НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o181.pdf (1209.92Кб)

УДК 517

1 Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия

Предложен новый численный метод решения многомерной задачи Стефана, основанный на редукции исходной краевой задачи к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению минимальной размерности. Особенностью метода является использование функции времени фазового перехода в качестве основной неизвестной функции. Данная параметризация является эффективным вычислительным приемом, позволяющим значительно упростить метод решения. Вычислительные качества метода исследованы на примере решения практически важных задач оттаивания мерзлых грунтов. Преимущества метода наиболее проявляются при решении задач в неограниченной области, так как в отличие от традиционных конечно-разностных  методов нет необходимости усечения системы уравнений, имеющих большую, возможно, бесконечную размерность.
Несмотря на трудоемкость построения функции Грина в случае переменных свойств среды существует широкий класс задач моделирования фазовых переходов, решение которых может быть успешно найдено описанным методом нелинейных интегральных уравнений.
Метод предоставляет также дополнительные удобства при экстраполяции по Ричардсону, решении обратных задач Стефана, в частности, проблемы управления фронтом фазового перехода.
В статье осуществлено детальное исследование корректности рассматриваемой задачи и предложенного метода ее решения. Даны строгие математические доказательства  утверждений о существовании и единственности решения сформулированного многомерного нелинейного интегрального уравнения проблемы Стефана.
Доказано утверждение о сходимости предложенного численного метода ячеек для приближенного решения интегрального уравнения задачи Стефана.
Исследованы вопросы сингулярности интегрального уравнения рассматриваемой краевой задачи. Получены точные и практически приемлемые асимптотические оценки сингулярных членов нелинейного интегрального уравнения проблемы Стефана.
Решена тестовая двумерная краевая задача Стефана, описывающая процесс оттаивания грунта. Результаты моделирования подтверждают высокие вычислительные качества метода.

1. Арутюнян Р.В. Интегральные уравнения задачи Стефана и их приложение при моделировании оттаивания грунта // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 10. С. 419–437. DOI: 10.7463/1015.0814769
2. Каменомостская С.Л. О задаче Стефана // Математический сборник. 1961. Т. 53. № 4. С. 489-514.
3. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука (Сибирское отделение), 1986. 187 с.
4. Лыков А.В. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1971. 560 с.
5. Данилюк И.И. О задаче Стефана. УМН. 1985. Т. 40. Вып. 5(245). С. 133-185.
6. Рубинштейн Л.И. К вопросу о численном решении интегральных уравнений задачи Стефана. Изв. вузов. Матем. 1958. № 4. С. 202–214.
7. Taras A. Dauzhenka and Igor A. Gishkeluk. Quasilinear Heat Equation in Three Dimensions and Stefan Problem in Permafrost Soils in the Frame of Alternating Directions Finite Difference Scheme // Proceedings of the World Congress on Engineering 2013. Vol. 1, WCE 2013, July 3-5, 2013, London, U.K.
8. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5. № 5. С. 816-827.
9. Будак Б.М., Соловьева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // Журнал вычисл. математики и матем. Физики. 1965. Т. 5.№ 5. С. 828-840.
10. Nekrasov S.A. The integral equations of the Stefan problem. II // Differential Equations. 1996. Vol. 32. No. 9. Pp. 1254-1258.
11. Nekrasov S.A. The integral equations of the Stefan problem. I // Differential Equations. 1996. Vol. 32. No. 8. Pp. 1118-1125.
12. Nekrasov S.A. Modeling of phase transitions of the first kind by the method of integral equations in the case of a stationary moving surface source // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 1994.  Vol. 66. No. 6. Pp. 674-677. DOI: 10.1007/BF00867972