НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o406.pdf (426.62Кб)

УДК 517.956.32+533.72

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

Модель волнового взаимодействия, разработанная авторами для нормальной системы линейных однородных уравнений в частных производных 1-го порядка, которая задана числовыми матрицами при производных (по пространственным переменным), рассмотрена в приложении к одномерному течению идеального газа. Отвечающие модели линейные волны выделены из квазилинейного процесса методом малых возмущений. Результирующая линейная гиперболическая система записана относительно вектора, компонентами которого являются малые возмущения скорости, плотности и энтальпии газа, и задана содержащей параметры газа матрицей.
В приложении к физическому процессу выполнен анализ традиционного решения гиперболической системы посредством бегущих волн, распространяющихся вдоль координатной оси. Найдено три инварианта Римана. Общее решение представлено как линейная комбинация 3-х произвольных функций, волны-аргументы которых заданы характеристическими скоростями. Начальные условия, поставленные на измеримые в эксперименте функции, определяют сохраняющуюся форму бегущих волн. Наличие однозначно определяемого параметрами газа характеристического треугольника увязано с существованием в идеальном газе движущейся замкнутой структуры.
Для сохранения матричной записи из бегущих волн составлена диагональная матрица порядка 3. Эта матрица рассмотрена как 3-х мерная бегущая волна, заданная матрицей-коэффициентом с тремя характеристическими скоростями по диагонали. Посредством отношения подобия диагональная матрица заменена матрицей, задающей систему уравнений.
По аналогии с гиперболическим случаем n-мерная волна, заданная произвольной числовой матрицей порядка n, рассмотрена как решение системы Коши-Ковалевской 1-го порядка, заданной этой матрицей. Решение задачи Коши для системы представлено как разложение в ряд по n-мерной бегущей волне с коэффициентами, равными векторным коэффициентам разложения аналитической начальной функции в ряд Тейлора.
Установлено, что n-мерная бегущая волна порождается действием дифференциальной операторной экспоненты на аналитическую начальную вектор-функцию посредством задачи Коши для соответствующей системы.
Предложено применить модель к решению задачи для двумерного течения газа при использовании понятия взаимодействия между волнами, распространяющимися вдоль каждой из координатных осей.
Модель волнового взаимодействия, разработанная авторами для нормальной системы линейных однородных уравнений в частных производных 1-го порядка, которая задана числовыми матрицами порядка n при производных, рассмотрена в приложении к одномерному течению идеального газа. Отвечающие модели линейные волны выделены из квазилинейного процесса методом малых возмущений. Результирующая линейная гиперболическая система относительно вектора, компонентами которого являются малые возмущения скорости, плотности и энтальпии газа, задана содержащей параметры газа матрицей.
В приложении к физическому процессу выполнен анализ традиционного решения гиперболической системы посредством бегущих волн, распространяющихся вдоль координатной оси. Найдено три инварианта Римана. Общее решение представлено как линейная комбинация 3-х произвольных функций, волны-аргументы которых заданы характеристическими скоростями. Начальные условия, поставленные на измеримые в эксперименте функции, определяют сохраняющуюся во времени форму бегущих волн. Наличие однозначно определяемого параметрами газа характеристического треугольника увязано с существованием в идеальном газе движущейся замкнутой структуры.
Для сохранения матричной записи гиперболической системе поставлена в соответствие волна с диагональной матрицей-коэффициентом порядка 3, которая составлена из характеристических скоростей. Посредством отношения подобия диагонально жорданова матрица заменена матрицей, задающей систему уравнений.
По аналогии с гиперболическим случаем n-мерная бегущая волна, заданная произвольной числовой матрицей порядка n, рассмотрена как решение системы Коши-Ковалевской 1-го порядка, заданной этой матрицей. Решение задачи Коши для системы представлено как разложение в ряд по n-мерной бегущей волне с коэффициентами, равными векторным коэффициентам разложения аналитической начальной функции в ряд Тейлора.
 Установлено, что задача Коши позволяет рассмотреть n-мерные бегущие волны как результат действия отвечающей системе операторной экспоненты на аналитическую начальную вектор-функцию.
Модель предлагается применить к решению задачи для двумерного течения газа при введении взаимодействия между волнами, распространяющимися вдоль каждой из координатных осей.

1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 392 с.
2. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И., Чугайнова А.П. Лекционные курсы НОЦ. Вып. 16. Математические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений / Математический институт им . В . А . Стеклова РАН ( МИАН ). М.: МИАН, 2010. 122 с.
3. Курант Р. Уравнения с частными производными: пер. c англ. / под ред. О . А . Олейник . М .: Мир , 1964. 830 с . [Courant R. Methods of mathematical physics. Vol. 2. Partial Differential Equations. New York- London: Interscience Publ., 1962.].
4. Бхатнагар П . Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах : пер . с англ . / под ред . П . Е . Краснушкина , Н . Р . Сибгатуллина . М .: Мир , 1983. 136 с . [Bhatnagar P.L. Nonlinear Waves in One-Dimensional Dispersive Systems. Oxford: Clarendon Press, 1979.].
5. Лойцянский Л . Г . Механика жидкости и газа . М .: Наука , 1987. 840 с .
6. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer Berlin Heidelberg , 2009. 724 p. DOI: 10.1007/b79761
7. Феоктистов В.В., Мякинник О.О . Структура ряда для решения системы уравнений с частными производными 1-го порядка // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2009. № 4. С. 3-22.
8. Феоктистов В.В., Мякинник О.О . Оператор волнового взаимодействия и нормальная форма системы линейных уравнений в частных производных 1-го порядка // Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения – XX 1»: матер. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2010. С. 232-233.
9. Феоктистов В.В., Мякинник О.О . Бегущие волны с матричными коэффициентами // Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы»: матер. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2013. С. 255-256.
10. Феоктистов В.В., Мякинник О.О. Представление n -мерных бегущих волн через скалярные // Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения – XXV »: матер. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2014. С. 178 - 180 .
11. Geroch R. Partial Differential Equations of Physics // In: General Relativity: Proceedings of the 46th Scottish Universities Summer School in Physics (Aberdeen, July 1995). Edinburgh : SUSSP Publ . , 1996. P. 19-60.
12. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.
13. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. 432 с.
14. Капцов О.В. Инварианты характеристик систем уравнений с частными производными // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45, № 3. С. 577-591.