НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

 
УДК 519.6

Козлова О.Г. (E-mail: dimidia@mail.ru)

МГТУ им.Баумана, Москва, Россия

1. Постановка задачи

При решении технических задач часто возникает необходимость решения задачи оптимизации с несколькими критериями. Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации в следующей постановке.

Пусть – n‑мерный вектор варьируемых параметров, ограниченный параллелепипедом допустимых значений

. (1)

На вектор X также может быть дополнительно наложено ограничений, формирующих множество

, (2)

где - непрерывные ограничивающие функции. Замкнутое множество назовем множеством допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Положим, что - векторный критерий оптимальности, определенный на множестве П. Здесь , - m-мерное арифметическое пространство.

Лицу, принимающему решение (ЛПР), желательно уменьшить значения всех частных критериев оптимальности .

Обычно многокритериальные задачи проектирования и оценки сложных технических систем сводятся к оптимизации скалярной целевой функции. Одним из наиболее широко применяемых способов такого сведения является метод скалярной свертки, в которой целевая функция имеет вид

, (3)

где - вектор весовых коэффициентов, принадлежащий своему множеству допустимых значений .

При каждом фиксированном векторе метод скалярной свертки сводит решение многокритериальной задачи к решению однокритериальной задачи глобальной условной оптимизации

, (4)

где вектор - решение задачи.

Метод скалярной свертки требует дополнительную информации об относительной важности частных критериев оптимальности, формализованной в весовых множителях этих критериев.

Обозначим , функцию предпочтений ЛПР. Величину будем считать лингвистической переменной со значениями представленными в таблице 1. Указанные в таблице термы будем считать символами нормальных нечетких подмножеств универсального множества . Будем использовать также соответствующие промежуточные значения величины - , , , .

Таблица 1.

Во введенных обозначениях задача многокритериальной оптимизации ставится как задача отыскания вектора , обеспечивающего максимальное значение функции :

. (5)

В данной работе рассматривается построение аппроксимирующей функции с помощью аппарата нечетких множеств.

2.       Аппроксимация функции предпочтений ЛПР по методу Мамдани

Входными параметрами алгоритма является база знаний и совокупность допустимых векторов (может быть, - один вектор), для которых требуется выполнить нечеткий логический вывод Мамдани. Входными параметрами алгоритма является совокупность четких значений , соответствующая совокупности входных векторов .

База знаний формируется на основе результатов выполнения опытов по определению значений лингвистической переменной . Положим, что выполнено N опытов, из которых в опытах переменная приняла значение , в опытах - значение и т.д. до опытов, в которых переменная приняла значение . Соответствующие входные векторы обозначим , , . Матрица знаний приведена в таблице 2.

Таблица 2. Матрица знаний.

Схема нечеткого логического вывода Мамдани

1)                &n bsp;                            Для данного вектора определяем значение многомерной функции принадлежности

(6)

где в качестве операции используется пересечение по Л. Заде, в качестве операции V - объединение по Л. Заде, а в качестве функции принадлежности используется гауссиан с максимумом в точке .

1)                &n bsp;                            «Срезаем» функции принадлежности на уровне , .

2)                &n bsp;                            Объединяем (агрегируем) полученные нечеткие множества – получаем нечеткое множество

(7)

с функцией принадлежности . В качестве операции агрегирования используем операцию максимизации.

3)                &n bsp;                            Определяем четкое значение выхода , соответствующее входному вектору , - выполняем операцию дефаззификации нечеткого множества по методу центра тяжести, при котором

.

3. Схема исследования

Пусть

,

, },

,

,

где - символ ближайшего целого большего.

Выберем коэффициенты из условий , . Тогда . В результате такого задания функции она приобретает на множестве все значения от 1 до 9. Максимум этой функции достигается в точке .

Дискретная функция приобретает на множестве значения 1, 2,…, 9.

Перейдем к стандартным факторам. Для этого положим, что ,, где - основной (базовый) уровень фактора , а - шаг варьирования этого фактора.

В качестве центральной точки плана примем точку . Все шаги варьирования факторов положим одинаковыми и равными 0.0875.

Тогда имеем:

. (8)

Область планирования эксперимента при этом есть гиперкуб , .

В качестве желаемой функции будем использовать функцию .

