НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o174.pdf (1706.68Кб)

УДК 519.711.2

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В статье предложен метод, позволяющий вычислить расщепление собственных частот оболочки резонатора волнового твердотельного гироскопа (ВТГ). Рассматривается расщепление, возникающее из-за малого дефекта формы срединной поверхности, что делает резонатор отличным от оболочки вращения. Представленный метод является комбинацией метода возмущений и метода конечных элементов. Метод позволяет найти расщепление частот, вызванное дефектом формы, распределенным в окружном направлении по произвольному закону. Это достигается за счет вычисления возмущений кратных собственных частот второго и более высоких порядков. Предложенный метод позволяет вычислить расщепление кратных частот для оболочки с меридианом произвольной формы.
Разработанный конечный элемент представляет собой кольцевой элемент оболочки и имеет два узла. В качестве неизвестных используются проекции перемещений на оси глобальной цилиндрической системы координат. Для аппроксимации перемещений используются многочлены второй степени. В пределах конечного элемента геометрические характеристики раскладываются в ряд по малому параметру возмущения геометрии срединной поверхности. Перемещения на конечном элементе раскладываются в ряд по малому параметру и в ряд по окружному углу. При компьютерной реализации метода, используются трехмерные массивы для хранения возмущенных величин. Это позволяет использовать стандартные выражения для матриц масс и жесткости при построении конечного элемента, вместо вывода аналитических зависимостей для каждого из возмущений указанных матриц требуемого порядка. При этом переопределяются необходимые математические операции, в соответствии с использованием метода возмущений.
В качестве тестовой задачи, вычислено расщепление частот некругового цилиндрического резонатора с граничными условиями Навье. Расхождение результатов с полуаналитическим решением данной задачи составляет менее 1%. Для цилиндрической оболочки проведено сравнение результатов с коммерческим комплексом ANSYS, расхождение менее 1%. Для полусферической оболочки найдено расщепление частот, сравнение результатов показало расхождение с решением в ANSYS менее 1%. Решение рассмотренной задачи позволяет в дальнейшем оценить взаимное влияние дефектов различной природы (формы, толщины, плотности, модуля упругости и т.д.) на расщепление частоты резонатора волнового твердотельного гироскопа. Это является актуальной проблемой в вопросе балансировки резонаторов ВТГ.

1. Heidari A., Chan M-L., Yang H-A., Jaramillo G., Taheri-Tehrani P., Fonda P., Najar N., Yamazaki K., Lin L., Horsley D. A. Hemispherical wineglass resonators fabricated from the microcrystalline diamond // Journal of Micromechanics and Microengineering. 2013. vol. 23, no. 12, pp. 8. DOI: 10.1088/0960-1317/23/12/125016
2. Pai P., Chowdhury F.K., Mastrangelo C.H., Tabib-Azar M., MEMS-Based hemispherical resonator gyroscopes // Conference: Sensors, 2012 IEEE. DOI: 10.1109/ICSENS.2012.6411346.
3. Лунин Б.С., Матвеев В.А., Басараб М.А. Волновой твердотельный гироскоп. Теория и технология. М.: Радиотехника, 2014. 176 с.
4. Hwang R.S., Fox C.H.J., McWilliam S. The in-plane vibration of thin rings with in-plane profile variations. Part I: General background and theoretical formulation // Journal of Sound and Vibration. 1999. vol. 220, no. 3, pp. 497-516. DOI:10.1006/jsvi.1998.1963
5. Fox C.H.J., Hwang R.S., and McWilliam S. The in-plane vibration of thin rings with in-plane profile variations. Part II: Application to nominally circular rings // Journal of Sound and Vibration. 1999. vol. 220, no. 3, pp. 517-539. DOI: 10.1006/jsvi.1998.1962
6. Yilmaz E. and Bindel D. Effects of imperfections on solid-wave gyroscope dynamics // in Proc. IEEE Sensors, Baltimore, MD, USA, Nov. 2013, pp. 1331–1334.
7. Sato K. Free flexural vibrations of an elliptical ring in its plane // J. Acoust. Soc. Am. 1975. vol. 57, no. 1, pp.113- 115. DOI: 10.1121/1.380420
8. Brigham G.A. In-plane free vibrations of tapered oval rings // The Journal of the Acoustical Society of America. 1973, vol. 54, no. 2, pp.451-460.
9. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. 380 с.
10. Карачун В.В., Мельник В.Н. Уравнения динамики оболочки вращения с ненулевой гауссовой кривизной и произвольным очертанием линии меридиана // Вестник двигателестроения, 2009. №3. с.29-36.
11. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А., Пустовойт В.И. Атомарные функции в задаче определения функций Рэлея и коэффициента прецессии резонатора волнового твердотельного гироскопа // Доклады Академии Наук, 2001, т. 376, № 4, с. 474-479.
12. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями): пер. с нем. М.: Наука, 1968. 504 с.
13. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. М.: Физматлит, 2009. 228 c.
14. Астахов С.В. Нелинейные эффекты в динамике волнового твердотельного и микромеханического гироскопов в условиях медленно меняющихся параметров: дис. … канд. техн. наук. М., 2012. 157 с.
15. Донник А.С. Влияние геометрической неоднородности и упругой анизотропии материала на точностные характеристики волнового твердотельного гироскопа: дис. … канд. техн. наук. М., 2006. 131 с.
16. Лунин Б.С. Физико-химические основы разработки полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов. М.: Изд-во МАИ, 2005. 224 c.
17. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. 488 c.
18. Heidari A., Chan M., Yang H., Jaramillo G., Taheri-Tehrani P., Fonda P., Najar H., Yamazaki K., Lin L., Horsley D. Hemispherical wineglass resonators fabricated from the microcrystalline diamond // Journal of Micromechanics and Microengineering, 2013, Vol. 23, no. 12, pp. 125016-23(8). DOI:10.1088/0960-1317/23/12/125016
19. Козубняк С.А. Расщепление собственных частот колебаний цилиндрического резонатора волнового твердотельного гироскопа, вызванное возмущением формы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 3. C. 39–49. DOI: 10.18698/0236-3933-2015-3-39-49
20. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973. 280 с.
21. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1949. 618 с.
22. Нарайкин О.С., Сорокин Ф.Д., Козубняк С.А Расщепление собственных частот кольцевого резонатора твердотельного волнового гироскопа, вызванное возмущением формы / Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2012. №6. С. 176-185.
23. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций М.: Физматлит, 2006. 392 с.
24. Матвеев В.А., Басараб М.А., Лунин Б.С. Аппроксимация распределения плотности резонатора волнового твердотельного гироскопа по измеренным параметрам дебаланса // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2015. №10. С.9-16.
25. Басараб М.А., Лунин Б.С., Матвеев В.А., Чуманкин Е.А. Балансировка полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов методом химического травления // Гироскопия и навигация. 2015. т.88, №1. С. 61-70.
26. Басараб М.А., Лунин Б.С., Матвеев В.А., Чуманкин Е.А. Статическая балансировка цилиндрических резонаторов волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. 2014. Т. 85, №2. С.43-51.
27. Chang Chia-Ou, Chang Guo-En, Chou Chan-Shin, et al. In-plane free vibration of a single-crystal silicon ring // Int. Journal of Solids and Structures. 2008, vol. 45, pp.6114-6132. DOI:10.1016/j.ijsolstr.2008.07.033