НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 631                                                                                

Ю.Ф. Курмачев,
кандидат технических наук

В предлагаемой работе строится принципиальная модель распространения тепла в неоднородном шаре, и рассматривается частный случай однородного шара. В частности такую модель можно использовать для расчета теплового поля некоторых семян растений при их обеззараживании на установках ВЧ и СВЧ.

Будем рассматривать температурное поле в телах простейшей формы при объемном тепловыделении для случаев, когда внутренние источники теплоты равномерно распределены по всему объему тела. Такого вида задачи решаются при расчете тепловыделяющих элементов атомных реакторов, при нагреве тел за счет внутренней энергии химических реакций, при нагреве тел токами высокой частоты и в других случаях.

Из технических задач, требующих расчетной оценки нестационарных режимов теплооб- мена, можно назвать: определение температурного состояния стенок ракетного двигателя твер- дого топлива за период его работы для оценки их надежности; определение времени прогрева деталей до заданной температуры при термообработке; определение температурного поля се- мян при их обработке токами ВЧ, СВЧ и других.

При оценке нестационарного режима теплообмена цель расчета состоит в определении температурного состояния тела и количества полученной или отданной телом теплоты за опре- деленный промежуток времени.

В качестве примера рассмотрим однородный шар при одномерном температурном поле, т.к. распространение тепла в этом случае происходит только по радиусу шара. Задача состоит в определении температурного поля шара в любой момент времени  при заданных начальных условиях. Из курса теплотехники [1] известно аналитическое решение задачи о температурном поле и количестве переданной теплоты в нестационарных условиях теплообмена для сплошного однородного шара радиуса .Пусть- текущий радиус шара. Избыточная температура в любой точке шара на расстоянии R от центра в произвольный момент времени

,                                                       (1)

где t – температура рассматриваемой точки, - температура окружающей среды. Для началь-ного момента времени

.                                                         (2)

Безразмерная избыточная температура

 .                                                                          (3)

   Безразмерный радиус шара

                                                                    (4)

    Математическая постановка задачи состоит в решении дифференциального уравнения теплопроводности для твердых тел

                                               (5)

которое для шара имеет вид:

                                                        (6)

где  - коэффициент температуропроводности,  - теплопроводность, теплоемкость и плотность шара. Аналитическое выражение, определяющее температурное поле шара имеет вид:

                                        (7)

где  - число Фурье,  - бесчисленное множество решений корней транс- цендентного уравнения

                                                        (8)

 - число Био, - коэффициент теплоотдачи к наружной поверхности.

Тогда температура в любой точке шара, отстоящей от центра на расстоянии , в момент времени  равна

                                                  (9)

Сложная форма тела, неоднородность его теплофизических характеристик, сложный ха- рактер граничных и временных условий однозначности часто не позволяет оценить темпера-турные поля аналитическим методом. Для решения таких задач применяются численные методы расчета температурных полей.

При численных методах изучаемое тело разделяется на элементы (слои, парал- лелепипеды, объемные секторы и т.п.), а рассматриваемый отрезок времени – на небольшие периоды. В течение каждого периода времени теплообмен между соседними элементами тела или между поверхностью тела и окружающей средой считается стационарным. Составляя ба-ланс теплоты для каждого элемента тепла, определяется изменение его энтальпии (тепловой функции) за каждый отрезок времени. Последовательный расчет температуры всех элементов позволяет определить температурное поле исследуемого тела при нестационарном режиме.

Построим математическую модель нестационарного теплообмена неоднородного шара. Для этого рассмотрим многослойный неоднородный шар радиуса , состоящий из слоев. Каждый - ый слой в момент времени  характеризуется внутренним и внешним радиусами  и  соответственно (первый слой имеет внутренний нулевой радиус), температурой , удель- ной теплоемкостью , плотностью , теплопроводностью , влажностью , плотностью теп- ловыделения  (- мощность источника тепловыделения), т.е. количеством теп- ла, выделяемым - ым слоем в единицу времени на единицу объема.

Пусть  - коэффициент теплоотдачи к наружной среде для внешнего -го слоя, - температура окружающей среды, - общее время нагрева шара, - текущее время, - величина временного шага,  - число шагов расчета. Очевидно, что при увеличении чис- ла разбиений на элементы (в данном случае на слои) точность решения увеличивается.

