Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Математическая модель одномерной сети водоснабжения

#12 декабрь 2007

Математическая модель одномерной сети водоснабжения

Боровик И.Г.

Янов И.О.

Современное состояние и быстрое изменение структуры систем городских водопроводов, увеличение числа используемых одновременно источников водоснабжения, насосных станций и регулирующих емкостей требуют совершенствования методов расчета систем подачи и распределения воды. Проблема также заключается и в старении труб, что влечет за собой изменение их сопротивления, не учтенное при начальном расчете системы водоснабжения. Возникает вопрос управления работой такой сети, который для начала сводится к получению математической модели сети водоснабжения.

Рассмотрим схему обычной городской водопроводной сети: имеется несколько насосных станций, питающих сеть, которая в свою очередь состоит из трубопроводов, соединяющихся в узловых точках. Некоторые из узловых точек являются контрольными. Они расположены таким образом, что определенное значение давления воды в них обеспечивает необходимое давление во всей водопроводной сети. Давление в отдельно взятой контрольной точке зависит от давлений во всех насосах сети, а также от уровня расходов воды, которые носят случайный характер.

Для построения математической модели такой сети водоснабжения необходимо найти математическую модель отдельно взятого участка сети, т.е. рассмотрим одномерную сеть с двумя насосами (точки А1 и А2) и несколькими датчиками давления в контрольных точках Вj (рис.1). Давление в насосах обозначим Р1 и Р2 ,а расходы в них Q1 и Q2  соответственно. Давление в контрольных точках обозначим Рj , а вдоль всей оси нашей сети расположим водозаборные краны с расходами qj или q1,q2, … qk. Эти расходы неизвестны и постоянно меняются, что влечет за собой изменение влияния давлений в насосах на давления в контрольных точках, что и является главной зависимостью при построении модели сети.

Рис. 1 Одномерная сеть

                                                                 

 

Рис. 2 Распределение давления в одномерной сети

 

Для вывода уравнений предположим, что давление в каждой точке сети есть функция р(х). При этом основное гидравлическое уравнение движения воды в стационарном режиме запишется как:

                                                                                                              (1)

Dp - изменение давления на трубе длиной Dx ;

 q  - поток воды через трубу;

 m - постоянная, зависящая от состояния труб (около 2);

 k  - коэффициент, зависящий от сечения трубы (коэффициент сопротивления трубы).

Функция qm понимается в смысле

                                                        ,                                                                                                                  (2)

например    для    m=2     q2. sign(q)

                     для m=17/9   q17/9 , т.к. сигнатуру можно опустить.

Кроме того будем использовать обратную функцию:

                                                               (3)

определенную как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента.

Разделим уравнение (1) на    Dx   и устремим  Dx   к нулю:

                                                                                                                 

                                                                                                                   

          (4)

            Продифференцировав поток q(x), найдем плотность расходов от водоразборных кранов:       

, причем  f(x) < 0                      

               (5)

             После проведенной предварительной подготовки необходимо, для начала, найти функцию сопротивления труб k(x). Для этого необходим массив измерений P1, P2, Q1, Q2, p1, p2pk   для различных моментов времени. Данную задачу можно рассмотреть как задачу оптимизации функции k(x) при условии минимума  максимума  f(x) по х для всех моментов времени, т.е. сначала принимаем f(x) за постоянную величину, тогда уравнение (5) при граничных условиях q(0) = Q1 ; q(1) = -Q2 имеет решение:

                   , где                                   (6)

                                                                                                                              

         Из уравнения (4) находим :

                                                                                                                            

(7)

            Для того, чтобы знаменатель обращался в ноль вместе с числителем ( т.е. функция k(x) была всюду положительной), найдем функцию р(х) в виде

                                      , где                                                           (8)

                                           U(x) – многочлен степени k.

k+1 коэффициент многочлена и постоянную С найдем из k+2 уравнений:

р(0) = Р1

р(1) = Р2

                        р(хj) = pj ,           j = 1,2,… k.

Фактически задача свелась к решению системы уравнений. Но необходимо отметить, что все давления, используемые в уравнениях, измеряются относительно одной и той же высотной отметки, т.е. учитывается географическая высота места, где установлен манометр.

Подставляя выражения (6) и (8) в (7)  получаем:

Таким образом, получили функцию сопротивления труб k(x) в виде многочлена степени k (для одного момента времени). Для нескольких моментов времени предлагается найти k(x) аналогично, а затем усреднить полученные многочлены k-й степени путем усреднения коэффициентов при одинаковых степенях. Полученная таким образом k(x) обеспечит минимальную вероятность того, что при нахождении функции f(x), потока q(x) в трубах и плотности расхода f(x), для известного k(x) по одному измерению P1,P2, Q1, Q2, p1, p2, … pk,  и нахождении расхода на участке (х1,х2), путем вычисления  разности (q(x2) – q(x1)),  плотность расхода будет положительной.

Так как функция сопротивления труб k(х) мало меняется во времени, то находить ее можно достаточно редко, например, для проверки засорения труб.

Таким образом используя выражение (4) и результаты одного измерения определим р(х). По типовому виду функции р(х), представленной на  рис.3, видим, что она имеет минимум в некоторой точке х = а. Следовательно, производная в этой точке равна нулю. Если корень производной простой (однократный), то это приведет к разрыву f(x). Действительно, для однократного корня производную p’(x) можно представить в виде:

                        , где

                                                               j (x)   -    положительная функция.

