НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o074.pdf (345.62Кб)

УДК 511.361

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

В работе рассматривается задача о линейной независимости значений обобщённых гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами. Для решения такой задачи нельзя непосредственно применить известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля, поскольку упомянутые функции не принадлежат к  введённому Зигелем специальному классу целых функций. Метод Зигеля  предусматривает построение линейной приближающей формы с помощью принципа Дирихле.  Такое построение не удаётся осуществить, если коэффициенты рядов Тейлора рассматриваемых функций имеют “плохие” знаменатели. Именно это последнее обстоятельство имеет место в случае гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Существует модификация метода Зигеля, которая позволяет применить принцип Дирихле также и в указанном случае, однако до сих пор неизвестно, можно ли  эту модификацию использовать в ситуации, когда варьируемые параметры иррациональны.
Обычно в случае иррациональных параметров применяют эффективные методы построения линейной приближающей формы. Применение такого построения в случае различных иррациональных параметров приводит к необходимости ограничиться  двумя параметрами и потребовать дополнительно, чтобы разность этих параметров была рациональным числом. Практика решения аналогичных задач для гипергеометрических функций с иррациональными параметрами показывает, что применение совместных приближений приводит, как правило, к лучшим результатам. В случае задачи с различными иррациональными параметрами можно, например, отказаться от условия рациональности разности варьируемых параметров. 
В данной работе эффективная конструкция совместных приближений отличается от предложенных ранее, что позволило с помощью некоторых дополнительных соображений технического характера улучшить арифметическую часть метода (которая в основном сводится к получению приемлемой оценки общего наименьшего знаменателя коэффициентов аппроксимирующих многочленов). Указанное выше ненужное ограничение на варьируемые параметры было в результате отброшено, однако пришлось ограничиться значениями рассматриваемых функций лишь в малой по абсолютной величине точке.
Оставаясь в рамках используемых методов, можно получить и некоторые другие результаты, не рассмотренные в статье, однако для увеличения числа варьируемых параметров (хотя бы до трёх) или для отказа от ограничения на значения функций потребуется, по-видимому, привлечение каких-то новых идей.

1. Фельдман Н.И. Оценки снизу для некоторых линейных форм // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 1967. № 2. С. 63-71.
2. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами // Математические заметки. 1992. Т. 52, вып. 6. С. 25-31.
3. Иванков П.Л. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, № 6. С. 65-72.
4. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Московского университета, 1982. 312 с.
5. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // In: New Advances in Transcendence Theory. Cambridge, New Rochell, Melbourne, Sydney, 1988. P. 207-215.
6. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука,1987. 448 с.
7. Иванков П.Л. О совместных приближениях, учитывающих специфику однородного случая // Математические заметки. 2002. Т. 71, вып. 3. С. 390-397.
8. Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. Applications of Pade approximation to Diophantine inequalities in values of G-function // In: Number Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1985. P. 9-51. (Ser. Lecture Notes in Mathematics; vol. 1135). DOI: 10.1007/BFb0074600
9. Иванков П.Л. О значениях продифференцированных по параметру гипергеометрических функций // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 2. С. 64-70.