НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 531.38

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

ayeminwin84@gmail.com

antt45@mail.ru

Введение. Движение твёрдого тела с полостью наполненной однородной несжимаемой жидкостью и движений самой жидкости в подвижном твёрдом теле исследовалось такими известными учёными как Жуковский Н.Е. [1], Слудский Ф.А. [2], Хаф [3], Пуанкаре [4]. Особый интерес к подобной задаче возник в 50-ом годы прошлого столетия, в связи с развитием ракетно-космической техники, о чем свидетельствуют работы [5], [6], [7], [8], с полостями наполненными однородной жидкостью.

  Широкое исследование криогенных жидкостей в ракетно-космическом технике стимулировало появлении новых работ по движении твёрдых тел с полостями заполненными неоднородной несжимаемой жидкостью [9], [10]. В недавней работе [11] рассмотрены вопросы взаимодействия неоднородной (стратифицированной) жидкости с твёрдым телом, совершающим малые периодические движения. В данной статье приведены результаты исследование инерционных характеристик твёрдого тела с неоднородной жидкостью полностью или частично заполняющей цилиндрическую полость и совершающей квазипотенциальное движение.

Основная часть статьи состоит из 4-ох пунктов. В 1-ом пункте приведена постановка задачи о влиянии воздействия жидкости на твёрдое тело, в следующем показан физический смысл квазипотенциала скоростей, в 3-ем приведен анализ движения твёрдого тела, а в последнем пункте решена задача об определении квазипотенциала скоростей неоднородной жидкости с заданным законом изменения плотности и приведены результаты расчётов инерционных характеристики.

1. Постановка задачи.       Рассмотрим движение твердого тела с полостью произвольной конфигурации, полностью заполненной неоднородной несжимаемой жидкостью.

Введем подвижную систему , жестко связанную с твердым телом, с началом в т.О, совпадающей с центром масс твердого тела. Определим движение твердого тела при помощи вектора скорости  точки Oи вектора угловой скорости вращения . Запишем уравнения движения твердого тела при наличии жидкости в полости [12]

где  и  – количество движения и кинетический момент твердого тела; , ,  и  – главные векторы и главные моменты относительно т. О активных сил, приложенных к точкам твердого тела, и сил давлений жидкости. 

Выражение для  и  получим, используя уравнения гидродинамики идеальной  жидкости, записанные  в  подвижной системе  координат

где  – вектор абсолютной  скорости  частиц  жидкости

 – вектор относительной   скорости  частиц  жидкости,

  –  радиус  вектор   какой  либо  точки системы  относительно  точки О, 

  – плотность и давление    частиц  жидкости,

 – вектор интенсивности поля внешних сил.

здесь  – область, занимаемая жидкостью.

          Из уравнений (3), (4) видно, что для определения векторов  и  необходимо знать движение жидкости в полости твердого тела, т.е. решить гидродинамическую задачу – найти  поле скоростей  жидкости – .

2. Квазипотенциал скоростей неоднородной жидкости.

Под квазипотенциальным движением будем понимать такое движение неоднородной жидкости, при котором  , но выполняется условие

где  – скорость частиц жидкости.

Равенство (5) является необходимым и достаточным условием [13] существования скалярной функции , называемой в дальнейшем квазипотенциалом скоростей неоднородной жидкости. Скорость частиц жидкости тогда может быть выражено формулой

где  – известное поле плотностей жидкости.

Сделанные предложения позволяют значительно упростить исследование динамики твердого тела с жидкостью, сохраняя особенности движения, присущие неоднородной жидкой массе.

Поясним  физический  смысл  квазипотенциала. С этой целью рассмотрим уравнение  движения и уравнение неразрывности неоднородной  жидкости

Пусть к жидкости  приложены  мгновенные силы с интенсивностью , действующие в течение очень малого времени  и порождающие большие  градиенты  давления  [14]. Уравнение  движения жидкости  тогда приобретёт  вид

Приняв за момент  начало действия мгновенных сил, проинтегрируем сначала уравнение неразрывности от  до .

Учитывая, что за малый промежутки времени плотность частиц жидкости не успевает изменится, имеем

Далее проинтегрируем по малому промежутку  уравнение движения, принимая во внимание малость импульса обычных сил по сравнению с импульсом мгновенных сил

где ,  – скорости одной и той же частицы до начала и после действия мгновенных сил,

– импульс мгновенных сил,  – импульс мгновенных давлений.

Если мгновенные силы отсутствуют, то движения могут возникать при изменении состояния жидкости. В частном случае, если неоднородная жидкость находилась в состоянии покоя  , то при мгновенном изменении этого состояния получим

причем кинематические состояние жидкости будет вихревым

Из приведённых соотношений следует, что с точностью до константы квазипотенциал скоростей неоднородной жидкости можно отождествить с импульсом мгновенных давлений

приводящего к возникновению  вихревого движения жидкости.

