НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

В монографии обобщаются и предлагаются новые методы математического моделирования нелинейных динамических систем. На простых примерах пояснены механизмы возникновения динамического хаоса, самоорганизации и других процессов. Предложен принципиально новый подход к моделированию динамических систем, основанный на теории возможностей и нечеткой математике. Он ориентирован на описание динамики в условиях неопределенности и является альтернативой стохастическому моделированию. Предлагаются методы прогноза динамики на основе наблюдений над системой, выполненных с погрешностью. Книга предназначена для специалистов по математическому моделированию, а также для студентов старших курсов и аспирантов технических и физико-математических специальностей вузов. Первое издание книги было выполнено в 2000 году.

Краткое содержание

·        Предисловие.  Дается краткое изложение основных идей и содержания книги.

·        Глава 1.   Математические модели динамических систем.   Дается определение динамической системы. Приводятся основные дифференциальные уравнения систем с конечным числом степеней свободы. Вводится понятие странного аттрактора. Рассматриваются дискретные эволюционные модели.

·        Глава 2. Классификация поведения динамических систем.  Вводится понятие топологической эквивалентности. Приводятся результаты исследования качественного поведения динамических систем. Вводится понятие грубости систем.  Рассматривается устойчивость динамических систем по Ляпунову и орбитальная устойчивость. Рассматриваются типичные бифуркации динамических систем. Дается краткое введение в элементарную теорию катастроф.

·        Глава 3.      Приближенные методы исследования нелинейных систем. Рассматриваются различные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, основанные на методах усреднения и асимптотических методах малого параметра.

·         Глава 4.     Гамильтоновы системы. Рассматриваются основные понятия вариационного исчисления. На примерах задач динамики излагаются основные понятия теории гамильтоновых систем. Дается элементарное представление о теории КАМ (Колмогорова-Арнольда-Мозера).     

·        Глава 5.  Хаос в динамических системах.  Вводится понятие динамического хаоса. Рассматриваются сценарии перехода к хаосу, а также понятия эргодичности и перемешивания. Вводятся понятия параметров порядка и принципа подчинения.

·         Глава 6. Фракталы: определения и свойства. Дается определение понятий фрактал, динамический фрактал, размерность Хаусдорфа-Безиковича. Рассматриваются фракталы Жюлиа и Мандельброта.  Дается обобщение понятий фрактал и самоподобие как фундаментальных свойств природы.

·        Глава 7. Численные методы исследования динамических систем.  Содержит расчет отображений Пуанкаре, численный анализ периодических решений, вычисление спектра ляпуновских характеристических показателей, расчет размерности аттракторов.

·        Глава 8.  Самоорганизация в нелинейных системах. Это центральная глава в книге. Ставится проблема обратимости времени и ее связь с теорией нелинейных систем. Рассматривается самоорганизация в активных средах, нелинейные волны, солитоны, а также самоорганизация в химической кинетике и биологических системах. Исследуется поведение клеточных автоматов, а также нейронные сети и морфологический анализ изображений.

·         Глава 9.  Системы со случайными шумами.  Рассматривается роль флуктуаций, а также модели случайных процессов. Исследуются физические системы с шумами: уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка-Колмогорова.

·        Глава 10.    Измерение и прогнозирование. Приводится теория измерительно-вычислительных систем. Исследуются методы синтеза ИВС как идеальных приборов.  Рассматривается надежность модели и надежность интерпретации.

·        Глава 11. Нечеткие модели. Проводится сравнительный анализ понятий возможность и вероятность. Дается краткое введение в теорию возможностей. Вводятся понятия нечеткие элементы, нечеткое моделирование, гауссовские нечеткие элементы. Рассматриваются некоторые аспекты нечеткой динамики.