Другие журналы
|
Оценка обусловленности матрицы дискретизации в методе конечных объемов
# 11, ноябрь 2014
DOI: 10.7463/1114.0737310
авторы: Авдеев Е. В., Фурсов В. А.
УДК 519.688
| Россия, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева |
Рассмотрена задача выбора пространственной (сетки) и временной (шаг по времени) дискретизации в задачах, решаемых методом конечных объемов. Предложен метод, в котором выбор настроек задачи делается непосредственно на основе анализа матрицы дискретизации. В работах [2, 3, 4, 5] рассматриваются методы, основанные на анализе поля градиентов или поля значений физических величин. В работах [6], [7], [8] описываются методы апостериорной оценки так называемых анизотропных погрешностей интерполяции и методы создания оптимальной треугольной сетки [9], [10]. Общим недостатком этих методов является необходимость проведения решений задачи для получения выходных значений. В данной работе предложена процедура, основанная на связи степени мультиколлинеарности матрицы дискретизации с сеткой, шагом по времени и набором используемых разностных схем. Для примера выбрана задача с простой геометрией, в которой поток задается гиперболическим уравнением. Проведен ряд экспериментов, в ходе которых для заданных разностных схем сравнивались варианты сеток. Тип элементов рассматриваемых сеток – гексаэдры. Использовались сетки как с постоянным, так и с переменным шагом по пространству. Для каждого варианта сетки на основе нормированной матрицы дискретизации рассчитывались: показатель диагонального преобладания, коэффициент обусловленности, детерминант и минимальное собственное значение. Для оценки степени мультиколлинеарности использовался показатель диагонального преобладания. Показана связь этого показателя с обусловленностью решаемой СЛАУ. Вычислительная сложность приведенного показателя диагонального преобладания существенно ниже по сравнению с такими показателями обусловленности как число обусловленности и минимальное собственное значение. Это позволяет производить оценку обусловленности СЛАУ с наименьшими вычислительными затратами. Предложенная процедура позволяет осуществлять сравнение и выбор наиболее подходящего варианта дискретизации по времени и по пространству без использования полных пробных решений СЛАУ, что обеспечит существенное снижение вычислительной сложности решения задач. Список литературы- Ferziger H.J., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. 3rded.Springer Berlin Heidelberg, 2002. 426 p. DOI: 10.1007/978-3-642-56026-2
- Марчевский И.К., Пузикова В.В. Анализ эффективности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, реализованных в пакете OpenFOAM // Труды Института системного программирования РАН. 2013. Т. 24, № 3. С. 71-86.
- Сухинов А.А. Построение декартовых сеток с динамической адаптацией к решению // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, № 1. С. 86-98.
- Поварицын М.Е., Захаренков А.С., Левашов П.Р., Хищенко К.В. Моделирование многокомпонентных гидродинамических течений с использованием адаптивных сеток // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13, вып. 3. С. 424-433.
- Карасев П.И., А.С. Шишаева, Аксенов А.А. Качественное построение расчетной сетки для решения задач аэродинамики в программном комплексе FlowVision // Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012» (Новосибирск, 26-30 марта 2012 г.): тр. 2012. С . 167-178.
- Huang W. Measuring mesh qualities and application to variational mesh adaptation // SIAM Journal on Scientific Computing. 2005. Vol. 26, iss. 5. P. 1643-1666. DOI: 10.1137/S1064827503429405
- Huang W., Sun W. Variational mesh adaptation II: Error estimates and monitor functions // Journal of Computational Physics. 2003. Vol 184, iss. 2. P. 619-648. DOI: 10.1016/S0021-9991(02)00040-2
- Kunert G. Robust a posteriori error estimation for a singularly perturbed reaction-diffusion equation on anisotropic tetrahedral meshes // Advances in Computational Mathematics. 2001. Vol. 15, iss. 1-4. P. 237-259. DOI: 10.1023/A:1014248711347
- D’Azevedo E.F., Simpson R. On optimal interpolation triangle incidences // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1989. Vol. 10, no. 6. P. 1063-1075. DOI: 10.1137/0910064
- D’Azevedo E.F., Simpson R. On optimal triangular meshes for minimizing the gradient error // Numerische Mathematik. 1991. Vol. 59. P. 321-348. DOI: 10.1007/BF01385784
- Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений: пер. с англ. М.: Мир, 1969. 168 с.
- Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 304 с.
- Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981. 304 с.
- Фурсов В.А. Адаптивная идентификация по малому числу наблюдений // Информационные технологии. 2013. Прил . № 9. С . 1-32.
|
|