Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Математическое моделирование теплового поля многослойного неоднородного шара при нестационарном режиме

#3 март 2007

УДК 519

УДК 631                                                                                

                   

 

Ю.Ф. Курмачев,
кандидат технических наук

 

В предлагаемой работе строится принципиальная модель распространения тепла в неоднородном шаре, и рассматривается частный случай однородного шара. В частности такую модель можно использовать для расчета теплового поля некоторых семян растений при их обеззараживании на установках ВЧ и СВЧ.

Будем рассматривать температурное поле в телах простейшей формы при объемном тепловыделении для случаев, когда внутренние источники теплоты равномерно распределены по всему объему тела. Такого вида задачи решаются при расчете тепловыделяющих элементов атомных реакторов, при нагреве тел за счет внутренней энергии химических реакций, при нагреве тел токами высокой частоты и в других случаях.

Из технических задач, требующих расчетной оценки нестационарных режимов теплооб- мена, можно назвать: определение температурного состояния стенок ракетного двигателя твер- дого топлива за период его работы для оценки их надежности; определение времени прогрева деталей до заданной температуры при термообработке; определение температурного поля се- мян при их обработке токами ВЧ, СВЧ и других.

При оценке нестационарного режима теплообмена цель расчета состоит в определении температурного состояния тела и количества полученной или отданной телом теплоты за опре- деленный промежуток времени.

В качестве примера рассмотрим однородный шар при одномерном температурном поле, т.к. распространение тепла в этом случае происходит только по радиусу шара. Задача состоит в определении температурного поля шара в любой момент времени  при заданных начальных условиях. Из курса теплотехники [1] известно аналитическое решение задачи о температурном поле и количестве переданной теплоты в нестационарных условиях теплообмена для сплошного однородного шара радиуса .Пусть- текущий радиус шара. Избыточная температура в любой точке шара на расстоянии R от центра в произвольный момент времени

 

,                                                       (1)

 

где tтемпература рассматриваемой точки, - температура окружающей среды. Для началь-ного момента времени

 

.                                                         (2)

 

Безразмерная избыточная температура

 

 .                                                                          (3)

 

   Безразмерный радиус шара

 

                                                                    (4)

 

    Математическая постановка задачи состоит в решении дифференциального уравнения теплопроводности для твердых тел

 

                                               (5)

 

которое для шара имеет вид:

 

                                                        (6)

 

где  - коэффициент температуропроводности,  - теплопроводность, теплоемкость и плотность шара. Аналитическое выражение, определяющее температурное поле шара имеет вид:

 

                                        (7)

 

где  - число Фурье,  - бесчисленное множество решений корней транс- цендентного уравнения

 

                                                        (8)

 

 - число Био, - коэффициент теплоотдачи к наружной поверхности.

Тогда температура в любой точке шара, отстоящей от центра на расстоянии , в момент времени  равна

 

                                                  (9)

 

Сложная форма тела, неоднородность его теплофизических характеристик, сложный ха- рактер граничных и временных условий однозначности часто не позволяет оценить темпера-турные поля аналитическим методом. Для решения таких задач применяются численные методы расчета температурных полей.

При численных методах изучаемое тело разделяется на элементы (слои, парал- лелепипеды, объемные секторы и т.п.), а рассматриваемый отрезок времени – на небольшие периоды. В течение каждого периода времени теплообмен между соседними элементами тела или между поверхностью тела и окружающей средой считается стационарным. Составляя ба-ланс теплоты для каждого элемента тепла, определяется изменение его энтальпии (тепловой функции) за каждый отрезок времени. Последовательный расчет температуры всех элементов позволяет определить температурное поле исследуемого тела при нестационарном режиме.

Построим математическую модель нестационарного теплообмена неоднородного шара. Для этого рассмотрим многослойный неоднородный шар радиуса , состоящий из слоев. Каждый - ый слой в момент времени  характеризуется внутренним и внешним радиусами  и  соответственно (первый слой имеет внутренний нулевой радиус), температурой , удель- ной теплоемкостью , плотностью , теплопроводностью , влажностью , плотностью теп- ловыделения  (- мощность источника тепловыделения), т.е. количеством теп- ла, выделяемым - ым слоем в единицу времени на единицу объема.

Пусть  - коэффициент теплоотдачи к наружной среде для внешнего -го слоя, - температура окружающей среды, - общее время нагрева шара, - текущее время, - величина временного шага,  - число шагов расчета. Очевидно, что при увеличении чис- ла разбиений на элементы (в данном случае на слои) точность решения увеличивается.

 

 

Рис. 1. Принципиальная схема теплообмена в неоднородном шаре

 

 

Рассмотрим задачу распространения тепла в данном шаре (рис. 1) при постоянной толщине слоя . Объем -го шарового слоя

 

                                          (10)

или

 

                                                             (11)

 

Внешняя площадь сферы -го слоя

 

                                                     (12)

 

внутренняя площадь сферы -го слоя

 

                                           (13)

 

Количество тепла, получаемое -ым слоем от внешнего -го слоя

 

                                            (14)

 

Количество тепла, получаемое -ым слоем от внутреннего -го слоя,

 

                                         (15)

 

Заметим, что для внешнего -го слоя шара количество тепла, получаемое от внешней среды,

 

                                      (16)

 

Количество тепла, выделяемое -ым слоем,

 

                                         (17)

 

Тогда измерение температуры -го слоя за время  составит

 

                                   (18)

 

Таким образом, температура -го слоя в момент времени  будет равна

 

                                                            (19)

 

          Составим тепловой баланс для i-го слоя шара, для упрощения расчетов приняв его однородным.

