НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: IVK144.pdf (379.53Кб)

 В работе рассмотрены обобщенные гипергеометрические функции и их производные (в том числе и по параметру). Некоторые из параметров этих функций иррациональны. Целью работы является уточнение оценок снизу модулей неоднородных линейных форм с коэффициентами из некоторого мнимого квадратичного поля от  значений указанных функций (неоднородность здесь понимается в том смысле, что значения функций рас-сматриваются вместе с единицей). Для решения сформулированной задачи использована эффективная конструкция совместных приближений. При этом специальным образом вы-бираются степени многочленов, образующих такие приближения. Последнее обстоятель-ство позволяет получить более точные оценки модулей соответствующих линейных форм.
Обычно для решения аналогичных задач используют известный в теории трансцен-дентных чисел метод Зигеля, в котором функциональные приближения строятся с помо-щью принципа Дирихле. Достоинством этого метода является общность получаемых ре-зультатов. В случае иррациональных параметров такой метод для решения рассматривае-мых задач непосредственно применить нельзя, поскольку общий наименьший знаменатель коэффициентов гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами растет слишком быстро. Поэтому первые оценки модулей линейных форм от значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами были получены с помощью эффективной конструкции линейных приближающих форм. Впоследствии был разработан метод, включающий в себя как элементы метода Зигеля, так и элементы метода, основанного на эффективном построении линейных приближающих форм. Использование комбинированного метода позволило получить оценки линейных форм рассматриваемого типа в наиболее общей ситуации. Этот метод, однако, пока не применялся для исследования арифметической природы значений продифференцированных по параметру гипергеометрических функций.
Заметим, что все известные оценки рассматриваемого типа все еще весьма далеки от ожидаемых. Это замечание относится именно к неоднородному случаю; некоторые из из-вестных оценок однородных линейных форм во многих случаях уже не допускают даль-нейшего уточнения. Обобщение результатов настоящей работы, по-видимому, можно осуществить с помощью упоминавшегося выше комбинированного метода, сочетающего общность метода Зигеля с возможностями эффективных конструкций.

Список литературы

1.    Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17, № 6. С. 1220-1235.
2.    Галочкин А.И. О некотором аналоге метода Зигеля // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика. 1986. № 2. С. 30-34.
3.    Иванков П.Л. Уточнение оценок некоторых неоднородных линейных форм // Математические заметки. 2005. Т. 77, вып. 4. С. 515-521. DOI: 10.4213/mzm2512
4.    Иванков П.Л.  О линейной независимости некоторых функций // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 1. С. 145-151.
5.    Иванков П.Л. О дифференцировании по параметру некоторых функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 5. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/398478.html  (дата обращения 01.03.2014). DOI: 10.7463/0512.0398478
6.    Иванков П.Л. Об использовании совместных приближений для изучения  арифметической природы значений гипергеометрических функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 12. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/500464.html  (дата обращения 01.03.2014). DOI: 10.7463/1212.0500464
7.    Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 448 с.
8.    Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во МГУ, 1982. 312 с.
9.    Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. Applications of Padé approximation to Diophantine inequalities in values of G-functions // Number Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1985. P. 9-51. (Ser. Lect. Notes in Math.; vol. 1135.). DOI: 10.1007/BFb0074600
10.    Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал.1993. Т. 34, № 5. С. 53-62.
11.    Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New Advances in Transcendence Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. P. 207-215.