НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o113.pdf (350.36Кб)

УДК 511.361

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

В данной работе получены оценки снизу абсолютной величины линейной формы от значений обобщенной гипергеометрической функции и ее производных (в том числе и по параметру) в ненулевой точке некоторого мнимого квадратичного поля. Параметр, по которому выполняется дифференцирование, является иррациональным. Для решения такой задачи нельзя применить известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля, т.к. вышеупомянутые функции не принадлежат специальному классу целых функций, введенному Зигелем. Метод Зигеля предполагает построение линейной приближающей формы (или совместных приближений) с помощью принципа Дирихле. Построенная приближающая форма должна удовлетворять жестким требованиям, которые играют важную роль в арифметической части метода. Такая конструкция не может быть реализована, если наименьший общий знаменатель n первых коэффициентов разложения рассматриваемых функций в ряды Тейлора растет слишком быстро. Именно эту ситуацию мы имеем в случае гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Существует модификация метода Зигеля, которая позволяет применять в некоторых случаях принцип Дирихле для построения аппроксимирующих форм также и для функций с иррациональными параметрами, однако неизвестно, можно ли применить эту модификацию для функций, продифференцированных по параметру.
Обычно в случае иррациональных параметров применяют эффективные методы построения линейной приближающей формы. Если мы применим такую конструкцию в случае, когда мы имеем дело с дифференцированием по иррациональному параметру, то нам потребуется ввести дополнительные ограничения: рассматриваемая функция должна иметь специальный вид, а ее значения должны вычисляться в точке, близкой к началу координат. Практика решения сходных проблем показывает, что лучших результатов можно добиться, используя совместные приближения. При таком подходе можно рассмотреть функции более общего вида и отбросить ненужное ограничение на точку, в которой вычисляются значения этих функций.
В данной работе мы используем эффективную конструкцию совместных приближений. При этом потребовались некоторые дополнительные технические приемы для оценки наименьшего общего знаменателя коэффициентов аппроксимирующих многочленов. Все это позволило улучшить и обобщить полученные ранее результаты. Оставаясь в рамках используемых здесь методов, можно получить и некоторые другие результаты, относящиеся к арифметическим свойствам значений гипергеометрических функций, продифференцированных по параметру.

1. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука,1987. 448 с.
2. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых E -функций // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1967. № 2. С. 55-62.
3. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов // Ученые записки МГУ. Вып. 186. Математика. Т. 9. М.: Изд-во МГУ, 1959. С. 11-70.
4. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых функций // Труды Московского математического общества. 1959. Т . 10. С . 283-320.
5. Mahler K. Application of a theorem by A.B. Shidlovski // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1968. Vol . 305. P . 149-173.
6. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений E -функций одного класса // Сибирский математический журнал. 1973. Т . 14, № 1. С . 16-35.
7. Väänänen K. On the transcendence and algebraic independence of the values of certain E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A: Math. 1973. Vol. 537. P. 3-15.
8. Väänänen K. On the algebraic independence of some E-functions related to Kummer's functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A: Math. 1975. Vol. 1. P. 183-194.
9. Väänänen K. On the algebraic independence of the values of some E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A: Math. 1975. Vol. 1. P. 93-109.
10. Mahler K. Lectures on Transcendental Numbers. Springer Berlin Heidelberg, 1976. 254 p. (Ser. Lecture Notes in Mathematics; vol. 546). DOI: 10.1007/BFb0081107
11. Иванков П.Л. О значениях продифференцированных по параметру гипергеометрических функций // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, № 2. С. 64-70.
12. Иванков П.Л. О значениях некоторых функций, удовлетворяющих однородным дифференциальным уравнениям // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, № 2. С. 104-112.
13. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гилберта. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 312 с.
    
14. Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых функций // Чебышевский сборник. 2010. Т . 11, № 1. С . 145-151.
15. Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. Applications of Pade approximation to Diophantine inequalities in values of G-function // In: Number Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1985. P. 9-51. (Ser. Lecture Notes in Mathematics; vol. 1135). DOI: 10.1007/BFb0074600
16. Иванков П.Л. О совместных приближениях, учитывающих специфику однородного случая // Математические заметки. 2002. Т. 71, вып. 3. С. 390-397.