           

                                           

            Количество тепла, получаемое i-ым слоем от внешнего -го слоя за время ,

                                                              (20)

Количество тепла, получаемое i-ым слоем от внешнего -го слоя за время ,

                                                         (21)

            Изменение энтальпии i-го слоя составит

                                            (22)

где  - температура i-го слоя в момент времени - температура i-го слоя в момент времени . С учетом этих выражений баланс теплоты (22) приводится к виду

или после преобразований

Отсюда получаем

где

 - число Фурье.

Согласно первому закону термодинамики

                                                                                            

или

                                                      (23)

 

 

Так как , то минимальное значение в правой части (23), равное , получается при i=1. Поэтому при выборе периода времени теплопередачи необходимо соблюдать неравенство

или

                                                            (24)

 

Рассмотрим конкретный пример решения задачи определения температурного поля од- нородного шара аналитическим методом и методом предложенной математической модели, ис- пользуя компьютер, а затем сравним полученные результаты.

Пусть дан однородный шар:

радиус = 0,003м;

число слоев шара = 400;

толщина слоя = 0,0000075м;

плотность = 1000

удельная теплоемкость = 1400

теплоотдача (к поверхности)  

теплопроводность

величина временного шага  (условие (24) выполняется)

температура окружающей среды постоянна и равна ;

температура шара, а значит, всех его слоев (шар однороден) в момент времени  равна

Так как температура шара ниже температуры окружающей среды, то, естественно, темпе- ратура шара будет постепенно повышаться. Аналитическое решение предложенной задачи при- ведено в таблице 1 (здесь и далее температура представлена в град. ).

 

Таблица 1

Температурное поле однородного шара (аналитическое решение).

 

Время

(сек)

Кол-во

шагов

Безразмерный радиус

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2

20000

20,01514

20,02937

20,09842

20,31083

20,80853

21,70295

5

50000

20,55379

20,63513

20,89056

21,34716

22,03004

22,94377

15

150000

23,92621

24,01669

24,28644

24,73022

25,39925

26,10145

30

300000

28,12437

28,19138

28,39105

28,71934

29,17061

29,75276

 

Согласно предложенной математической модели получено приближенное решение вышеуказанной задачи. Полученное тепловое поле шара приведено в таблице 2.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

Температурное поле однородного шара (решение, полученное математическим моделированием нестационарного теплообмена).

 

 

Время

(сек)

Кол-во

шагов

Безразмерный радиус

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2

20000

20,01521

20,02922

20,09971

20,30894

20,80453

21,69670

5

50000

20,55390

20,63434

20,88868

21,34409

22,02574

22,93838

15

150000

23,92636

24,0721

24,28557

24,72839

25,39660

26,09807

30

300000

28,12459

28,19177

28,39166

28,72017

29,17158

29,75434

 

Сравнение температурных полей точного и приближенного решений в одинаковых точках шара сведено в таблицу 3.

 

 

 

Таблица 3

Абсолютные разности температур, полученных точным решением и в результате реализации математической модели.

 

Время

(сек)

Кол-во

шагов

Безразмерный радиус

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2

20000

0,00007

0,00015

0,00129

0,00189

0,00400

0,00625

5

50000

0,00011

0,00079

0,00188

0,00307

0,00430

0,00539

15

150000

0,00015

0,00052

0,00087

0,00183

0,00265

0,00338

30

300000

0,00022

0,00039

0,00061

0,00083

0,00097

0,00158

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4

Относительные погрешности приближенного решения вычисления температур в %.

 

 

Время (сек)

Кол-во

шагов

Безразмерный радиус

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2

20000

0,00034

0,00074

0,00642

0,00930

0,01923

0,02881

5

50000

0,00054

0,00383

0,00900

0,01439

0,01953

0,02350

15

150000

0,00062

0,00217

0,00358

0,00740

0,01043

0,01295

30

300000

0,00078

0,00139

0,00215

0,00289

0,00332

0,00531

 

Максимальная относительная ошибка не превышает  0,03 %. При разбиении шара на 800 слоев точность решения увеличилась на 0,002%, т.е. результат практически не улучшился. Таким образом, оценка результатов вычислений аналитического решения и результатов по при- веденной математической модели позволяет сделать вывод о достаточной адекватности постро- енной математической дискретной модели.

Расчет теплового поля по предложенной модели полностью отвечает задаче распре- деления температуры шаровидных семян после обработки токами СВЧ при так называемой «отлежке».

В случае однородного шара при отсутствии внутреннего тепловыделения аналитическое решение, как указано выше, существует. Тем не менее, даже совершенные аналитические мето- ды позволяют получить точное решение задач теплопроводности только в простых случаях.

Построенная модель позволяет рассчитать температурное поле и для неоднородного объекта при наличии внутренних источников тепловыделения. Более того, при достаточной мощности современных компьютеров появляется возможность построения математических моделей получения температурного поля для тел произвольной геометрии, используя метод конечных элементов.

 

Литература

 

1. Болгарский, А.В. и др. Термодинамика и теплопередача. / А.В. Болгарский. – М.: Высшая школа, 1975. – 495 с.

 


Публикации с ключевыми словами: модель распространени тепла
Публикации со словами: модель распространени тепла
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2020 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)