НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Выпуклый анализ – это раздел математики, являющийся основой теории экстремальных задач и, следовательно, математической основой теории оптимизации. В выпуклом анализе изучаются выпуклые объекты, т.е. выпуклые множества, выпуклые функции и выпуклые экстремальные задачи. Роль выпуклости в математике (особенно в проблемах оптимизации), естествознании, технике, экономике весьма значительна, и пришло время включить начала выпуклого анализа в математическое образование любого уровня. Книга призвана служить этой цели. В ней изложены начала выпуклого анализа и показаны его возможности и приложения.  Книга рассчитана на широкую читательскую аудиторию и может служить учебным пособием по курсам оптимизации, геометрии и прикладным дисциплинам различного профиля.

Краткое содержание

·        Предисловие.

·        Введение.

·        Глава I.   Теория. Даются определения основных понятий выпуклого анализа.

·        1.1. Начала выпуклого анализа. Локально выпуклые пространства и двойственность. Выпуклые множества и функции. Теоремы отделимости. Двойственность выпуклых функций. Субдифференциальное исчисление.

·        1.2.  Выпуклые экстремальные задачи.  Условия экстремума. Двойственность выпуклых экстремальных задач.

·        1.3.  Конечномерная выпуклая геометрия.  Жесткость выпуклых многогранников. Теорема Каратеодори, Радона, Хелли. Теорема Минковского. Формулы Коши и Штейнера-Минковского. Неравенство Брунна-Минковского.

·        1.4. Алгоритмы выпуклой оптимизации. Метод центрированных сечений. Метод  описанных эллипсоидов. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

·        1.5.  Выпуклый анализ и экстремальные задачи. Принцип Лагранжа для гладко-выпуклых задач. Ляпуновские задачи.

·         Глава II.   Приложения.   

·        2.1.  Критерии элементов наилучшего приближения.

·        2.2.  Неравенства и выпуклый анализ.

·        2.3.  Линейные функционалы на пространствах полиномов.

·        2.4.  Неравенства для производных колмогоровского типа.

·        2.5.  Оптимальное восстановление линейных функционалов.

·        2.6. Задачи геометрии.

·        2.7.  Задачи технического содержания.

·         Глава III.  Дополнения.

·        3.1. Базовые теоремы выпуклого анализа.

·        3.2. Доплнительные вопросы выпуклого анализа.

·        Список литературы.

·        Предметный указатель.

·        Именной указатель