НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o098.pdf (442.92Кб)

УДК 519.6

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

Определенный круг задач физики и механики сплошной среды не допускает использования классических методов решения. К таким задачам относится теоретическое прогнозирование характеристик современных конструкционных и функциональных материалов. По причине микро- или наноструктуры таких материалов для получения адекватных оценок их свойств необходимо применять методы молекулярной динамики или неклассические подходы. К последним относится метод непрерывной аппроксимации. Он заключается в распространении методов механики сплошной среды на микроуровень и последующем установлении связи между макроскопическими и микроскопическими характеристиками материала. При рассмотрении процессов теплопроводности в твердом теле применение этого метода позволяет учесть в уравнении теплопроводности скоростные эффекты и эффекты запаздывания, т.е. временную нелокальность. Учет пространственной нелокальности приводит к уравнению теплопроводности совершенно иного по сравнению с классическим типа - интегро-дифференциального. В силу отсутствия программных реализаций таких математических моделей, особенно для двумерного и трехмерного случаев, целью работы была разработка алгоритмов численного анализа описанных неклассических моделей теплопроводности для последующей реализации в пакете OpenFOAM.
В случае уравнения с нелокальностью по времени основной задачей является аппроксимация интеграла от функции температуры или ее производной по всему временному промежутку до текущего момента. При решении уравнения с нелокальностью по пространству требуется построить алгоритм численного решения интегро-дифференциального уравнения теплопроводности. Представляющие наибольший интерес его слагаемые учитывают взаимное влияние всех без исключения структурных элементов материала друг на друга. Для их аппроксимации предложены различные способы.
Для ускорения процесса расчета предложены подходы по распараллеливанию алгоритмов. Для модели с нелокальностью по времени распараллеливание выполняется естественным образом. В случае модели с нелокальностью по пространству в предложенных способах организации процесса расчета и обмена данными между вычислительными узлами учтены особенности уравнения.

1. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. М.: Физматлит, 2002. 168 с.
2. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 141 с.
3. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. М.: Наука, 1975. 416 с .
4. Nonlocal Continuum Field Theories / ed. by A.C. Eringen. New York: Springer-Verlag, 2002. 376 p. DOI: 10.1007/b97697
5. Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Математическая модель теплопроводности новых конструкционных материалов // Вестник МГТУ им. Н . Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2010. № 3. С. 72-85.
6. Савельева И.Ю. Разработка неклассических математических моделей теплопроводности и их анализ: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2011. 101 с.
7. Савельева И.Ю. Моделирование процесса теплопроводности в нелокальных средах с учетом аккумуляции // Инженерный журнал: наука и инновации . 2012. № 4. Режим доступа: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/hidden/173.html (дата обращения 01.05.2015).
8. Кувыркин Г.Н. Термодинамический вывод гиперболического уравнения теплопроводности // Теплофизика высоких температур. 1987. Т . 25, № 1. С . 78-82.
9. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математическое моделирование термомеханических процессов при интенсивном тепловом воздействии // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41, № 2. С. 300 - 309.
10. Зарубин В . С ., Кувыркин Г . Н . Термомеханическая модель релаксирующего твердого тела при нестационарном нагружении // Доклады РАН. 1995. Т. 345, № 2 С. 193.
11. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Нелокальная математическая модель теплопроводности в твердых телах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер . Естественные науки . 2011. № 3. С . 20-30.
12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Y. Mathematical model of a nonlocal medium with internal state parameters // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2013. Vol . 86, no . 4. P . 820-826. DOI: 10.1007/s10891-013-0900-5
13. Кувыркин Г.Н., Панин С.Д., Цицин А.Г. Особенности численного решения задач нестационарной теплопроводности при высокоинтенсивном нагреве // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1988. № 5. С. 162 - 165.
14. Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Моделирование температурных полей в твердом теле при поверхностном нагреве // Тепловые процессы в технике. 2009. Т. 1 , № 9. С. 375-378.
15. Tian H., Ju L., Du Q. Nonlocal convection–diffusion problems and finite element approximations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2015. Vol. 289. P. 60-78. DOI: 10.1016/j.cma.2015.02.008
16. Greenshields C.J. OpenFOAM User Guide. Version 2.4.0. OpenFOAM Foundation Ltd., 2015. Режим доступа: http://foam.sourceforge.net/docs/Guides-a 4/UserGuide.pdf (дата обращения 31.05.2015).
17. Кувыркин Г.Н. Математическая модель нелокальной термовязкоупругой среды. Ч. 2. Уравнение теплопроводности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 2. С. 86-95.