Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408![]()
Математическое моделирование теплового поля многослойного неоднородного шара при нестационарном режиме
#3 март 2007 УДК 631
Ю.Ф. Курмачев,
В предлагаемой работе строится принципиальная модель распространения тепла в неоднородном шаре, и рассматривается частный случай однородного шара. В частности такую модель можно использовать для расчета теплового поля некоторых семян растений при их обеззараживании на установках ВЧ и СВЧ. Будем рассматривать температурное поле в телах простейшей формы при объемном тепловыделении для случаев, когда внутренние источники теплоты равномерно распределены по всему объему тела. Такого вида задачи решаются при расчете тепловыделяющих элементов атомных реакторов, при нагреве тел за счет внутренней энергии химических реакций, при нагреве тел токами высокой частоты и в других случаях. Из технических задач, требующих расчетной оценки нестационарных режимов теплооб- мена, можно назвать: определение температурного состояния стенок ракетного двигателя твер- дого топлива за период его работы для оценки их надежности; определение времени прогрева деталей до заданной температуры при термообработке; определение температурного поля се- мян при их обработке токами ВЧ, СВЧ и других. При оценке нестационарного режима теплообмена цель расчета состоит в определении температурного состояния тела и количества полученной или отданной телом теплоты за опре- деленный промежуток времени. В качестве примера рассмотрим
однородный шар при одномерном температурном поле, т.к. распространение тепла в
этом случае происходит только по радиусу шара. Задача состоит в определении
температурного поля шара в любой момент времени
где t – температура
рассматриваемой точки,
Безразмерная избыточная температура
Безразмерный радиус шара
Математическая постановка задачи состоит в решении дифференциального уравнения теплопроводности для твердых тел
которое для шара имеет вид:
где
где
Тогда температура в любой точке
шара, отстоящей от центра на расстоянии
Сложная форма тела, неоднородность его теплофизических характеристик, сложный ха- рактер граничных и временных условий однозначности часто не позволяет оценить темпера-турные поля аналитическим методом. Для решения таких задач применяются численные методы расчета температурных полей. При численных методах изучаемое тело разделяется на элементы (слои, парал- лелепипеды, объемные секторы и т.п.), а рассматриваемый отрезок времени – на небольшие периоды. В течение каждого периода времени теплообмен между соседними элементами тела или между поверхностью тела и окружающей средой считается стационарным. Составляя ба-ланс теплоты для каждого элемента тепла, определяется изменение его энтальпии (тепловой функции) за каждый отрезок времени. Последовательный расчет температуры всех элементов позволяет определить температурное поле исследуемого тела при нестационарном режиме. Построим математическую модель
нестационарного теплообмена неоднородного шара. Для этого рассмотрим
многослойный неоднородный шар радиуса Пусть
Рис. 1. Принципиальная схема теплообмена в неоднородном шаре
Рассмотрим задачу распространения
тепла в данном шаре (рис. 1) при постоянной толщине слоя
или
Внешняя
площадь сферы
внутренняя
площадь сферы
Количество тепла, получаемое
Количество тепла, получаемое
Заметим, что для внешнего
Количество тепла, выделяемое
Тогда измерение температуры
Таким образом, температура
Составим тепловой баланс для i-го слоя шара, для упрощения расчетов приняв его однородным.
Количество
тепла, получаемое i-ым слоем от внешнего Количество тепла, получаемое i-ым слоем от внешнего Изменение энтальпии i-го слоя составит где
или после преобразований Отсюда получаем
Согласно первому закону термодинамики
или
Так
как или
Рассмотрим конкретный пример решения задачи определения температурного поля од- нородного шара аналитическим методом и методом предложенной математической модели, ис- пользуя компьютер, а затем сравним полученные результаты. Пусть дан однородный шар: радиус число слоев
шара толщина
слоя плотность удельная
теплоемкость теплоотдача
(к поверхности) теплопроводность
величина
временного шага температура
окружающей среды постоянна и равна температура
шара, а значит, всех его слоев (шар однороден) в момент времени Так как температура шара ниже температуры окружающей среды,
то, естественно, темпе- ратура шара будет постепенно повышаться. Аналитическое
решение предложенной задачи при- ведено в таблице 1 (здесь и далее температура
представлена в град.
Таблица 1 Температурное поле однородного шара (аналитическое решение).
Согласно предложенной математической модели получено приближенное решение вышеуказанной задачи. Полученное тепловое поле шара приведено в таблице 2.
Таблица 2 Температурное поле однородного шара (решение, полученное математическим моделированием нестационарного теплообмена).
Сравнение температурных полей точного и приближенного решений в одинаковых точках шара сведено в таблицу 3.
Таблица 3 Абсолютные разности температур, полученных точным решением и в результате реализации математической модели.
Таблица 4 Относительные погрешности приближенного решения вычисления температур в %.
Максимальная относительная ошибка не превышает 0,03 %. При разбиении шара на 800 слоев точность решения увеличилась на 0,002%, т.е. результат практически не улучшился. Таким образом, оценка результатов вычислений аналитического решения и результатов по при- веденной математической модели позволяет сделать вывод о достаточной адекватности постро- енной математической дискретной модели. Расчет теплового поля по предложенной модели полностью отвечает задаче распре- деления температуры шаровидных семян после обработки токами СВЧ при так называемой «отлежке». В случае однородного шара при отсутствии внутреннего тепловыделения аналитическое решение, как указано выше, существует. Тем не менее, даже совершенные аналитические мето- ды позволяют получить точное решение задач теплопроводности только в простых случаях. Построенная модель позволяет рассчитать температурное поле и для неоднородного объекта при наличии внутренних источников тепловыделения. Более того, при достаточной мощности современных компьютеров появляется возможность построения математических моделей получения температурного поля для тел произвольной геометрии, используя метод конечных элементов.
Литература
1. Болгарский, А.В. и др. Термодинамика и теплопередача. / А.В. Болгарский. – М.: Высшая школа, 1975. – 495 с.
Публикации с ключевыми словами: модель распространени тепла Публикации со словами: модель распространени тепла Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|