Для оценки точности интерполяции будем использовать случайных точек, равномерно распределенных в гиперкубе . Будем эти точки называть контрольными точками. Совокупность контрольных точек, принадлежащих гиперкубу, обозначим .

Для оценки точности экстраполяции будем использовать следующие области планирования эксперимента:

, ;

,;

,.

Так же, как при оценке точности аппроксимации, для проверки точности экстраполяции будем использовать случайные точки, равномерно распределенные в гиперкубе , и соответствующие множества контрольных точек , .

Введем в рассмотрение также следующие множества контрольных точек:

·              множество точек , которое содержит контрольные точки разности множеств этих точек , ;

·             аналогичное множество точек ;

·             аналогичное множество точек ;

·             аналогичное множество точек .

Построение аппроксимирующей функции будем выполнять на основе центральных композиционных планов (ЦКП), которые являются ненасыщенными планами и состоят из трех частей.

1). Основа плана или ядро плана – полный факторный эксперимент ПФЭ или дробный факторный эксперимент ДФЭ .

2). «Звездные» точки (2m штук), расположенные на координатных осях на расстоянии от центра эксперимента. Величину будем выбирать, исходя из требования ортогональности плана. При этом

,

где - общее количество опытов.

3). Центральная точка.

Заметим, что , если в качестве ядра плана используется ПФЭ . Если в качестве ядра используется ДФЭ , то - количество точек, исключенных из ПФЭ .

1)       m=2. Ядро плана – план ПФЭ . p=0. Число опытов .

2)       m=3. Ядро плана – план ПФЭ . p=0. Число опытов N=15.

3)       m=4. Ядро плана – план ПФЭ . p=0. Число опытов N=25.

4)       m=5. Ядро плана – план ДФЭ . p=1. Число опытов N=27. Ведущие факторы: . Генерирующее соотношение: .

5)       m=6. Ядро плана – план ДФЭ . p=1. Число опытов N=45. Ведущие факторы: . Генерирующее соотношение: .

6)       m=7. Ядро плана – план ДФЭ . p=1. Число опытов N=79. Ведущие факторы: . Генерирующее соотношение: .

7)       m=8. Ядро плана – план ДФЭ . p=2. Число опытов N=81. Ведущие факторы: . Генерирующие соотношения: , .

8)       m=9. Ядро плана – план ДФЭ . p=2. Число опытов N=147. Ведущие факторы: . Генерирующие соотношения: , .

9)       m=10. Ядро плана – план ДФЭ . p=2. Число опытов N=277. факторы: . Генерирующие соотношения: , .

4.       Результаты исследования

В приведенных ниже таблицах и гистограммах представлены результаты исследования точности аппроксимации квадратичной функции по методу нечеткого логического вывода Мамдани.

Таблица 3. Исследование точности интерполяции.

Рис. 1. Максимальная погрешность интерполяции при различных размерностях вектора .

Рис. 2. Матожидание погрешности интерполяции при различных размерностях вектора .

Рис. 3. Среднеквадратичное отклонение погрешности интерполяции при различных размерностях вектора .

Рис. 4. Временя построения аппроксимирующей функции при различных размерностях вектора .

Таблица 4. Исследование точности экстраполяции.

Рис. 5. Максимальная погрешность для различных областей аппроксимации при различных размерностях вектора .

Не обнаружено четкой корреляции между размерностью вектора и матожиданием погрешности интерполяции, значение которой невелико и колеблется от 0,12 до 0,38.

Исследования показали, при исключении из плана «звездных» точек точность интерполяции практически не уменьшается.

Большую часть машинного времени построения аппроксимирующей функции занимает операция дефаззификации нечеткого множества . Его длительность примерно одинакова для всех размерностей вектора и равна 0,035 секунды.

Литература

1.     Карпенко А.П., Федорук В.Г. Адаптивные методы решения задачи многокритериальной оптимизации. 1. Методы на основе планов первого порядка. – Электронный журнал «Наука и образование», март, 2008 http://technomag.edu.ru

2.     Карпенко А.П., Федорук В.Г. Аппроксимация функции предпочтений лица, принимающего решения, в задаче многокритериальной оптимизации. 3. Методы на основе нейронных сетей и нечеткой логики. – Электронный журнал «Наука и образование», апрель, 2008 http://technomag.edu.ru

3.     Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений.- М.: Знание, 1985

4.     Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. - Мн.: Изд-во БГУ, 1982.