Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
Математическая модель одномерной сети водоснабжения
#12 декабрь 2007 Боровик И.Г. Янов И.О. Современное состояние и быстрое изменение структуры систем городских водопроводов, увеличение числа используемых одновременно источников водоснабжения, насосных станций и регулирующих емкостей требуют совершенствования методов расчета систем подачи и распределения воды. Проблема также заключается и в старении труб, что влечет за собой изменение их сопротивления, не учтенное при начальном расчете системы водоснабжения. Возникает вопрос управления работой такой сети, который для начала сводится к получению математической модели сети водоснабжения. Рассмотрим схему обычной городской водопроводной сети: имеется несколько насосных станций, питающих сеть, которая в свою очередь состоит из трубопроводов, соединяющихся в узловых точках. Некоторые из узловых точек являются контрольными. Они расположены таким образом, что определенное значение давления воды в них обеспечивает необходимое давление во всей водопроводной сети. Давление в отдельно взятой контрольной точке зависит от давлений во всех насосах сети, а также от уровня расходов воды, которые носят случайный характер. Для построения математической модели такой сети водоснабжения необходимо найти математическую модель отдельно взятого участка сети, т.е. рассмотрим одномерную сеть с двумя насосами (точки А1 и А2) и несколькими датчиками давления в контрольных точках Вj (рис.1). Давление в насосах обозначим Р1 и Р2 ,а расходы в них Q1 и Q2 соответственно. Давление в контрольных точках обозначим Рj , а вдоль всей оси нашей сети расположим водозаборные краны с расходами qj или q1,q2, … qk. Эти расходы неизвестны и постоянно меняются, что влечет за собой изменение влияния давлений в насосах на давления в контрольных точках, что и является главной зависимостью при построении модели сети. Рис. 1 Одномерная сеть
Рис. 2 Распределение давления в одномерной сети
Для вывода уравнений предположим, что давление в каждой точке сети есть функция р(х). При этом основное гидравлическое уравнение движения воды в стационарном режиме запишется как: (1) Dp - изменение давления на трубе длиной Dx ; q - поток воды через трубу; m - постоянная, зависящая от состояния труб (около 2); k - коэффициент, зависящий от сечения трубы (коэффициент сопротивления трубы). Функция qm понимается в смысле , (2) например для m=2 q2. sign(q) для m=17/9 q17/9 , т.к. сигнатуру можно опустить. Кроме того будем использовать обратную функцию: (3) определенную как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента. Разделим уравнение (1) на Dx и устремим Dx к нулю: (4) Продифференцировав поток q(x), найдем плотность расходов от водоразборных кранов: , причем f(x) < 0 (5) После проведенной предварительной подготовки необходимо, для начала, найти функцию сопротивления труб k(x). Для этого необходим массив измерений P1, P2, Q1, Q2, p1, p2 … pk для различных моментов времени. Данную задачу можно рассмотреть как задачу оптимизации функции k(x) при условии минимума максимума f(x) по х для всех моментов времени, т.е. сначала принимаем f(x) за постоянную величину, тогда уравнение (5) при граничных условиях q(0) = Q1 ; q(1) = -Q2 имеет решение: , где (6)
Из уравнения (4) находим : (7) Для того, чтобы знаменатель обращался в ноль вместе с числителем ( т.е. функция k(x) была всюду положительной), найдем функцию р(х) в виде , где (8) U(x) – многочлен степени k. k+1 коэффициент многочлена и постоянную С найдем из k+2 уравнений: р(0) = Р1 р(1) = Р2 р(хj) = pj , j = 1,2,… k. Фактически задача свелась к решению системы уравнений. Но необходимо отметить, что все давления, используемые в уравнениях, измеряются относительно одной и той же высотной отметки, т.е. учитывается географическая высота места, где установлен манометр. Подставляя выражения (6) и (8) в (7) получаем: Таким образом, получили функцию сопротивления труб k(x) в виде многочлена степени k (для одного момента времени). Для нескольких моментов времени предлагается найти k(x) аналогично, а затем усреднить полученные многочлены k-й степени путем усреднения коэффициентов при одинаковых степенях. Полученная таким образом k(x) обеспечит минимальную вероятность того, что при нахождении функции f(x), потока q(x) в трубах и плотности расхода f(x), для известного k(x) по одному измерению P1,P2, Q1, Q2, p1, p2, … pk, и нахождении расхода на участке (х1,х2), путем вычисления разности (q(x2) – q(x1)), плотность расхода будет положительной. Так как функция сопротивления труб k(х) мало меняется во времени, то находить ее можно достаточно редко, например, для проверки засорения труб. Таким образом используя выражение (4) и результаты одного измерения определим р(х). По типовому виду функции р(х), представленной на рис.3, видим, что она имеет минимум в некоторой точке х = а. Следовательно, производная в этой точке равна нулю. Если корень производной простой (однократный), то это приведет к разрыву f(x). Действительно, для однократного корня производную p’(x) можно представить в виде: , где j (x) - положительная функция. Подставим ее в уравнение (4): , или Из уравнения (5) тогда видим: Таким образом, f(x) имеет разрыв в точке х = а. Графики этих функций показаны на рис.4 (заштрихован полный расход Q1 + Q2). Т.