Сформулируем краевую задачу для нахождения функции  в случае когда жидкость заполняет полость твёрдого тела, внезапно пришедшего в движение

где  – орт внешней нормали к границе S области ,  – оператор Гамильтона.

Функции  будем искать в виде [15÷18]

где:  ;    – векторные функции, компоненты которых и  являются единичными квазипотенциалами абсолютных скоростей жидкости при поступательном движении тела вдоль i– ой оси и вращения вокруг i– ой оси.

Используя представление (9) и уравнение (7), получим следующие краевые задачи Неймана для функций и

Сделаем несколько предположений относительно характера величин, входящих в задачи (10), (11). Будем считать область односвязной, областью с достаточной гладкой границей S. Из физических соображений функций  подчиним условиям:

3. Анализ уравнений движения твердого тела с неоднородной жидкостью. 

Считая функции  и  найденными, составим уравнения движения твердого тела с неоднородной жидкостью, совершающей квазипотенциальное движение. Удобной формой уравнений движения будет являться такая форма, в которой инерционные характеристики системы могут быть рассмотрены в виде суммы инерционных характеристик твердого тела, «затвердевшей» жидкости и добавки, происходящей за счет подвижности жидкости относительно твердого тела [6]. Представим с этой целью вектор в виде:

и заменим в формулах (3),(4) вектор скорости  формулой (6), где функция  определена формулой (9), в которой функция  представляется формулой (13).

Используя формулу Гаусса-Остроградского, граничные условия (10), (11)

и  формулу Грина

(– линейный оператор), после громоздких, но несложных преобразований:

где

где

где  - тензор сопряжённой к тензору ;

уравнения движения (1), (2) запишутся в следующем виде:

,          

,        

где ,    – количество и момент количества «затвердевшей» неоднородной жидкости;

 – тензоры, характеризующие подвижность жидкой массы, причем  – тензоры присоединенной массы и присоединенных моментов инерции жидкости [10].

 – статический момент «затвердевшей» неоднородной жидкости массой m,

 – радиус-вектор центра масс «затвердевшей» неоднородной жидкой массы.

Формулы (17) – (21) позволяют рассмотреть и частный случай, когда плотность частиц постоянна и движение жидкости безвихревое. При этом краевые задачи для функций  переходят при  в задачи Неймана для гармонических функций, называемых потенциалами Жуковского для данной полости. Как видно из выражений (17) – (21) компоненты тензоров  состоят из двух, качественно разных, слагаемых. Первое слагаемое учитывает влияние изменения плотности жидкости на инерционные характеристики системы, последние же слагаемые, как и в случае однородной жидкости, характеризуют воздействие вихревого движения жидкости, возникающего вследствие движения твердого тела.

Из уравнений движения (15) – (16) также следует, что при приложении в центре масс системы к твердому телу, система не будет совершать поступательное движение коллинеарное вектору действия силы. Допустим, что к твердому телу с неоднородной жидкостью приложена такая система сил, при действии которой рассматриваемая механическая система будет совершать только поступательное движение. Тогда отличие от соответствующего движения твердого тела с однородной жидкостью будет состоять в том, что инерционные характеристики системы при приложении совокупности сил, компланарной одной из плоскостей   () оказываются разными.  

Указания анизотропность инерционных характеристик системы тело – неоднородная жидкость, а также существование тензоров  и  можно объяснить возникновением вихревого движения жидкости. Так для относительной скорости частиц жидкости при наличии только поступательного движения полости имеем:

            Применим к обеим частям равенства (22) операцию

т.е. вихрь относительно скорости жидкости оказывается отличен от нуля при поступательном движении твердого тела.   – вихрь абсолютных скоростей частиц жидкости.

Пусть теперь к твердому телу с жидкостью приложена система сил, в результате действия которой твердое тело получает только вращательное движение вокруг некоторой точки, остающейся неподвижной в пространстве. Относительный вихрь скоростей частиц жидкости выразится формулой   

 или

в то время как частицы однородной жидкости в их относительном движении имеют угловую скорость, равную и противоположную вращению тела.

Таким образом, различная плотность частиц жидкости порождает отличное от нуля поле абсолютных угловых скоростей частиц, что в сумме и приводит к анизотропии инерционных характеристик твердого тела с неоднородной жидкой массой. Причиной образования вихревого движения жидкости, как следует из равенства (23), (24) является пересечение поверхностей равной плотности с поверхностями квазипотенциала скоростей.

