Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408![]()
О движении твёрдого тела с криогенной жидкостью
# 12, декабрь 2013 DOI: 10.7463/1213.0627898
Файл статьи:
![]() УДК 531.38 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
Введение. Движение твёрдого тела с полостью наполненной однородной несжимаемой жидкостью и движений самой жидкости в подвижном твёрдом теле исследовалось такими известными учёными как Жуковский Н.Е. [1], Слудский Ф.А. [2], Хаф [3], Пуанкаре [4]. Особый интерес к подобной задаче возник в 50-ом годы прошлого столетия, в связи с развитием ракетно-космической техники, о чем свидетельствуют работы [5], [6], [7], [8], с полостями наполненными однородной жидкостью. Широкое исследование криогенных жидкостей в ракетно-космическом технике стимулировало появлении новых работ по движении твёрдых тел с полостями заполненными неоднородной несжимаемой жидкостью [9], [10]. В недавней работе [11] рассмотрены вопросы взаимодействия неоднородной (стратифицированной) жидкости с твёрдым телом, совершающим малые периодические движения. В данной статье приведены результаты исследование инерционных характеристик твёрдого тела с неоднородной жидкостью полностью или частично заполняющей цилиндрическую полость и совершающей квазипотенциальное движение. Основная часть статьи состоит из 4-ох пунктов. В 1-ом пункте приведена постановка задачи о влиянии воздействия жидкости на твёрдое тело, в следующем показан физический смысл квазипотенциала скоростей, в 3-ем приведен анализ движения твёрдого тела, а в последнем пункте решена задача об определении квазипотенциала скоростей неоднородной жидкости с заданным законом изменения плотности и приведены результаты расчётов инерционных характеристики.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение твердого тела с полостью произвольной конфигурации, полностью заполненной неоднородной несжимаемой жидкостью. Введем подвижную систему
где Выражение для где
здесь Из уравнений (3), (4) видно, что для определения векторов
2. Квазипотенциал скоростей неоднородной жидкости. Под квазипотенциальным движением будем понимать такое движение неоднородной жидкости, при котором
где Равенство (5) является необходимым и достаточным условием [13] существования скалярной функции
где Сделанные предложения позволяют значительно упростить исследование динамики твердого тела с жидкостью, сохраняя особенности движения, присущие неоднородной жидкой массе. Поясним физический смысл квазипотенциала. С этой целью рассмотрим уравнение движения и уравнение неразрывности неоднородной жидкости Пусть к жидкости приложены мгновенные силы с интенсивностью Приняв за момент Учитывая, что за малый промежутки времени плотность частиц жидкости не успевает изменится, имеем Далее проинтегрируем по малому промежутку где
Если мгновенные силы отсутствуют, то движения могут возникать при изменении состояния жидкости. В частном случае, если неоднородная жидкость находилась в состоянии покоя причем кинематические состояние жидкости будет вихревым Из приведённых соотношений следует, что с точностью до константы квазипотенциал скоростей неоднородной жидкости можно отождествить с импульсом мгновенных давлений приводящего к возникновению вихревого движения жидкости. Сформулируем краевую задачу для нахождения функции
где Функции
где: Используя представление (9) и уравнение (7), получим следующие краевые задачи Неймана для функций
Сделаем несколько предположений относительно характера величин, входящих в задачи (10), (11). Будем считать область односвязной, областью с достаточной гладкой границей S. Из физических соображений функций
3. Анализ уравнений движения твердого тела с неоднородной жидкостью. Считая функции
и заменим в формулах (3),(4) вектор скорости Используя формулу Гаусса-Остроградского, граничные условия (10), (11) и формулу Грина
(
где
где
где
уравнения движения (1), (2) запишутся в следующем виде:
где
Формулы (17) – (21) позволяют рассмотреть и частный случай, когда плотность частиц постоянна и движение жидкости безвихревое. При этом краевые задачи для функций Из уравнений движения (15) – (16) также следует, что при приложении в центре масс системы к твердому телу, система не будет совершать поступательное движение коллинеарное вектору действия силы. Допустим, что к твердому телу с неоднородной жидкостью приложена такая система сил, при действии которой рассматриваемая механическая система будет совершать только поступательное движение. Тогда отличие от соответствующего движения твердого тела с однородной жидкостью будет состоять в том, что инерционные характеристики системы при приложении совокупности сил, компланарной одной из плоскостей Указания анизотропность инерционных характеристик системы тело – неоднородная жидкость, а также существование тензоров
Применим к обеим частям равенства (22) операцию
т.е. вихрь относительно скорости жидкости оказывается отличен от нуля при поступательном движении твердого тела. Пусть теперь к твердому телу с жидкостью приложена система сил, в результате действия которой твердое тело получает только вращательное движение вокруг некоторой точки, остающейся неподвижной в пространстве. Относительный вихрь скоростей частиц жидкости выразится формулой
или
в то время как частицы однородной жидкости в их относительном движении имеют угловую скорость, равную и противоположную вращению тела. Таким образом, различная плотность частиц жидкости порождает отличное от нуля поле абсолютных угловых скоростей частиц, что в сумме и приводит к анизотропии инерционных характеристик твердого тела с неоднородной жидкой массой. Причиной образования вихревого движения жидкости, как следует из равенства (23), (24) является пересечение поверхностей равной плотности с поверхностями квазипотенциала скоростей. Если форма полости твердого тела, изменение плотности жидкости
4. Инерционные характеристики твердого тела с цилиндрической полостью, наполненной жидкостью, совершающей квазипотенциальное движение В качестве примера рассмотрим движение твердого тела, имеющего цилиндрическую полость радиуса r0, заполненную криогенной жидкостью глубиной H с экспоненциальным распределением плотности вдоль оси OX3(r0 = r0(x3)). Ограничимся рассмотрением движения твердого тела в плоскости X10X3 так что Для функций F1, Y2 имеем краевые задачи, записанные в цилиндрической системе координат (r, h, X3)
1. Для твердого тела с полностью заполненной полостью
2. Для твердого тела, имеющего полость, частично заполненную жидкостью
Решение обеих задач ищем в виде:
Функции
где
Теперь воспользуемся полученными выше выражениями для величин Z, m, m, J, h0 и оценим влияние подвижности жидкости на "сопротивление" движению тела в плоскости X10X3 Введем безразмерные тензоры:
где r0 – характерный размер полости. При движении твердого тела с цилиндрической полостью только в плоскости X10X3 вместо тензоров (34) будем иметь.
