НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o129.pdf (1037.91Кб)

УДК 531.36, 517.977

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

Предмет исследований статьи – методы определения весовых коэффициентов, называемых также коэффициентами важности критериев, в задаче многокритериальной оптимизации (МКО). Предполагается, что эти коэффициенты показывают степень влияния отдельных критериев на окончательный выбор (окончательную, или сводную оценку): чем больше коэффициент, тем больший вклад вносит соответствующий ему критерий.
На сегодняшний день в рамках современных информационных систем поддержки принятия решений различного назначения разработан ряд методов определения относительной важности критериев, среди которых можно выделить метод полезности, метод взвешенного степенного среднего; метод взвешенной медианы; метод согласования кластеризованных ранжировок, метод попарного сравнения важности и т.д.
Однако следует отметить, что существование разных методик расчета весовых коэффициентов не снимает главной проблемы многокритериальной оптимизации а именно, противоречивости частных критериев. Основой для решения многокритериальных задач является фундаментальный принцип многокритериального выбора – принцип Эджворта – Парето.
Несмотря на наличие большого количества методов определения весовых коэффициентов, задача по-прежнему остается актуальной не только по причины субъективности оценок, но и в силу математических аспектах. На сегодняшний день признанным является тот факт, что например, такой популярный метод как линейная свёртка частных критериев, по существу представляет один из эвристических подходов, и применяя его, можно получить не лучший окончательный вариант выбора. Пределы применения метода отражает лемма Карлина.
Цель данной работы – предложить один из методов расчета весовых коэффициентов применительно к задаче оптимизации динамической системы, качество которой определяется критерием специального вида, а именно интегральным квадратичным критерием качества. Основная задача относится к методу пространства состояний, вариант которого в отечественной литературе также называется методом аналитического конструирования оптимальных регуляторов.
Несмотря на особенности задачи, позволяющие получить аналитическое решение, следует признать, что этот критерий является по существу еще одним видом свертки частных критериев. Задача определения весовых критериев в этой квадратичной свертке до сих пор является актуальной и одной из основных проблем метода.
Автор статьи прослеживает очевидную связь между интерактивными методами поиска Парето-оптимальных решений задачи МКО и классическим методом аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), в котором ЛПР по существу задает такие же условия: назначает весовые коэффициенты частных критериев оптимальности; накладывает ограничения на значения частных критериев оптимальности; выполняет оценку предлагаемых МКО - системой альтернатив. Важным свойством интерактивных методов является то, что предпочтения ЛПР могут изменяться в процессе оптимизации.
Данная статья ставит задачей связать оба подхода к решению задачи МКО. Ожидаемым преимуществом будет совмещение аналитического решения, базирующегося на формулах метода АКОР и преодоление недостатков свертки критериев, связанных с трудностью выбора весовых коэффициентов. Новизной статьи является то, что очевидная идея отыскания отношений между весами критериев путем построения кривой безразличия (фронта Парето) применяется уже не линейной свертке критериев, имеющей свои недостатки, а к специальным видам квадратичных интегральных критериев.
Выполнена модификация квадратичного критерия путем разбития его на несколько составляющих. Удобным оказалось разбитие на два критерия, что позволило получить графическую интерпретацию на плоскости в координатах критерия, описывающего затраты на управление и критерия, связанного с фазовыми координатами объекта управления. Поскольку часто метод применяется для стабилизации относительно опорной траектории, наглядным явилось представление x и u как отклонений фазовых координат и затрат на управление.
В статье принят отказ от традиционно принимаемого положения о том, что суммарный вклад максимально допустимых отклонений фазовых координат должен приблизительно равняться суммарному вкладу максимально допустимых отклонений сигналов управления. Оптимальное решение трактовалось как компромиссное и находилось в соответствии с принципом Эджворта – Парето.
Весовое соотношение между затратами на управление и штрафами за отклонения фазовых координат определялось через построение линий фронта Парето, и анализ фронта Парето. Оптимальное решение было определено по теории кооперативных игр. Исходные данные для применения этого подхода к оптимизации задавались в виде предельно допустимых значений по каждому из критериев, а также значений идеальной точки.
