НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: Trv1406.pdf (1327.82Кб)

УДК 519.677

Россия,  Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Анализ пространственных течений разреженного газа в микроустройствах (микроканалах, микронасосах и т.д.) и вокруг спускаемых аппаратов требуют создания методов  компьютерного моделирования. Одним из таких методов является численное решение кинетического уравнения Больцмана для функции распределения молекул по скоростям с точным либо приближенным (модельным) интегралом столкновений. Так, в настоящее время для моделирования течений одноатомного разреженного газа широкое распространение получило модельное уравнение неполного третьего приближения, получившие название модели Шахова, или S—модели. Несмотря на относительную простоту данного модельного уравнения, оно  является сложным интегро-дифференциальным уравнением высокой размерности, численное решение которого требует развития высокоточных параллельных методов.
В работе представлен обзор последних результатов по разработке и применению трехмерного пакета "Несветай-3Д" моделирования течений разреженного газа. В пакете решается кинетическое уравнение Больцмана с модельными интегралами столкновений БГК (Крука) и Шахова на основе подхода дискретных скоростей. Расчеты проводятся в безразмерных переменных. В пространстве молекулярных скоростей вводится конечная область интегрирования и расчетная сетка. После этого кинетическое уравнение переписывается в виде системы кинетических уравненийдля каждого узла скоростной сетки, которая решается с помощьюнеявной конечно-объемной схема типа Годунова. Стационарное решение находится методом установления по времени. Высокий порядок аппроксимации по пространству достигается использованием кусочно-линейного представления функции распределения в каждой пространственной ячейке. В общем случае коэффициенты такого представления находятся методом наименьших квадратов. В расчетах могут использоваться произвольные неструктурированные сетки в физическом пространстве, что позволяет рассматривать обтекания тел сложной формы. Консервативность счета по интегралу столкновений обеспечивается с помощью специальной процедуры нахождения макроскопических переменных. Другим важным блоком метода является быстрая процедура решения системы уравнений для приращения функции распределения по времени. Процедура основана на подходе LU-SGS; при этом число операций в решении пропорционально числу ячеек пространственной сетки.Задачи большого размера могут решаться на сотнях процессорных ядер  с применением технологии MPI.
Производительность и надежность численного метода и программного кода иллюстрируются на примере ряда задач, включающих в себя моделирование истечения разреженного газа в вакуум через микроканалы и расчет внешнего обтекания спускаемых аппаратов на большой высоте полета. Рассматривается истечение разреженного газа через простые и составные каналы круглого поперечного сечения. Проводится сравнение с результатами других автором и экспериментальными данными. Продемонстрирована хорошая сходимость метода по пространственной сетке. Для течения в составном канале показано формирование диска Маха. Одним из примеров решения задачи внешнего обтекания является расчет течения газа вокруг Воздушно-Космического Аппарата (ВКА) ЦАГИ, который является пространственным телом сложной формы. Геометрия ВКА включает в себя фюзеляж, вертикальный киль, крылья и отклоняемый щиток. Показана картина течения вокруг ВКА и распределение давления по его поверхности.
В настоящее время ведется работа по реализации в пакете неявной разностной схемы для нестационарных течений разреженного газа, адаптация для эффективного моделирования задач гиперзвукового обтекания тел сложной пространственной формы и обобщение на случай двухатомного газа на основе модели Рыкова.

1. Шахов Е.М. Об обобщении релаксационного кинетического уравнения Крука // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968. № 5. С. 142-145.
2. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Наука, 1974. 207 с.
3. Жук В.И., Рыков В.А., Шахов Е.М. Кинетические модели и задача о структуре ударной волны // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1973. № 4. С. 135-141.
4. Рыков В.А., Черемисин Ф.Г., Шахов Е.М. Численные исследования по динамике разреженных газов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980.Т. 20, № 5. С. 1266-1283.
5. Шахов Е.М. Поперечное обтекание пластины разреженным газом // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1972. № 6. С. 106-113.
6. Шахов Е.М. Численные методы решения аппроксимирующих кинетических уравнений // Численные методы в динамике разреженных газов: сб. Вып.2. М.: ВЦ АН СССР, 1975. С. 35-76.
7. Sharipov F., Seleznev V. Data on internal rarefied gas flows // J. Phys. Chem . Ref . Data . 1998. Vol . 27 , no. 3. P . 657 - 706.
8. Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург: УРО РАН, 2008. 232 с.