Вычисляя входящие в (35) величины по формулам (19) - (21), получим:
где:
Для твердого тела, имеющего полость, частично заполненную жидкостью, интегралы I1, I2, I0 вычисляются по тем же формулам, с заменой Из рис. 1 для величины
Рис. 1: Изменение
При наличии у жидкости свободной поверхности увеличение глубины заполнения приводит наоборот к увеличению величины На рис. 2 дан график величины
Рис. 2: Изменение
Под центром инерции здесь понимается такая точка системы тело - жидкость, при приложении в которой некоторой силы F твердое тело будет совершать поступательное движение в направлении действия приложенной силы, а при действии момента твердое тело будет совершать вращательное движение вокруг оси, проходящей через эту точку. Из характера распределения
Рис. 3: Изменение
Наличие свободной поверхности и изменение параметра Зависимости
Рис. 4: Изменение
На рис. 5 представлен график относительного момента инерции жидкости при вращении вокруг оси, проходящей через центр инерции жидкости, отнесённый к моменту инерции затвердевшей жидкости, при вращении вокруг оси 0X1. Роль свободной поверхности здесь также невелика и не вносит качественных изменений в поведении момента инерции
Рис. 5: Изменение
Заключение. Из изложенного видно, что движение твердого тела с полостью, целиком заполненной неоднородной жидкостью, отличается от случая, рассмотренного Жуковским Н.Е. в работе [1] о движении твердого тела с однородной жидкостью. Механический эффект неоднородной жидкой массы, совершающей квазипотенциальное движение в полностью наполненном сосуде, будет эквивалентен действию «затвердевшей» жидкой массы и твердого тела, обладающего количеством движения Полученные в статье теоретические результаты в виде уравнений движения и приведённый пример отчётливо показывают отличие инерционных характеристик твёрдого тела с криогенной жидкостью от случая движения тела с однородной жидкостью.
Список литературы 1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 2. Слудский Ф.А. De la rotation de la terre suppose fluide a son interieus // Bulletin de la Societe des naturalists de Moscow. 1895. Vol. IX. P. 285-318. 3. Houqh S.S. The Oscillations of a Rotating Ellipsoidal Shell containing Fluid // Philosophical Transactions of the Royal Soc. of London (A). 1895. Vol. 186, pt. 1. P. 469-506. 4. Poincare H. Sur la precession des corps deformables // Bulletin Astronomique. 1910. Vol. XXVII. P. 321-356. 5. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 232 с. 6. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 520 с. 7. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. 416 с. 8. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость /АН УССР, Ин-т математики. Киев: Наукова думка, 1990. 296 с. 9. Ганичев А.И., Качура В.П., Темнов А.Н. Малые колебания двух несмешивающихся жидкостей в подвижном сосуде // В кн.: Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск: НЭТИ, 1974. С. 82-88. 10. Темнов А.Н. Уравнения движения твердого тела с неоднородной жидкостью, совершающей квазипотенциальное движение // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана № 442. Динамика гидроупругих систем / под ред. К.С. Колесникова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1985. 11. Ай Мин Вин, Темнов А.Н. О движении стратифицированной жидкости в полости подвижного твёрдого тела // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. Спец. вып. С. 86-101. 12. Моисеев Н.К., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука,1966. 440 с. 13. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5 т. Т. 2. М.: Наука, 1974. 656 с. 14. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В 2 ч. Ч. 1. М.: Физматгиз, 1963. 584 с. 15. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М.: Машиностроение, 1977. 203 с. 16. Моисеев Н.Н. Вариационные задачи теории колебаний жидкости и тела с жидкостью // Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью: сб. статей. М.: ВЦ АН СССР, 1962. С. 7-118. 17. Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика: учеб. пособие для вузов. М.: Физимтлит, 2010. 520 с. 18. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 1. С. 3-20. 6, т. 20, вып. I, Page 3-20. Публикации с ключевыми словами: момент количества движения, центр масс, моменты инерции, криогенная жидкость, квазипотенциал скоростей, количество движения Публикации со словами: момент количества движения, центр масс, моменты инерции, криогенная жидкость, квазипотенциал скоростей, количество движения Смотри также: Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|