Полученные формулы и методика применялись к синтезу управления движением летательного аппарата. Определение оптимального решения проводилось по подходу Кэли- Смородински. Выявлено серьезное сокращение затрат на управление при использовании указанного оптимального равновесного решения.
Отмечено, что аналогичный подход может быть применен и к разделению на пары частных критериев внутри векторного критерия, связанного с ограничениями на фазовые координаты, а также, в случае применения многомерного управления при разделении отдельных управлений. Таким образом, возможен отказ от принципа равного взвешенного вклада отдельных отклонений, что сделает инструмент поиска компромиссных решений более гибким.

1. Ногин В.Д. Принятие решений при многих критериях. СПб.: Изд-во Ютас, 2007. 104 с.
2. Романова И.К. Применение аналитических методов к исследованию парето - оптимальных систем управления // Наука и образование. МГТУ им . Н . Э . Баумана . Электрон . журн . 2014. № 4. С . 238-266. DOI:10.7463/0414.0704897
3. Ногин В.Д. Сужение множества Парето на основе информации о предпочтениях ЛПР множественно-точечного типа // Искусственный интеллект и принятие решений. 2010. № 2. С. 54-63.
4. Ногин В.Д. Аксиоматический подход к сужению множества Парето: вычислительные аспекты // International Journal “ Information Theories & Applications ”. 2013. Vol. 20, no. 4. P. 352-359.
5. Ногин В.Д., Прасолов А.В. Многокритериальная оценка оптимальной величины импортной пошлины // Труды Института Системного Анализа РАН. 2013. Т . 63, вып . 2. С . 34-44.
6. Ногин В . Д . Границы применимости аксиоматического подхода к сужению множества Парето // International Journal “Information, Theories and Applications”. 2014. Vol. 21, no. 3. P. 275-282.
7. Ногин В.Д. Линейная свертка в многокритериальной оптимизации // Искусственный интеллект и принятие решений. 2014. № 4. С. 73-82.
8. Салтыков С.А. Экспериментальное сопоставление методов взвешенной суммы, теории полезности и теории важности критериев для решения многокритериальных задач с балльными критериями // Управление большими системами: сб. тр. 2010. Вып . 29. С .16-41.
9. Шапошников Д.Е., Костина И.В. Применение обобщенного логического критерия для аппроксимации области эффективности в многокритериальных задачах оптимизации // Инженерный вестник Дона: электронный научный журнал. 2014. № 4. Режим доступа: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2552 (дата обращения 01.03.2015).
10. Потапов Д.К., Евстафьева В.В. О методиках определения весовых коэффициентах надежности коммерческих банков // Социально-экономическое положение России в новых геополитических и финансово-экономических условиях: реалии и перспективы развития: сб. науч. ст. Вып.5 / под общ. ред. проф. В.В. Тумалева. СПб.: НОУ ВПО Институт бизнеса и права, 2008. С. 191-195. Режим доступа: http://www.ibl.ru/konf/041208/60.pdf (дата обращения 01.03.2015).
11. Лукашевич Н. С., Гаранин Д. А. Оценка инвестиционной привлекательности проектов на основе обобщенного показателя и снижения уровня // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Экономические науки . 2013. Т . 2, № 163. С . 103-108.
12. Некрестьянова Ю . Н . Определение весовых коэффициентов критериев эффективности инвестиций // Publishing house Education and Science s.r.o.: сайт . Режим доступа: http://www.rusnauka.com/15_NPN_2013/Economics/8_139451.doc.htm (дата обращения 01.03.2015).
13. Постников В.М., Спиридонов С.Б. Подход к расчету весовых коэффициентов ранговых оценок экспертов при выборе варианта развития информационной системы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон . журн . 2013. № 8. С . 395-412. DOI:10.7463/0813.0580272
14. Семенов А.О., Лабутин А.Н., Тараканов Д.В. Методика определения показателей предпочтительности вариантов действий по ликвидации чрезвычайных ситуаций на потенциально опасных объектах // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. 2012. № 3. С . 51-54.
15. Яцало Б.И., Грицюк С.В., Мирзеабасов О.А., Василевская М.В. Учет неопределенностей в рамках многокритериального анализа решений с использованием концепции приемлемости // Управление большими системами: сб. тр. 2011. Вып . 32. С . 5-30.
