НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.3

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

antt45@mail.ru

s_masyanya@mail.ru

Введение.

Исследованию задач о колебаниях жидкости в баках ракет-носителей посвящено много работ [1-11]. В предыдущих работах авторов [12, 13] приведена постановка модельной задачи о малых движениях несжимаемой жидкости, вытекающей из топливного бака с заборными устройствами (ЗУ). Исследование  рассматриваемой задачи в этих работах,  проведенные методами функционального анализа и спектральной теории операторных пучков, показало, что спектр нормальных движений несжимаемой жидкости (движений, подчиняющихся закону е^-λt) обладает двумя ветвями собственных значений: дискретным множеством вещественных чисел, расположенных на положительной части вещественной оси и дискретным множеством комплексно сопряженных чисел, расположенных вблизи мнимой оси. Действительным собственным значениям отвечают апериодические режимы движения жидкости, происходящие преимущественно вблизи дна топливного отсека, а комплексно сопряженным числам отвечает режимы затухающих колебаний, преобладающих в основном на свободной поверхности жидкости.

В предлагаемой статье приведены примеры рассматриваемых задач о движении несжимаемой жидкости, вытекающей из наиболее распространенных на практике топливных отсеков в виде цилиндра и конуса.

1. Постановка задачи.

 Пусть несжимаемая жидкость, частично заполняющая неподвижный бак произвольной формы вытекает через ЗУ и может совершать малые движения. Рассматриваемая проблема малых движений жидкости может быть описана уравнениями гидродинамики, линеаризованными вблизи невозмущённого состояния. Подробная постановка задачи приведена в работах [12-14].

Предполагая возмущенное движение жидкости потенциальным, сформулируем краевую задачу о колебаниях вытекающей жидкости для потенциала скоростей  в виде

  в области, заполненной жидкостью, ,

  на смачиваемой поверхности,

  на свободной поверхности Г₀,                         (1)

  на поверхности слива_,    

 ( . . .0 ) = ,  при _,

где  - производная по внешней нормали к поверхности ;  - малые смещения и скорость частиц жидкости на поверхностях Г₀  и  соответственно, - обобщенный коэффициент сопротивления поверхности слива, коэффициент гидравлического сопротивления поверхности слива, - величина интенсивности внешнего однородного поля массовых сил, - заданные поля внешних воздействий соответственно на поверхностях Г₀ и .

Проинтегрировав уравнение неразрывности по объёму, занимаемому жидкостью, для любого момента времени t, получим дополнительное интегральное условие  которому должны подчиняться поле скоростей и поле смещений в рассматриваемой задаче.

Впервые исследование колебаний жидкости с учетом вытекания было предложено Кирилловым В.В. [15] и продолжено в работах [5], [11], [16]. В упомянутых работах рассматривались задачи для жидкости, занимающей часть цилиндрического бака, на  дне  которого  ставилось кинематическое условие вытекания.

2. Колебания  жидкого топлива в цилиндрической ёмкости

Рассмотрим задачу о собственных движениях жидкости, вытекающей через заборное устройство из цилиндрической ёмкости при наличии свободной поверхности. Используя цилиндрические координаты r, ,  с началом на поверхности слива, получим задачу для определения потенциала скоростей :

, ,

,                                                       (2)

,                                                  

,

=  при _.

Функцию  представим в виде суммы двух функций

,

 и  будем  искать каждый потенциал   и   в виде

произведения четырёх функций:

 где  - функция периода  _{,  функция}  удовлетворяют  уравнению Бесселя, а функции ,   есть решения задач

                                        (3)

                                         (4)

Используя метод разделения переменных, находим выражения для потенциалов  скоростей

_,                             (5)

_,                 (6)

где  _{- функция Бесселя 1-го рода, m-го порядка,  - корни уравнения , а функции  удовлетворяют системе уравнений}

                               (7)

где ,- коэффициенты инерционных и диссипативных связей, , , , - динамические характеристики парциальных подсистем

Для определения собственных частот рассматриваемой механической системы, положим    Из уравнений (7) получаем характеристической уравнение

.  (8)

Здесь  - комплексный коэффициент затухания волновых движений жидкости  .

Уравнение (8) имеет две ветви решений: действительные корни и ветвь комплексно сопряженных корней. Для исследования уравнения введём безразмерные параметры

и перепишем  уравнение  (8)  в безразмерном виде

                 (9)

Результаты вычислений корней кубического уравнения (9) приведены в таблице  (1).

В случае  глубокой  жидкости  

уравнение  (19) принимает вид

и имеет  корни

                                         (10)

В таблице № 1 представлены результаты вычислений безразмерных собственных частот и коэффициентов распределения  при , m=1, n=1, для различных значений , , а на рис. 1-4 показаны формы  колебаний.

Таблица № 1 - Собственные частоты колебаний жидкости в цилиндрической емкости при перераспределении жидкости из бака

Н=0.5                                                    Н =1

Рис. 1. Формы колебаний жидкости в цилиндрическом сосуде при
Ω*=-61.834, , m=0, n=1, =3. 83, А1/А2=-0.309.

Н=0.5                                                Н=1

Рис. 2. Формы колебаний жидкости в цилиндрическом сосуде при различных Н при Ω*=-0.0027+1.32i, m=1, n=1, =1.841, А2/А1=0.007.

Н=0.5                                                 Н=1

Рис. 3. Формы колебаний жидкости в цилиндрическом сосуде при различных Н при Ω*=-122.45, m=1, n=1, =1.841, А1/А2=-0.043.

Н=0.5                                       Н=1

Рис. 4. Формы колебаний жидкости в цилиндрическом сосуде при различных Н при Ω*=-0.000076+1.96i, m=0, n=1, =3. 83, А2/А1=0.0007.

