НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

При совместных измерениях возникает необходимость аппроксимировать результаты измерений аналитическим выражением для численного определения промежуточных значений. При этом, если одна из величин (например, аргумент) устанавливается в процессе измерения и является независимой, то в численное значение другой измеряемой величины входят составляющие систематических и случайных погрешностей. Вычисление суммарного значения составляющих погрешностей полагаем известным. Это отдельная задача [1] и здесь она не рассматривается.

Таким образом, результаты измерений мы приводим к табличной функции, где аргумент x является независимой величиной, а функция y определяется с суммарной погрешностью Δy.

В статье рассматривается вопрос о влиянии погрешности Δy на численное значение коэффициентов аппроксимирующей функции.

Рассмотрим вначале аналитическое представление табличных данных непараболическими функциями [2] типа:

y = ab^x              (1)

y = ax^b              (2)

Логарифмируя выражение (1) и вводя новые переменные

и используя метод наименьших квадратов для n точек, получим систему из двух линейных уравнений:

Приращение Δz_i при изменении y_i на величину Δy_i определим как разность

Δz_{i =} Ln(y_i + Δy_i) - Ln y_i = Ln(1 + Δy_i/ y_i),             (5)

При малых отклонениях Δy_i/y_i от точки к точке можно ввести понятие среднего значения относительной погрешности

δ=(ΣΔγi/yi)/n                  (6)

и положить Δz_i ≈ Δz = Ln(1 +. В этом случае определители для вычисления новых значений коэффициентов A и B можно разбить на два:

D – Детерминант системы уравнений (4).

Таким образом, A’ = A + Ln(1 + δ). Аналогично находим B’

Возвращаясь к первоначальным значениям параметров a и b, исходя из (3), имеем

                 (7)

Уравнение (1) соответственно примет вид

                     (8)

Таким образом, параметр a’ определяет верхнюю границу возможных значений функции y’ = a’b^x с учётом среднего значения относительной погрешности. При симметричном значении отрицательной составляющей погрешности -Δy_i аналогичным образом можно определить нижнюю границу возможных значений функции y = ab^x.

Логарифмируя выражение (2) и вводя обозначения:

            (9)

приходим к системе уравнений аналогичной (3)

            (10)

Принимая во внимание (6) и возвращаясь к первоначальным переменным, уравнение (2) примет вид:

                    (11)

Таким образом, в уравнениях (1) и (2) для оценки верхней и нижней границы промежуточных значений табличной функции y с учётом суммарной погрешности необходимо помножить коэффициент a на величину (1 + δ), для чего достаточно определить среднее значение относительной погрешности δ.

Покажем, что полученные результаты можно использовать и при аппроксимации табличной функции полиномом или тригонометрическим рядом Фурье.

В качестве примера рассмотрим аппроксимацию табличной функции полиномом третьей степени типа

                     (12)

Для точек x₁, y₁; x₂, y₂; x₃, y₃ коэффициенты a, b, c находятся из системы трёх линейных уравнений:

                    (13)

Определим суммарные погрешности для y₁ , y₂ , y₃ как Δy₁ , Δy₂ , Δy₃ соответственно и представим их с учётом (6) в виде:

                     (14)

Вынося постоянный множитель (1+ δ )за определители, получим

                 (15)

Таким образом, верхняя и нижняя границы коэффициентов a, b, c выражения (12) определяются простым умножением правой части уравнения (12) на (1± δ). Из (13) также очевидно, что полученные результаты не зависят от степени аппроксимирующего полинома.

Аналогичным образом можно показать, что аппроксимируя табличную функцию полиномом n степени и определяя коэффициенты a_n, a_n-1, …, a_o методом наименьших квадратов мы также придём к выражению

                (16)

Аппроксимируя табличную функцию y_i тригонометрическим рядом Фурье, примем во внимание то обстоятельство, что в формулах для вычисления коэффициентов ряда a_o, a_k, ,b_k под знаком суммы входит y_i ( Σy_i , Σy_i Sinkx_i , Σy_i Coskx_i).

Верхняя и нижняя границы коэффициента a_o и коэффициентов гармоник a_k, ,b_k ,таким образом, будут определяться множителем (1+δ), а выражение для промежуточных значений табличной функции y_i с учётом суммарной погрешности ± Δy_i примет вид:

Предложенный способ вычисления коэффициентов аппроксимирующих функций можно использовать при смещении всех табличных значений y_i на величину y_i ± Δ или для оценки погрешности Δy в промежутке между точками i и i ± 1.

Литература

О. Г Петросян

А. К. Митропольский