16. Дмитриев М.Г., Ломазов В.А. Оценка чувствительности линейной свертки частных критериев при экспертном определении весовых коэффициентов // Искусственный интеллект и принятие решений. 2014. № 1. С. 52-56.
17. Колесникова С.И. Свойства корректной модификации метода парных сравнений // Интеллектуальные системы. 2010. Т. 14, № 1-4. С. 183-202.
18. Проталинский И.О. Алгоритмизация процесса нахождения парето-оптимального управления для группы мобильных роботов // «Наука вчера, сегодня, завтра»: сб. ст. по матер. V Международной научно-практической конференции (Россия, г. Новосибирск, 16 октября 2013 г.). Новосибирск: Изд-во «СибАК», 2013. С. 35-40. Режим доступа: http://sibac.info/10671 (дата обращения 01.03.2015).
19. Лобарёв Д.С. Многокритериальная динамическая задача с экспертными оценками // Молодой ученый. 2010. Т. 1, № 11. С. 32-37.
20. Романова И.К. У правление в технических системах. Ч.1. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 120 с.
21. Backes A. A necessary optimality condition for the linear-quadratic DAE control problem. Preprint no. 03-16. Humboldt University, Institute of Mathematics, Berlin, 2003. Available at: http://www2.mathematik.hu-berlin.de/publ/pre/2003/p-list-03.html, accessed 01.03.2015. .
22. de la Pena D.M., Alamo T., Bemporad A., Camacho E.F. Feedback Min-Max Model Predictive Control Based on a Quadratic Cost Function // Proceedings of the 2006 American Control Conference, Minneapolis, Minnesota, USA, June 14-16, 2006. IEEE Publ., 2006. DOI: 10.1109/ACC.2006.1656443
23. Ho М ., Shumway R., Ombao H. The State Space Approach to Modelling Dynamic Processes: Applications in Neuroscience and Social Sciences // In: Models for Intensive Longitudinal Data / ed. by T.A. Walls, J.L. Schafer. Oxford University Press, 2006. P. 148-171.
24. Adlakha V., Kowalski K. On the Quadratic Transportation Problem // Open Journal of Optimization. 2013. Vol. 2. P. 89-94. DOI:10.4236/ojop.2013.23012
25. Bohner M., Wintz N. The Linear Quadratic Regulator on Time Scales // International Journal of Difference Equations. 2010. Vol. 5, no. 2. P. 149-174.
26. Zanella F., Varagnolo D., Cenedese A., Pillonetto G., Schenato L. The convergence rate of Newton-Raphson consensus optimization for quadratic cost functions // 2012 IEEE 51st Annual Conference on Design and Control (CDC), 2012. P. 5098-5103. DOI: 10.1109/CDC.2012.6426750
27. Tervo Kalevi. Human adaptive mechatronics methods for mobile working machines. Report 168. Helsinki University of Technology Control Engineering, 2010. 232 p.
28. Wiebke H., Tobias J. An experimental and analytical study of order constraints for single machine scheduling with quadratic cost // Proc. of the 14th Workshop on Algorithm Engineering and Experiments (ALENEX). SIAM, 2012. P. 103-117. DOI: 10.1137/1.9781611972924.11
29. Nori F., Frezza R. Linear Optimal Control Problems and Quadratic Cost Functions Estimation // Proceedings of the 12th IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation (MED '04), June 6-9, 2004, Kusadasi, Turkey. 2004. Art. no. 1099. Available at: http://med-control.org/index_Conferences.php, accessed 01.03.2015.
30. Pauwels E., Henrion D., Lasserre J.-B. Inverse optimal control with polynomial optimization. 20 Mar 2014 // Cornell University Library: website. Available at: http://de.arxiv.org/abs/1403.5180v1, accessed 01.03.2015.
31. Engwerda J. LQ Dynamic Optimization and Differential Games. John Wiley & Sons Ltd, 2005. 511 p.
32. Reddy P.V., Engwerda J.C. Necessary and Sufficient Conditions for Pareto Optimal Solutions of Cooperative Differential Games //IEEE Transactions on Automatic Control. 2014. Vol. 59, no. 9. P. 2536-2543. DOI: 10.1109/TAC.2014.2305933