НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: S&E-BMST...o127.pdf (471.35Кб)

УДК 517.977

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

Статья посвящена исследованию обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной. Задача описания таких операторов актуальна, поскольку она связана с задачами преобразования и классификации систем управления, в частности, с задачей проверки плоскостности систем.
Каждый обратимый линейный дифференциальный оператор представляет собой квадратную матрицу скалярных дифференциальных операторов. Его произведение с оператором-столбцом есть оператор-столбец, порядок которого не превышает сумму порядков исходных операторов. В рамках задачи описания обратимых операторов интересны операторы-столбцы, произведение с которыми приводит к понижению порядка, т.е. порядок произведения меньше суммы порядков сомножителей. В статье предложена классификация обратимых операторов, основанная на размерностях d_k,p пересечений модулей G_p и F_k для различных k и p, где G_p – модуль всех операторов-столбцов порядка не выше p, а F_k – модуль, состоящий из композиций обратимого оператора со всеми операторами-столбцами порядка не выше k. К одному классу отнесены те, и только те обратимые операторы, которые имеют одинаковые наборы чисел d_k,p.
В статье исследованы общие свойства таблиц чисел d _k,p  для обратимых операторов. В результате исследования построено соответствие между обратимыми операторами и элементарно-геометрическими моделями, которые в статье названы d-схемами квадратов. Обратимый оператор определяется d-схемой квадратов неоднозначно, но предложены математические структуры, которые необходимо задать для однозначного определения такого оператора, а также алгоритм его построения.
В доказательстве основного результата использованы методы теории цепных комплексов и их спектральных последовательностей. В статье сформулированы все необходимые понятия этой теории и доказаны соответствующие факты.
Результаты работы могут быть использованы для решения задач, в которых возникают обратимые линейные дифференциальные операторы. Условия на обратимый оператор, которые вытекают из постановки задачи, необходимо переформулировать на языке d-схем квадратов. Далее ищется d-схема, удовлетворяющая этим условиям, и по этой схеме восстанавливается искомый оператор.
Статья завершается обсуждением возможных обобщений предлагаемых методов на случай операторов в частных производных, дифференциальных операторов с запаздыванием и разностных операторов.

1. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. М.: Мир, 1990. 536 с.
2. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука , 1986. 336 с.
3. Четвериков В.Н. Метод линеаризации для решения задач плоскостности и поиска оператора совместности // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С.1518-1527.
4. Fliess M., Levine J., Martin Ph., Rouchon P. A Lie-Backlund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 1999. Vol. 44, no. 5. P. 922-937. DOI: 10.1109/9.763209
5. Martin Ph., Murray R., Rouchon P. Flat systems // Proc. of the 4th European Control Conf. Plenary lectures and Mini-courses. Brussels, 1997. P. 211-264.
6. Pomet J.-B. A differential geometric setting for dynamic equivalence and dynamic linearization // Geometry in Nonlinear Control and Differential Inclusions / B. Jakubczyk, W. Respondek, T. Rzezuchowski, eds. Warsaw: Banach Center Publications, 1995. P. 319-339.
7. Chetverikov V.N. Invertible linear differential operators on two-dimensional manifolds. Vienna, 1993. 16 p. (Preprint of the Erwin Schrodinger International Institute for Mathematical Physics; no. 55).
8. Четвериков В.Н. Управляемость плоских систем // Дифференциальные уравнения. 2007. Т . 43, № 11. С . 1518-1527.
9. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970. 442 с.
10. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971. 680 с.