Если форма полости твердого тела, изменение плотности жидкости  и направление движения тела таковы, что векторное произведение в выражениях (23), (24) равно нулю, то в этих случаях скорости жидкости при поступательном движении твердого тела будут иметь однозначную потенциальную функцию, и движение тела не будет оказывать влияния на ее внутреннее движение.

4. Инерционные характеристики твердого тела с цилиндрической полостью, наполненной жидкостью, совершающей квазипотенциальное движение

В качестве примера рассмотрим движение твердого тела, имеющего цилиндрическую полость радиуса  r₀, заполненную криогенной  жидкостью глубиной  H с экспоненциальным распределением плотности вдоль оси OX₃(r_{0 =} r₀(x₃)). Ограничимся рассмотрением движения твердого тела в плоскости X₁0X₃ так что  и . Начало связанной системы координат поместим в центре свободной поверхности, при частичном заполнении сосуда, и в центре верхней крышки, если полость целиком заполнена жидкостью.

Для функций F₁, Y₂ имеем краевые задачи, записанные в цилиндрической системе координат (r, h, X₃)

1. Для твердого тела с полностью заполненной полостью

2. Для твердого тела, имеющего полость, частично заполненную жидкостью

Решение обеих задач ищем в виде:

; .

Функции  и  находим из краевых задач (26)-(27), используя метод разделения переменных.  Найденные решения запишем как

где  – нормированные решения уравнения Бесселя 1-го порядка [11], причем  – корень уравнения

, , ,  – есть сопутствующие функции, полученные при решении краевых задач (26)-(27) методом разделения переменных (значок (S) означает, что функция получена при наличии свободной поверхности жидкости).

Теперь воспользуемся полученными выше выражениями для величин Z, m, m, J, h₀ и оценим влияние подвижности жидкости на "сопротивление" движению тела в плоскости  X₁0X₃

Введем безразмерные тензоры:

где  r₀ – характерный размер полости.

При движении твердого тела с цилиндрической полостью только в плоскости   X₁0X₃ вместо тензоров (34) будем иметь.

Вычисляя входящие в (35) величины по формулам (19) - (21), получим:

где:

,       ,

.

Для твердого тела, имеющего полость, частично заполненную жидкостью, интегралы  I₁, I₂, I₀ вычисляются по тем же формулам, с заменой ,  на функции , . Зависимости величин , ,  даны на рис. 1-5 как для случая полости, целиком заполненной жидкостью, так и при частичном заполнении сосуда.

Из рис. 1 для величины  видно, что поступательное движение твердого тела оказывает заметное влияние на внутреннее движение жидкости при экспоненциальном распределении плотности и значении параметра , . До этого значения инерционность системы при движении твердого тела вдоль осей 0X₃ и 0X₁ практически оказывается одинаковой как и для твердых тел, имеющих полости, целиком заполненные однородной жидкостью.  При постоянной высоте сосуда увеличение числа  равноценно увеличению угловых скоростей частиц жидкости и,  как следствие, приводит к уменьшению величины .

Рис. 1: Изменение  от глубины заполнения бака:  –– –– –– полное заполнение, ––––– со свободной поверхностью; 1 - , 2 - , 3 - , 4 - ;

При наличии у жидкости свободной поверхности увеличение глубины заполнения приводит наоборот к увеличению величины ,  стремящейся к некоторой постоянной величине. При малой высоте Н боковые стенки мало стесняют движение жидкости, а при большой - наоборот,  сильно ограничивают движение жидкости, и последняя будет вовлекаться в движение почти целиком. Влияние эффекта пересечения изопикнических поверхностей с поверхностями равного давления,  также как и в случае полости, целиком заполненной жидкостью, здесь сказывается на уменьшении величины  с ростом параметра .

На рис. 2 дан график величины    для обоих случаев заполнения полости. Величина  не имеет такого явного физического смысла, как величины  и  и служит в основном для определения положения центра инерции жидкости [18].

Рис. 2: Изменение  от глубины заполнения бака:  –– –– –– полное заполнение, ––––– со свободной поверхностью; 1 - , 2 - , 3 - , 4 - ;

Под центром инерции здесь понимается такая точка системы тело - жидкость, при приложении в которой некоторой силы F твердое тело будет совершать поступательное движение в направлении действия приложенной силы, а при действии момента твердое тело будет совершать вращательное движение вокруг оси, проходящей через эту точку. Из характера распределения  для полости целиком заполненной жидкостью, следует,  что центр инерции жидкости при любой высоте сосуда и при любом значении параметра  находится выше положения центра масс "затвердевшей" жидкости. График величины  (,  –  расстояние от оси вращения до места положения центра инерции жидкости)  подтверждает это предположение (рис. 3.) Такое поведение положения центра инерции можно объяснить тем, что в невозмущенном состояния центр масс жидкости находится ниже середины высоты заполнения.

