ будут незначительными. Написанные программы достаточно объемны, приводятся в работе [6]. Взаимосвязь между программами показана на рис. 1.

Пример оптимизации

Для примера рассмотрим САУ, структурная схема которой приведена на рис. 2. Требуется подобрать такие параметры корректирующих звеньев ,  и , чтобы при начальном рассогласовании  рад перерегулирование не превышало 0,3 рад, а время переходного (время входа в трубку  рад) не превышало 2 с.

Рис. 2. Структурная схема САУ

Для проведения оптимизации необходимо задать начальные значения изменяемых параметров. Можно выбрать их наугад, но лучше воспользоваться для выбора какой-либо определенной закономерностью. Рассматривалось и использовалось два способа.

Первый заключается в построении ЛЧХ разомкнутой системы и ее последующей модификации за счет изменения параметров системы. Параметры подбирают, исходя из заданной динамической ошибки и необходимых запасов устойчивости, согласно теории частотного синтеза САУ [5-7].

Линеаризуем систему, убрав нелинейные блоки, и размыкаем главную обратную связь в точке измерения ошибки. Положим ,  и . Рассчитанные характеристики приведены на рис. 3. Видно, что АЧХ весьма опущена. Это плохо тем, что при динамическом изменении  ошибка  будет велика, особенно на высоких частотах. АЧХ можно поднять, увеличив  и уменьшив  на несколько порядков. Например, если изменяем только  и требуем, чтобы частота среза равнялась 1 Гц,  следует увеличить на 68,3 дБ, или  (рис. 3). При таком большом коэффициенте усиления система становится неустойчивой – присутствует ярко выраженная резонансная частота, генерируются гармонические колебания. Исходя из соображений устойчивости и уменьшения динамической ошибки, примем начальные значения для оптимизации: , , . При этом частота среза составляет 0,6 Гц, запас по фазе 45^о, запас по амплитуде 4,3 дБ (рис. 3).

Рис. 3. Логарифмические частотные характеристики следящей системы,
1 – исходной и 2 – скорректированной,  – амплитудные,  – фазовые

Второй подход состоит в наблюдении изменения переходного процесса системы при заданном изменении определенного параметра. Написана соответствующая программа, процесс наблюдения интерактивный. Это своего рода одномерная оптимизация «вручную» с равномерным поиском. Какой переходный процесс из всех наблюдаемых оказался качественнее, то значение параметра и принимают за лучшее (рис. 4). Затем можно исследовать другой параметр. Таким способом выясняется чувствительность системы к изменению параметра. Не исключено, что какой-либо из них на характеристики системы практически не влияет, и оптимизировать по нему бессмысленно. В нашем примере все три параметра оказались влияющими.

Рис. 4. Влияние параметра  на переходный процесс:
1 – с, 2 – с, 3 – с –наименьшие длительность и перерегулирование

Выбрав начальные значения, можно запускать непосредственную оптимизацию. Стоит заметить, скорее всего целевая функция окажется многомодальной. Чтобы надежнее найти глобальный минимум, надо задавать разные начальные значения и повторно проводить процесс. Как вариант, полученные в предыдущем акте оптимизации наилучшие значения использовать в качестве начальных для следующего акта.

Результаты оптимизации приведены на рис. 5. Как показало моделирование, перерегулирование  и длительность переходного процесса  зависимы: при уменьшении  как правило уменьшается и . При уменьшении  не всегда уменьшается . В связи с этим минимизируемому  был дан больший вес. Оптимизируемая величина yвычислялась по формуле:

,

где  и  – соответствующие весовые коэффициенты. В нашем случае принято: , .

В ходе оптимизации получили значения: ,  и с. При этом минимизируемые величины имеют значения: время переходного процесса с и перерегулирование рад. Как видно на рис. 4, длительность переходного процесса уменьшилась почти в пять раз при том, что перерегулирование практически свелось к нулю.

Рис. 5. Результаты оптимизации: 1 – переходный процесс до оптимизации, 2 – после

Заключение

На данном примере демонстрируется оптимизация САУ на основе разработанного программного комплекса. Видно, что оптимизация достаточно эффективна: переходный процесс значительно улучшается согласно заданному критерию. Однако важно заметить, что в случае сложных САУ и многопараметрической оптимизации требуется тщательный подход. В частности, следует многократно искать решение для разных начальных значений параметров. В перспективе можно будет выработать определенные рекомендации для таких случаев. А также перенести комлекс со среды MatLabв другую программную среду. Поскольку хоть среда MatLabуниверсальна, но производительность вычислений у нее низка, и в случае сложных САУ оптимизация может выполняться долго.

Список литературы

1.     Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с англ. М. : Мир, 1975.

2.     Методы оптимизации / Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. – М. : Глав. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1978.

3.     Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – 2-ое изд., исправл. – М.: Высш. шк., 2005.

4.     Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование MatLab. 3-е изд.: Пер. с англ. М. : Издательский дом «Вильямс», 2001.

5.     Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М.  Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем / под ред. П.Д. Крутько. М. : Радио и связь, 1988.

6.     Максимов А.И., Аливер В.Ю. Численные методы в задачах проектирования автоматических систем. Ч. 2: учебное пособие – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011.

7.     Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления – М. : Глав. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1978.

8.     Кулешов В.С., Лакота Н.А. Динамика систем управления манипуляторами – М. : Энергия, 1971.