НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o251.pdf (815.45Кб)

УДК 517.968.21

1 Россия,  Набережночелнинский институт  Казанского федерального университета

Рассмотрено линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, в котором ядро и свободный член являются гладкими функциями. Неизвестная функция также отыски-вается в этом классе.
Точные и приближенные методы решения линейных интегральных уравнений Фред-гольма второго рода хорошо разработаны. Однако классические методы не учитывают структурные свойства ядра и свободного члена уравнения.
В данной статье предложен и обоснован специальный вариант метода моментов реше-ния этого уравнения, который учитывает дифференциальные свойства исходных данных. Предлагаемая заметка является продолжением исследований Габбасова Н.С., Касакиной И.П. и Соловьевой С.А. Для доказательства применены теория приближения функций, вариант общей теории приближенных методов анализа, предложенный Габдулхаевым Б.Г., и методы функционального анализа. Кроме того, использованы идеи и методы работ Габбасова Н.С., посвященных уравнениям Фредгольма первого рода, а также исследования Габбасова Н.С. и Соловьевой С.А. уравнений Фредгольма третьего рода в пространстве обобщенных функций.
Первая часть работы содержит описание основного функционального пространства и элементы теории аппроксимации в нем.
Во второй части предложен  и теоретически обоснован обобщенный метод моментов. Показано, что улучшение дифференциальных свойств исходных данных повышает точность аппроксимации. Поскольку на практике приближенные уравнения решаются, как правило, приближенно, доказаны устойчивость и хорошая обусловленность предложенного метода. Полученная в статье оценка хорошо согласуется с оценкой для обычного метода моментов для уравнений второго рода в пространстве непрерывных функций.
В заключительном разделе показано, что построенный метод является оптимальным по порядку точности среди всех полиномиальных проекционных методов решения интеграль-ных уравнений Фредгольма второго рода в пространстве гладких функций.
Разработанный метод рекомендуется использовать в том случае, когда исходные дан-ные являются непрерывно дифференцируемыми функциями, и, кроме того, точность при-ближенного решения необходимо оценивать по норме пространства гладких функций.
Аналогично можно разработать и другие полиномиальные и сплайновые методы при-ближенного решения.

1. Zhong X.-C., Huang Q.-A. Approximate Solution of Three-Point Boundary Value Problems for Second-Order Ordinary Differential Equations with Variable Coefficients // Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol .   247 , no .   11. Рр.   18–29. DOI : 10.1016/j.amc.2014.08.076
2. Широкова Е.А. О приближенном конформном отображении единичного круга на односвязную область   // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 3. С. 57-67.
3. Александров В.М., Пожарский Д.А. Задачи о разрезах в составном упругом клине // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, №   1. С. 143–149.
4. Крутицкий П.А., Прозоров К.В. Задача для уравнения диффузии вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на противоположных сторонах разрезов // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 4 8 , №  9 . С. 1219–1223.
5. Yilbas B.S., Al-Dweik A.Y., Mansoor S.B. Non-equilibrium Energy Transport in a Thin Metallic Film: Analytical Solution for Radiative Transport Equation // Physica B: Condensed Matter. 2014. Vol . 454, no . 12. P .   15–22. DOI : 10.1016/j.physb.2014.07.021
6. Габдулхаев Б.Г. Заметка об общей теории приближенных методов анализа // Учëные записки Казан. гос. ун-та. Т. 125, кн. 2. Функциональный анализ и теория функций, сб. 3. Казань: КГУ, 1965. С. 18–31.
7. Габбасов Н.С., Касакина И.П. К численному решению интегральных уравнений второго рода в классе гладких функций // Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 26–28 мая 2004 г.): тр. Ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. С. 48–51.
8. Соловьева С.А. К вопросу о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. № 1. С. 37–40.
9. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во КГУ, 1980. 232 с.
10. Габбасов Н.С. Коллокационный метод решения интегральных уравнений первого рода в классе обобщенных функций // Известия высших учебных заведений. Математика. 1993. № 2. С. 12–20.
11. Габбасов Н.С. К теории интегральных уравнений третьего рода // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 9. С. 1192–1201.
12. Габбасов Н.С., Соловьева С.А. Обобщенный метод моментов для одного класса интегральных уравнений третьего рода // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С. 1416–1423.
13. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы приближенных методов // Учëные записки Казан. гос. ун-та. Т. 128, кн. 5. Функциональный анализ и теория функций, сб. 5. Казань: КГУ, 1968. С. 20–29.
14. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 184 с.