НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o052.pdf (364.91Кб)

УДК 517.968.72

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

В серии недавних работ Богдана К., Хансена В., Якубовского Т.,  Шипковского К. и Сидора С.  была развита техника построения эволюционных полугрупп, порождённых некоторыми заданными операторами. В рамках предложенной техники использовался тот факт, что полугруппа является ядром  отрицательного левого обратного оператора  к сумме  временной производной и генератора этой полугруппы. И это ядро называлось (слабым) фундаментальным решением данной суммы. Этот факт был доказан в статье К. Богдана, Я. А. Бутко и К. Шипковского  (K. Bogdan, Ya. A. Butko and K. Szczypkowski) “Majorization, 4G theorem and Schrödinger perturbations”. Именно, было показано, что полугруппа, порождённая заданным оператором,  действительно является (слабым) фундаментальным решением  упомянутой выше суммы, и только её.  Кроме того, техника К. Богдана и его соавторов была использована в этой статье для обсуждения эволюционных полугрупп, порождённых аддитивными  возмущениями ½-устойчивого субординатора, т.е. оператора дробной производной Вейля порядка ½.  Настоящая  заметка служит дополнением к вышеназванной статье.  Целью заметки является прояснение взаимосвязи  между (слабым) фундаментальным решением, описанным выше, и традиционным понятием фундаментального решения, используемым в теории уравнений с частными производными и в функциональном анализе.  В заметке также обрисовываются соотношения между переходными вероятностями случайных процессов, эволюционными полугруппами,  эволюционными уравнениями и их фундаментальными решениями. Различные понятия фундаментального решения обсуждаются для процессов Леви с бесконечно гладким символом и для устойчивых субординаторов. В случае процессов Леви  с бесконечно гладким символом найдено фундаментальное решение соответствующего прямого эволюционного уравнения и установлена формуля Дюамеля для решения соответствующей задачи Коши.  В случае ½-устойчивого субординатора найдено фундаментальное решение (переходная вероятность) путём решения эволюционного уравнения со (слабой) дробной производной Римана-Лиувилля и показано, что дробная производная Вейля является минус сопряжённым оператором к    (слабой) производной Римана-Лиувилля.

1. Bogdan K., Butko Ya., Szczypkowski K. Majorization, 4G theorem and Schrödinger perturbations. Preprint. 2014. 15 p. Available at: http://arxiv.org/pdf/1411.7907.pdf, accessed 01.12.2014.
2. Bogdan K., Hansen W., Jakubowski T. Time-dependent Schrödinger perturbations of transition densities // Studia Mathematica. 2008. Vol. 189, no. 3. P 235-254. DOI: 10.4064/sm189-3-3
3. Bogdan K., Hansen W., Jakubowski T. Localization and Schrödinger perturbations of kernels // Potential Analysis. 2013. Vol. 39, no. 1. P. 13-28.
4. Bogdan K., Jakubowski T., Sydor S. Estimates of perturbation series for kernels // Journal of Evolution Equations. 2012. Vol. 12, no. 4. P. 973-984.
5. Bogdan K., Szczypkowski K. Gaussian estimates for Schrödinger perturbations // Studia Mathematica. 2014. Vol. 221, no. 2. P. 151-173. DOI:10.4064/sm221-2-4
6. Jacob N. Pseudo differential operators and Markov processes. Vol. I. Fourier analysis and semigroups. Imperial College Press , London, 2001. 493 p.
7. Vladimirov V.S. Equations of mathematical physics / translated from the Russian by A. Littlewood; edited by A. Jeffrey. New York: Marcel Dekker Inc., 1971. 418 p. (Ser. Pure and Applied Mathematics; vol. 3).