о. кратность корня p’(x) должна быть равна m. Если это так, то будет разрыв f(x), а если больше, то в точке х = а f(x)=0. Необходимую кратность корня обеспечивает вид (8), где степень понимается в смысле (2). С учетом сигнатуры уравнение (8) можно переписать в виде: (9) для некоторых m, например m=17/9, модуль можно опустить. Для определения неизвестных коэффициентов, входящих в (9), имеем k+4 условий, соответствующих результатам одного измерения. Запишем эти условия, используя уравнение (4) (10) Неизвестными являются а, С и коэффициенты многочлена U(x). Всего неизвестных k+4, следовательно, U(x) должен иметь степень k+4. Благодаря параметру а, система условий (10) приводит к нелинейной системе уравнений, поэтому необходимо указать способ решения этой системы. Из уравнения (9) получим: , где (11) (12) Запишем последние два условия (10) с учетом (11)
, и поделив находим а : (13)
Перепишем (10) более полно: (14) Для известного а система (14) представляет собой линейную систему k+3алгебраических уравнений с k+3 неизвестными. Предлагается следующий алгоритм решения системы (14) и (13): приняв и , находим по формуле (13) а в первом приближении: a) b) Полученное значение подставляем в систему (14) и решаем ее как линейную систему. c) Получив коэффициенты многочлена U(x), находим по формуле (12) и , подставляем в (13) и находим уточненное значение а . d) Повторяем несколько раз пункты b) и c). Получив значение параметров а, С и коэффициентов многочлена U(x), по формуле (9) можно найти значение функции р(х) в любой точке системы. А теперь нам остается для известного k(x) и р(х) найти зависимость (15) Для этого находим зависимость Dp (x) при условии Dp(0) = DP1 Dp (L) = 0 затем при условии Dp(0) = 0 Dp (L) = DP2 Итак, найдем зависимость (15) изменения давления в критических точках при изменении давления в насосах. Функцию р(х), полученную выше, можно рассматривать как решение системы дифференциальных уравнений (4) и (5): (16) при граничных условиях: (17) (функции k(x) и f(x) считаем известными), т.е. как решение краевой задачи. Пусть давление Р2 получило приращение D P2 , а Р1, k(x) и f(x) не изменились (т.к. мы решаем задачу для данного момента времени, то f(x) считается неизменной). Тогда переменные h и q получат приращения Dp(x) и Dq(x) соответственно. Запишем новую краевую задачу: (18) (19) Лианиризуем уравнения и вычитаем из (18) (16): (20) (21) Используя граничные условия (19) найдем неизвестное
и подставим в выражение (21), тогда: (22) Типичный вид этой зависимости показан на рис.4. Рис. 3 Рис. 4 Аналогично получаем решение уравнений (20) для краевых условий: Dp(0) = DP1 Dp(L) = 0 , тогда (23) Преобразуем подынтегральную функцию через функцию j(x), которая выражается через U(x) по формуле (12). Из уравнения (16) и (11): Обозначим:
(24) где
а коэффициенты многочлена U(x) были определены ранее. С учетом обозначения (24), искомая зависимость изменения давлений в j-ой контрольной точке от изменения давления в насосах DP1 и DP2 будет иметь вид: (25)
Интегралы и вычисляются численным методом по формуле (24), которая для наиболее распространенного случая принимает вид: Из выражения (25) видно, что если DP1=DP2=Dp , то и Dpj= Dp. Т.е. график зависимости р(х) смещается вверх на постоянную величину Dp , что согласуется с физическими соображениями. Коэффициенты искомой зависимости (15): и На рис.5 показаны графики, где сплошной линией обозначено V1, а пунктиром V2. Можно заметить, что в точке х = b графики пересекаются, что соответствует одинаковому влиянию насосов на давление в это точке. Если интересующая нас точка, например xj, находится правее точки b, то решающее значение для нее имеет давление во втором насосе. И соответственно наоборот для точек левее точки b. Рис. 5
Таким образом зная давление в насосах Р1 и Р2 и в ходе проведенного измерения получив массив измерений Q1 , Q2, р1…..рk , по выше приведенным формулам определяем функцию сопротивления труб k(x) и значения параметров а, С и коэффициентов многочлена U(x). Определив данные значения всего один раз, в дальнейшем можно пользоваться математической зависимостью(25) изменения давления в произвольной точке от изменений давлений в насосах.
Публикации с ключевыми словами: водоснабжение, управление, сеть городского водоснабжения, насосные станции, потребление воды Публикации со словами: водоснабжение, управление, сеть городского водоснабжения, насосные станции, потребление воды Смотри также: Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|