Рис. 3: Изменение  от глубины заполнения бака:  –– –– –– полное заполнение, ––––– со свободной поверхностью; 1 - , 2 - , 3 - , 4 - ;

Наличие свободной поверхности и изменение параметра  довольно сильно сказывается на поведении величины  и . При увеличении глубины заполнения жидкости, имеющей свободную поверхность, положение центра инерции может оказаться даже ниже положения центра масс "затвердевшей" жидкости. Однако при увеличении параметра , характеризующего степень неоднородности жидкости,  влияние свободной поверхности становится меньше и центр масс "затвердевшей" жидкости остается ниже положения центра инерции при любой глубине.

Зависимости  для полостей, целиком или частично заполненных жидкостью, располагаются довольно близко (рис. 4).  Так как ось вращения в рассматриваемом примере, совпадает с осью 0X₁, то такое поведение зависимостей  не требует дополнительных пояснений.

Рис. 4: Изменение   от глубины заполнения бака:  –– –– –– полное заполнение, ––––– со свободной поверхностью; 1 - , 2 - , 3 - ;

На рис. 5 представлен график относительного момента инерции жидкости при вращении вокруг оси, проходящей через центр инерции жидкости, отнесённый к моменту инерции затвердевшей жидкости, при вращении вокруг оси 0X₁. Роль свободной поверхности здесь также невелика и не вносит качественных изменений в поведении момента инерции  при увеличении глубины заполнения. Из этого же графика видно: изменение степени неоднородности жидкости меняет поведение момента инерции  и приводит к его дальнейшему уменьшению с ростом глубины жидкости.

Рис. 5: Изменение от глубины заполнения бака:  –– –– –– полное заполнение, ––––– со свободной поверхностью; 1 - , 2 - , 3 - ;

Заключение. Из изложенного видно, что движение твердого тела с полостью, целиком заполненной неоднородной жидкостью, отличается от случая, рассмотренного Жуковским Н.Е. в работе [1] о движении твердого тела с однородной жидкостью. Механический эффект неоднородной жидкой массы, совершающей квазипотенциальное движение в полностью наполненном сосуде, будет эквивалентен действию «затвердевшей» жидкой массы и твердого тела, обладающего количеством движения  и моментом количества движения , присоединенных к несущему твердому телу и образующих в совокупности систему твердых тел.

Полученные в статье теоретические результаты в виде уравнений движения и приведённый пример отчётливо показывают отличие инерционных характеристик твёрдого тела с криогенной жидкостью от случая движения тела с однородной жидкостью.

Список литературы

1.               Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

2.               Слудский Ф.А. De la rotation de la terre suppose fluide a son interieus // Bulletin de la Societe des naturalists de Moscow. 1895. Vol. IX. P. 285-318.

3.               Houqh S.S. The Oscillations of a Rotating Ellipsoidal Shell containing Fluid // Philosophical Transactions  of the Royal Soc. of London (A). 1895. Vol. 186, pt. 1. P. 469-506.

4.               Poincare H. Sur la precession des corps deformables // Bulletin Astronomique. 1910. Vol. XXVII. P. 321-356.

5.               Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 232 с.

6.               Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 520 с.

7.               Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. 416 с.

8.               Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость /АН УССР, Ин-т математики. Киев: Наукова думка, 1990. 296 с.

9.               Ганичев А.И., Качура В.П., Темнов А.Н. Малые колебания двух несмешивающихся жидкостей в подвижном сосуде // В кн.: Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск: НЭТИ, 1974. С. 82-88.

10.            Темнов А.Н. Уравнения движения твердого тела с неоднородной жидкостью, совершающей квазипотенциальное движение // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана № 442. Динамика гидроупругих систем / под ред. К.С. Колесникова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1985.

11.            Ай Мин Вин, Темнов А.Н. О движении стратифицированной жидкости в полости подвижного твёрдого тела // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. Спец. вып. С. 86-101.

12.            Моисеев Н.К., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука,1966. 440 с.

13.            Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5 т. Т. 2. М.: Наука, 1974. 656 с.

14.            Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В 2 ч. Ч. 1. М.: Физматгиз, 1963. 584 с.

15.            Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М.: Машиностроение, 1977. 203 с.

16.            Моисеев Н.Н. Вариационные задачи теории колебаний жидкости и тела с жидкостью // Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью: сб. статей. М.: ВЦ АН СССР, 1962. С. 7-118.

17.            Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика: учеб. пособие для вузов. М.: Физимтлит, 2010. 520 с.

18.            Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 1. С. 3-20. 6, т. 20, вып. I, Page 3-20.