9. Graur I., Polikarpov A.Ph. Comparison of different kinetic models for the heat transfer problem // Heat and Mass Transfer. 2009. Vol . 46, iss . 2. P . 237-244. DOI: 10.1007/s00231-009-0558-x
10. Рыков В.А. Модельное кинетическое уравнение для газа с вращательными степенями свободы // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1975. № 6. С. 107-115.
11. Рыков В.А., Титарев В.А., Шахов Е.М. Структура ударной волны в двухатомном газена основе кинетической модели // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2008. № 2. С. 171-182.
12. Ларина И.Н., Рыков В.А. Расчет течений разреженного двухатомного газа через плоский микроканал // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 4. С. 720-732.
13. Li Z.-H., Zhang H.-X. Numerical investigation from rarefied flow to continuum by solving the Boltzmann model equation // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2003. Vol. 42, no. 4. P. 361-382.
14. Kolobov V.I., Arslanbekov R.R., Aristov V.V., Frolova A.A., Zabelok S.A. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement // Journal of Computational Physics. 2007. Vol . 223, no . 2 . P . 589-608. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.09.021
15. Аникин Ю.А., Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Г. Компьютерное моделирование и анализ эксперимента Кнудсена 1910 года // Нано- и микросистемная техника. 2010. №. 8. С. 6-14.
16. Титарев В.А. Неявный численный метод расчета пространственных течений разреженного газа на неструктурированных сетках // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 10. С. 1811 - 1826.
17. Titarev V.A. Efficient deterministic modelling of three-dimensional rarefied gas flows // Commun. Comput. Phys. 2012. Vol. 12, no. 1. P. 161-192.
18. Titarev V.A., Dumbser M., Utyuzhnikov S.V. Construction and comparison of parallel implicit kinetic solvers in three spatial dimensions // Journal of Computational Physics. 2014. Vol. 256, no. 1. P. 17-33. DOI: 10.1016/j.jcp.2013.08.051
19. Bhatnagar P.L., Gross E.P., Krook M. A model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems // Phys. Rev . 1954. Vol . 94 , no. 3. P . 511 - 525.
20. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т. 47, № 3 . С. 271-306.
21. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных течений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1972. Т. 3, № 6. С. 68-77.
22. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. 3^rd ed. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 724 p. DOI: 10.1007/b79761
23. Dumbser M., Kaser M. Arbitrary high order non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for linear hyperbolic systems // Journal of Computational Physics. 2007. Vol. 221, no. 2. P. 693-723. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.06.043
24. Tsoutsanis P., Titarev V.A., Drikakis D. WENO schemes on arbitrary mixed-element unstructured meshes in three space dimensions// Journal of Computational Physics. 2010. Vol. 230, no. 4. P. 1585-1601. DOI: 10.1016/j.jcp.2010.11.023
25. Venkatakrishnan V. On the accuracy of limiters and convergence to steady-state solutions // 31st Aerospace Science Meeting and Exhibit, Reno, NV, January 11-14, 1993. AIAA paper 93-0880. DOI : 10.2514/6.1993-880
26. Петровская Н.Б., Волков А.В. Влияние геометрии сетки на точность реконструкции решения в конечно-объемных и конечно-элементных схемах высокого порядка // Математическое моделирование. 2010. T. 22, № 3. С . 145-160.
27. Titarev V.A., Shakhov E.M. Computational study of a rarefied gas flow through a long circular pipe into vacuum // Vacuum. Spec. iss. “Vacuum Gas Dynamics. Theory, experiments and practical applications”. 2012. Vol. 86, no. 11. P. 1709-1716. DOI: 10.1016/j.vacuum.2012.02.026
28. Leer B. van. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second order sequel to Godunov’s method // Journal of Computational Physics. 1979. Vol. 32, iss. 1. P. 101-136. DOI: 10.1016/0021-9991(79)90145-1
29. Titarev V.A. Conservative numerical methods for model kinetic equations // Computers and Fluids. 2007. Vol. 36, no. 9. P. 1446-1459.
30. Титарев В.А., Шахов Е.М. Численный расчет поперечного обтекания холодной пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. № 5. C . 139-154.
31. Титарев В.А. Численный метод расчета двухмерных нестационарных течений разреженного газа в областях произвольной формы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. T . 49, № 7. С. 1255-1270.
32. Mieussens L. Discrete velocity model and implicit scheme for the BGK equation of rarefied gas dynamics // Math. Models and Meth. Appl. Sci. 2000. Vol. 8, no. 10. P. 1121-1149.
33. Gusarov A.V., Smurov I. Gas-dynamic boundary conditions of evaporation and condensation. С. Numerical analysis of the Knudsen layer // Phys. Fluids. 2002. Vol.14, no. 12. P. 4242-4255.