3. Колебания  жидкого топлива в конической ёмкости

Рассмотрим круговой конус, частично заполненный жидкостью. Введем сферическую систему координат  с центром в вершине конуса (рис. 5). Угол  отсчитывается от положительного направления оси OZ, угол  измеряется в плоскости OXY от оси OX, сторону оси OY . Из рис. 5 следует. что , , . Если ограничиться малым углом конусности. то оказывается правомерным граничное условие для плоской невозмущённой свободной поверхности рассматривать на части сферической поверхности R=R₁. Очевидно, что уравнение для конической полости R=R₂, боковой поверхности - . Условием применимости полученных формул для плоской свободной поверхности является следующее ограничение, накладываемое на угол конусности: . Наиболее полное исследование колебаний жидкости в усечённых конических  баках без учёта эффекта вытекания приведено в работе [18].

Рис. 5. Геометрические характеристики обратного и прямого конусов

Примем за характерный размер радиус дна конической полости R=R₂ и введем безразмерный радиус r = R/R₂. Обозначим q = R₁/R₂. Допустим далее, что жидкость либо достигает вершины конуса, либо конус усеченный и имеет дно R=R₂ (рис. 5 а, б). Для сокращения будем называть полость на рис. 5 а - обратным усеченным (не усеченным) конусом  (q > 1).

Краевая задача о свободных колебаниях жидкости в конической полости имеет вид            

. ,

,

,                                                      (11)

где  -  лапласиан, записываемый в сферических координатах [17].

Потенциал скоростей  для конической полости представим в виде суммы  потенциалов

,                                           (12)

каждый из которых  есть  произведение  функций

,  ,

где  -присоединённая  функция  Лежандра,  а функции ,   есть решения краевых задач 

                                     (13)

                                      (14)

Используя метод разделения переменных, находим представления решений поставленных краевых задач 

_{,                                     (15)}

 _,

где  _- присоединенные функции Лежандра первого рода, -го порядка, - n –ый корень уравнения

 .

_{Функции .  соответственно равны}

,                                   (16)

 Подставив полученные решения (16) в граничные условия (11), и предполагая, что , получим уравнение для определения собственных чисел:

                                                      (17)

где коэффициенты вычисляются по формулам

                                               (18)

Коэффициенты инерционных и диссипативных связей и квадрат парциальной частоты  колебаний свободной поверхности жидкости в  коническом баке представлены в таблице 2.

Таблица № 2 – Коэффициенты  при обобщенных координатах для вычисления  при

В таблице 3 представлены результаты расчетов собственных чисел в зависимости от скорости  и параметра .

Таблица № 3 - Собственные частоты колебаний жидкости в конической емкости при , , m=1, n=1.

Также рассматриваемая модельная задача для конической области была решена вариантом метода конечных элементов (МКЭ), численно реализующим нахождение обобщённого решения некоторого интегрального тождества, полученного методом Галёркина. В следующих таблицах  приведены результаты расчетов для конусов, аналогично  изображенных  на рисунке 5, но с плоским дном (таблица № 4) и с плоской свободной поверхностью (таблица № 5).

Таблица № 4 - Собственные частоты колебаний жидкости в  конической емкости с плоским дном при , , m=1, n=1.

Таблица № 5 - Собственные частоты колебаний жидкости в  конической емкости с плоской свободной поверхностью при , , m=1, n=1.

В заключение необходимо отметить, что полученные результаты подтверждают выводы, сформулированные ранее в работах авторов [12, 13], то есть спектр нормальных движений несжимаемой жидкости, вытекающей из ограниченной области, обладает двумя ветвями собственных значений: дискретного множества вещественных чисел, и дискретного множества комплексно-сопряженных чисел, расположенных вблизи мнимой оси.

Список литературы

1.              Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 500 с.

2.              Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела. Киев: Наукова думка, 1990. 296 с.

3.              Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. 416 с.

4.              Микишев Г.Н.. Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971. 563 с.

5.              Моисеев Н.Н., Петров А.А. Численные  методы расчёта собственных частот колебаний ограниченного объёма жидкости. М.: ВЦ АН СССР, 1966. 270 с.

6.              Моисеев Н.Н. Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 440 с.

7.              Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 232 с.

8.              Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях. Киев: Наукова думка, 1969. 250 с.

9.              Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М.: Машиностроение, 1977. 203 с.

10.          Колесников К.С., Шкапов П.М., Пожалостин А.А. Задачи динамики гидромеханических систем в трудах кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012.  Спец. вып. № 8. С. 15-30.

11.          Лимарченко О.С., Матараццо Д., Ясинский В.В. Динамика вращающихся конструкций  с жидкостью. Киев: ГНОЗИС, 2002. 304 с.

12.          Степанова М.И., Темнов А.Н. Малые движения  жидкости с  поверхностной  диссипацией энергии // Вестник  МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. № 4. С. 99-110.

13.          Дьяченко М.И., Темнов А.Н. Собственные колебания жидкого топлива в условиях перераспределения //  Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2012. № 3. С. 31-38.

14.          Дьяченко М.И., Темнов А.Н. Проблемы динамики перераспределения топлива в крупногабаритных ракетно-космических объектах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2012. Спец. вып.С. 164-174.

15.          Кириллов В.В. Исследование колебаний  жидкости в неподвижном сосуде с учётом её вытекания // Труды  МФТИ. 1960. Вып. 5. С. 19-25.

16.          Орлов В.В., Темнов А.Н. Малые движения жидкости, вытекающей из бака // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докладов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997. С. 124.

17.          Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математикой физики. М.: Физматлит, 1962. 767 с.

18.          Луковский И.А., Солодун А.В., Тимоха А.Н. Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках // Акустический вестник. 2006. Т. 9, № 3. С. 42-61.