НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o256.pdf (386.96Кб)

УДК 519.40

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

В данной работе исследуется структура кольцевых диаграмм с периодическими метками над группами с условиями малого сокращения С(3)-Т(6). Такие диаграммы используются для решения  таких задач, как проблема сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу, проблема степенной сопряжённости. В группах данного класса первая проблема решена положительно. Вторая формулируется следующим образом.
Выяснить, существуют ли целые числа m, n, для которых степени слов v, w с показателями m, n соответственно сопряжены в группе G=(X;R).  Для решения этой задачи достаточно получить верхние оценки длин граничных меток диаграммы сопряжённости. Именно этому и посвящена данная работа.
Ранее было доказано, что для любого слова w можно построить так называемую нормальную форму – слово, все степени которого обладают некоторым свойством несократимости. Рассматривая диаграммы сопряжённости степеней таких нормальных форм, удаётся разбить множество этих диаграмм на три класса. Работая с одним из этих классов и пользуясь периодичностью граничных меток диаграммы, удаётся доказать периодичность слоёв этой диаграммы, а в дальнейшем и ограничить длины границ.
Таким образом, для решения проблемы степенной сопряжённости оказывается достаточно применить конечное, заранее известное, число проверок сопряжённости некоторых степеней слов v, w, что в рассматриваемом классе групп является давно решённой задачей. 

1. Магнус Д., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп: пер. с англ. М.: Наука, 1974. 456 с.
2. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: пер. с англ. М.: Мир, 1980. 448 с.
3. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М: Наука, 1989. 448 с. (Современная алгебра).
4. Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп // Труды Математического ин-та АН СССР. 1955. Т. 44. С. 1-444.
5. Безверхний Н.В. Разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(6) // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т.5, № 1. С. 39-46.
6. Безверхний Н.В. Нормальные формы для элементов бесконечного порядка в группах с условиями C(3)-T(6) // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 6-25.
7. Безверхний Н.В. Проблема сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу в группах с условиями C(3)-T(6) // Дискретная математика. 2012. Т. 24, вып. 4. С. 27-47.
8. Безверхний В.Н. . О нормализаторах элементов в C(p)-T(q)-группах // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. науч. трудов. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 1 994. C . 4-58.
9. Безверхний В.Н., Паршикова Е.В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условиями C(4)-T(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. науч. трудов. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2001. С. 120-139.
10. Паршикова Е.В. Проблема слабой степенной сопряжённости в группах с условием C(4)-T(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. науч. трудов. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2001. С. 179-185.
11. Безверхний Н.В. О кручении и о разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(6). М., 1995. Деп. в ВИНИТИ, № 2033-В95 .
12. Безверхний Н.В., Чернышева О.А. Односторонние функции, основанные на проблеме дискретного логарифмирования в группах с условиями  C(3)-T(6) // Наука и образование. МГТУ. им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 10. С. 70-101. DOI: 10.7463/1014.0729483
    
13. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Proc. of Edinburg Math. Soc. Ser. 2. 1992. Vol. 35, no. 1. P. 1 - 39. DOI: 10.1017/S0013091500005290
14. Gersten S.M., Short H.B. Small cancellation theory and automatic groups // Inventiones Mathematicae. 1990. Vol. 102, iss. 1. P. 305-334. DOI:10.1007/BF01233430