34. Men'shov I. S., Nakamura Y. An implicit advection upwind splitting scheme for hypersonic air flows in thermochemical nonequilibrium // A Collection of Technical Papers of 6^th Int. Symp. on CFD, Lake Tahoe, Nevada, 1995. Vol. 2. 1995. P. 815.
35. Karypis G., Kumar V. Multilevel k-way partitioning scheme for irregular graphs // J. Parallel Distrib. Comput. 1998. Vol. 48. P. 96-129.
36. Dumbser M., Kaser M., Titarev V.A., Toro E.F. Quadrature-free non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for nonlinear hyperbolic systems // Journal of Computational Physics. 2007. Vol . 226 , iss. 1 . P . 204-243. DOI: 10.1016/j.jcp.2007.04.004
37. Аристов В.В., Забелок C . A . Детерминистический метод решения уравнения Больцмана с параллельными вычислениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42, № 3. С. 425 - 437.
38. Думбсер М., Титарев В.А., Утюжников С.В. Неявный многоблочный метод решения кинетического уравнения на неструктурированных сетках // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53, № 5. С. 762 - 782. DOI: 10.7868/S0044466913050141
39. Титарев В.А., Шахов Е.М. Неизотермическое течение газа в длинном канале на основе кинетической S-модели // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 12. С. 2246 - 2260.
40. Varoutis S., Valougeorgis D., Sazhin O., Sharipov F. Rarefied gas flow through short tubes into vacuum // Journal of Vacuum Science and Technology A. 2008. Vol. 26, no. 1. P. 228-238. DOI: 10.1116/1.2830639
41. Sharipov F. Benchmark problems in rarefied gas dynamics // Vacuum. Spec. iss. “Vacuum Gas Dynamics. Theory, experiments and practical applications”. 2012. Vol. 86, no. 11. P. 1697-1700. DOI: 10.1016/j.vacuum.2012.02.048
42. Fujimoto T., Usami M. Rarefied gas flow through a circular orifice and short tubes // Journal of Fluids Engineering. 1984. Vol. 106, no. 4. P. 367-373. DOI: 10.1115/1.3243132
43. Титарев В.А., Шахов Е.М. Концевые эффекты при истечении разреженного газа через длинную трубу в вакуум // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2013. № 5. С. 146 - 158.
44. Шахов Е.М. Осесимметричная нелинейная задача о стационарном течении разреженного газа в трубе кругового сечения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36, № 8. С. 169-179.
45. Varoutis S., Valougeorgis D., Sharipov F. Simulation of gas flow through tubes of finite length over the whole range of rarefaction for various pressure drop ratios // Journal of Vacuum Science and Technology A. 2009. Vol. 27, no. 6. P. 1377-1391. DOI: 10.1116/1.3248273
46. Titarev V.A. Rarefied gas flow in a circular pipe of finite length // Vacuum. 2013. Vol. 94. P. 92-103. DOI: 10.1016/j.vacuum.2013.01.012
47. Titarev V.A., Shakhov E.M., Utyuzhnikov S.V. Rarefied gas flow through a diverging conical pipe into vacuum // Vacuum. 2014. Vol. 101. P. 10-17. DOI: 10.1016/j.vacuum.2013.07.030
48. Titarev V.A., Shakhov E.V. Rarefied gas flow into vacuum through a pipe composed of two circular sections of different radii // Vacuum. 2014. DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.02.019 (in press).
49. Titarev V.A. Direct numerical solution of model kinetic equations for flows in arbitrary three-dimensional geometries // Proc. 28^th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics 2012. AIP Conference Proceedings 1501, Amer. Inst. Physics, 2012. P. 262-271. DOI: 10.1063/1.4769518
50. Garanzha V.A., Kudryavtseva L.N., Utyuzhnikov S.V. Variational method for untangling and optimization of spatial meshes // J. Comp. and Appl. Math . 2014. Vol . 269. P . 24-41.
51. Ваганов А.В., Дроздов С.М., Косых А.П., Нерсесов Г.Г., Челышева И.Ф., Юмашев В.Л. Численное моделирование аэродинамики крылатого возвращаемого космического аппарата // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. 40, № 2. С. 3 - 15.
52. Ваганов А.В., Дроздов С.М., Задонский С.М., Челышева И.Ф., Косых А.П., Нерсесов Г.Г., Юмашев В.Л. Исследование аэродинамики крылатого воздушно-космического аппарата с отклоненным балансировочным щитком // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. 40, № 5. С. 3-15.