Рис. 1. Принципиальная схема теплообмена в неоднородном шаре

Рассмотрим задачу распространения тепла в данном шаре (рис. 1) при постоянной толщине слоя . Объем -го шарового слоя

                                          (10)

или

                                                             (11)

Внешняя площадь сферы -го слоя

                                                     (12)

внутренняя площадь сферы -го слоя

                                           (13)

Количество тепла, получаемое -ым слоем от внешнего -го слоя

                                            (14)

Количество тепла, получаемое -ым слоем от внутреннего -го слоя,

                                         (15)

Заметим, что для внешнего -го слоя шара количество тепла, получаемое от внешней среды,

                                      (16)

Количество тепла, выделяемое -ым слоем,

                                         (17)

Тогда измерение температуры -го слоя за время  составит

                                   (18)

Таким образом, температура -го слоя в момент времени  будет равна

                                                            (19)

          Составим тепловой баланс для i-го слоя шара, для упрощения расчетов приняв его однородным.

            Количество тепла, получаемое i-ым слоем от внешнего -го слоя за время ,

                                                              (20)

Количество тепла, получаемое i-ым слоем от внешнего -го слоя за время ,

                                                         (21)

            Изменение энтальпии i-го слоя составит

                                            (22)

где  - температура i-го слоя в момент времени - температура i-го слоя в момент времени . С учетом этих выражений баланс теплоты (22) приводится к виду

или после преобразований

Отсюда получаем

где

 - число Фурье.

Согласно первому закону термодинамики

или

                                                      (23)

Так как , то минимальное значение в правой части (23), равное , получается при i=1. Поэтому при выборе периода времени теплопередачи необходимо соблюдать неравенство

или

                                                            (24)

Рассмотрим конкретный пример решения задачи определения температурного поля од- нородного шара аналитическим методом и методом предложенной математической модели, ис- пользуя компьютер, а затем сравним полученные результаты.

Пусть дан однородный шар:

радиус = 0,003м;

число слоев шара = 400;

толщина слоя = 0,0000075м;

плотность = 1000

удельная теплоемкость = 1400

теплоотдача (к поверхности)  

теплопроводность

величина временного шага  (условие (24) выполняется)

температура окружающей среды постоянна и равна ;

температура шара, а значит, всех его слоев (шар однороден) в момент времени  равна

Так как температура шара ниже температуры окружающей среды, то, естественно, темпе- ратура шара будет постепенно повышаться. Аналитическое решение предложенной задачи при- ведено в таблице 1 (здесь и далее температура представлена в град. ).

Таблица 1

Температурное поле однородного шара (аналитическое решение).

Согласно предложенной математической модели получено приближенное решение вышеуказанной задачи. Полученное тепловое поле шара приведено в таблице 2.

Таблица 2

Температурное поле однородного шара (решение, полученное математическим моделированием нестационарного теплообмена).

Сравнение температурных полей точного и приближенного решений в одинаковых точках шара сведено в таблицу 3.

Таблица 3

Абсолютные разности температур, полученных точным решением и в результате реализации математической модели.

Таблица 4

Относительные погрешности приближенного решения вычисления температур в %.

Максимальная относительная ошибка не превышает  0,03 %. При разбиении шара на 800 слоев точность решения увеличилась на 0,002%, т.е. результат практически не улучшился. Таким образом, оценка результатов вычислений аналитического решения и результатов по при- веденной математической модели позволяет сделать вывод о достаточной адекватности постро- енной математической дискретной модели.

Расчет теплового поля по предложенной модели полностью отвечает задаче распре- деления температуры шаровидных семян после обработки токами СВЧ при так называемой «отлежке».

В случае однородного шара при отсутствии внутреннего тепловыделения аналитическое решение, как указано выше, существует. Тем не менее, даже совершенные аналитические мето- ды позволяют получить точное решение задач теплопроводности только в простых случаях.

Построенная модель позволяет рассчитать температурное поле и для неоднородного объекта при наличии внутренних источников тепловыделения. Более того, при достаточной мощности современных компьютеров появляется возможность построения математических моделей получения температурного поля для тел произвольной геометрии, используя метод конечных элементов.

Литература

1. Болгарский, А.В. и др. Термодинамика и теплопередача. / А.В. Болгарский. – М.: Высшая школа, 1975. – 495 с.