Подставим ее в уравнение (4):

                                                                   , или

Из уравнения (5) тогда видим:

Таким образом, f(x) имеет разрыв в точке х = а. Графики этих функций показаны на рис.4 (заштрихован полный расход Q1 + Q2). Т.о. кратность корня  p’(x) должна быть равна m. Если это так, то будет разрыв f(x), а если больше, то в точке х = а  f(x)=0. Необходимую кратность корня обеспечивает вид (8), где степень понимается в смысле (2). С учетом сигнатуры уравнение (8) можно переписать в виде:

                                                                         (9)

для некоторых m, например m=17/9, модуль можно опустить.

Для определения неизвестных коэффициентов, входящих в (9), имеем k+4 условий, соответствующих результатам одного измерения. Запишем эти условия, используя уравнение (4)

                                                                                                (10)

Неизвестными являются а, С и коэффициенты многочлена U(x). Всего неизвестных k+4, следовательно, U(x) должен иметь степень k+4. Благодаря параметру а, система условий (10) приводит к нелинейной системе уравнений, поэтому необходимо указать способ решения этой системы.

Из уравнения (9) получим:

              , где                                                            

(11)

                                                                              (12)

            Запишем последние два условия (10) с учетом (11)

    

 и поделив                  

            находим а :                

 (13)

                                  

            Перепишем (10) более полно:

                                                                                   (14)

Для известного а система (14) представляет собой линейную систему k+3алгебраических уравнений с k+3 неизвестными.

Предлагается следующий алгоритм решения системы (14) и (13): приняв    и    ,  находим по формуле (13) а  в первом приближении:

a)                                         

b)     Полученное значение подставляем в систему (14) и решаем ее как линейную систему.

c)      Получив коэффициенты многочлена U(x), находим по формуле (12)   и    , подставляем в (13) и находим уточненное значение а .

d)     Повторяем несколько раз пункты b) и c).

Получив значение параметров а, С и коэффициентов многочлена U(x), по формуле (9) можно найти значение функции р(х) в любой точке системы.

А теперь нам остается для известного k(x) и р(х) найти зависимость

                                                                                                  (15)

Для этого находим зависимость   Dp (x)    при условии

Dp(0) =  DP1                                 

Dp (L) = 0                                  

затем при условии                    

Dp(0) =  0                                  

Dp (L) = DP2                              

Итак, найдем зависимость (15) изменения давления в критических точках при изменении давления в насосах.

Функцию р(х), полученную выше, можно рассматривать как решение системы дифференциальных уравнений (4) и (5):

                                                                                                      (16)

при граничных условиях:

                                                                                                               

(17)

(функции k(x) и f(x) считаем известными), т.е. как решение краевой задачи.

Пусть давление Р2 получило приращение  D P2 , а Р1, k(x) и f(x) не изменились (т.к. мы решаем задачу для данного момента времени, то f(x) считается неизменной).

Тогда переменные h и q получат приращения Dp(x) и Dq(x) соответственно. Запишем новую краевую задачу:

                                                                              (18)

                                                                                                               (19)

Лианиризуем уравнения и вычитаем из (18) (16):

                                                 

                            (20)

                                                 

                        (21)

Используя граничные условия (19) найдем неизвестное

                                                 

и подставим в выражение (21), тогда:

                                                                                  (22)

Типичный вид этой зависимости показан на рис.4.

Рис. 3

Рис. 4

             Аналогично получаем решение уравнений (20) для краевых условий:

                          Dp(0) = DP1

                          Dp(L) = 0 , тогда

                                                                       (23)

Преобразуем подынтегральную функцию через функцию j(x), которая выражается через  U(x) по формуле (12). Из уравнения (16) и (11):

Обозначим:

 

                                          (24)

где

                        

а коэффициенты многочлена U(x) были определены ранее.

С учетом обозначения (24), искомая зависимость изменения давлений в j-ой контрольной точке от изменения давления в насосах    DP1  и DP2  будет иметь вид:

                         (25)

 

Интегралы      и  вычисляются численным методом по формуле (24), которая для наиболее распространенного случая принимает вид:

Из выражения (25) видно, что если  DP1=DP2=Dp , то и Dpj= Dp. Т.е. график зависимости р(х) смещается вверх на постоянную величину Dp , что согласуется с физическими соображениями.

Коэффициенты искомой зависимости (15):

                 и                  

На рис.5 показаны графики, где сплошной линией обозначено V1, а пунктиром V2. Можно заметить, что в точке х = b графики пересекаются, что соответствует одинаковому влиянию насосов на давление в это точке. Если интересующая нас точка, например xj, находится правее точки b, то решающее значение для нее имеет давление во втором насосе. И соответственно наоборот для точек левее точки b.

Рис. 5

 

Таким образом зная давление в насосах Р1 и Р2  и в ходе проведенного измерения получив массив измерений  Q1 , Q2, р1…..рk , по выше приведенным формулам определяем функцию сопротивления труб k(x) и значения параметров а, С и  коэффициентов многочлена U(x). Определив данные значения всего один раз, в дальнейшем можно пользоваться математической зависимостью(25) изменения давления в произвольной точке от  изменений давлений в насосах.

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2024 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)