УДК 534-141 

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

zorghhh@gmail.com

Введение.

При работе маршевого двигателя разгонных блоков и иных космических аппаратов ввиду наличия длительных пассивных участков, во время которых реализуются условия микрогравитации[6], для исключения аварийных ситуаций необходимо обеспечивать бесперебойную подачу компонент в заборное устройство, для это цели широко применяются полупроницаемые капиллярные фазоразделители[4], обеспечивающие сплошность компонент при их подаче в заборное устройство. В этой связи, представляет интерес задача о выявлении тех режимов работы в условиях малой гравитации, при  которых: а) давление на входе в заборное устройство является недостаточным для осуществления бесперебойной подачи компонент топлива; б) объём жидкости становится неустойчивым, когда нарушается устойчивость и односвязность всей механической системы (жидкость, совершающая малые движения). Настоящая работа служит выяснению тех условий работы, при которых система может становится неустойчивой

В работе [5] исследовалось движение идеальной, несжимаемой и нестратифицированной жидкости, совместно с упругим днищем. Схожая с [5] постановка задачи с иным подходом к разрешению дифференциального уравнения движения пластины реализовывались в работе [6]. Работа [8] посвящена исследованию движений стратифицированной жидкости совместно с упругим днищем, представляемым в виде пластины. В работе [11] схожая с нашей задача рассматривалась с применением операторных методов и исследованием свойств спектра. Тем не менее, в работе [11] не было определено критических значений собственных частот.  В работе [9] рассмотрены различные технические реализации фазоразделяющих экранов. Работа [13] посвящена исследованию общих вопросов разрешимости и устойчивости решений класса дифференциально-операторных уравнений. В работе [14] рассматривалась схожая задача без учета сил поверхностного натяжения.

В настоящей работе разработана методика расчёта собственных частот и форм колебаний механической системы, которая может рассматриваться в качестве приближенной для анализа динамики бака с фазоразделителем.  В рамках рассматриваемой модели проницаемостью фазоразделителя пренебрегаем.  Решена задача с условием на свободной поверхности жидкости при малой гравитации для двухслойной жидкости, разделенной упругой перегородкой, что соответствует возможным техническим реализациям расположения капиллярных фазоразделителей [4].

1.    Постановка задачи

Свяжем цилиндрическую систему координат с центром фазоразделяющей мембраны.

Рис. 1. Модель сосуда с жидкостями, разделёнными мембраной

Тогда рассмотрим область  где

Обозначим через невозмущенную свободную поверхность жидкости, а через равновесную поверхность фазоразделяющей мембраны, смоченные части первой и второй жидкостями соответственно твердой стенки сосуда

Тогда линеаризованные  уравнения движения жидкости в размерном виде в осесимметричном случае примут вид

Будем рассматривать задачу для угла смачивания в 90 градусов, в соответствии с [7, стр. 256] и [11], свободную невозмущенную поверхность полагаем плоской.

С граничными условиями:

Здесь  потенциалы скоростей первой и второй жидкостей соответственно;  внешняя нормаль к границе области , заполненной жидкостью отклонение по нормали свободной возмущённой поверхности жидкости от невозмущённой , плотности жидкостей выше и ниже фазоразделяющей мембраны соответственно;  коэффициент поверхностного натяжения;    дифференциальный оператор Лапласа; условие (1.7), записанное в соответствии с [7, стр. 252] определяет динамическое условие на свободной поверхности, потенциал  внешних сил во время движения считаем постоянным. В случае перехода к безразмерным параметрам в соответствии с  и полагая потенциал массовых сил ,  число Бонда, характеризующее соотношение между внешними силами и силами поверхностного натяжения, , ускорение свободного падения, условие (1.7)  в случае угла смачивания в 90 градусов в соответствии с [7, стр. 256]примет вид

где  собственная частота колебаний системы. В дальнейшем будем применять условие в виде .

Смещение мембраны удовлетворяет следующему уравнению движения в осесимметричной постановке [2], [3], [5]:

где  масса мембраны на единицу площади, а её натяжение. Мы полагаем, что мембрана находится под действием равномерного натяжения т.е. если провести линию по мембране в любом направлении, то сила взаимодействия между двумя частями, разделенными элементами линии, пропорциональна длине элемента и перпендикулярна его направлению; величина илы, действующей на элемент линии длины  составляет величину . Величину считаем постоянной по площади мембраны.

Граничное условие для уравнения имеют вид

Запишем условие постоянства нижнего объёма

II. Осесимметричное движение жидкости

Рассмотрим применение метода Бубнова-Галёркина для нахождения собственных значений задачи  

Пусть состояние равновесия жидкостей устойчиво по первому приближению. Найдём собственные числа свободных осесимметричных колебаний системы из 2-х жидкостей, разделенных упругой мембраной.

Будем искать решение соответствующей задачи в виде

Применяя метод Фурье к задаче  в соответствии с [6] получим следующие выражения для потенциалов скоростей:

где функция Бесселя 1-го рода порядка 0, -й корень в уравнении (1.5), 0, причём
 приведённый к безразмерному виду радиус рассматриваемого цилиндра.

Введём обобщённые координаты  и представим перемещения мемебраны в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний мембраны без жидкости. В соответствии с [2] такое разложение примет вид

где -й корень функции Бесселя 1-го рода порядка 0,  
Разложим  в ряд по ортогональным функциям

Удовлетворяя книметическим условиям на мембране (1.6) с учетом разложения, а также ортогональности функций Бесселя, а так же обозначая

получимсистему уравнений:

Составив определитель m-го порядка которой, получаем характеристическое уравнение. Важно отметить, что недиагональные члены определителя обратятся в ноль ввиду ортогональности функций Бесселя.

III. Результаты

Была определена зависимость частоты собственных колебаний механической системы от числа Бонда, характеризующего интенсивность гравитационных сил при различных значениях частоты колебаний свободной поверхности жидкости.

Далее, раскрывая полученный определитель для I-го тона, мы получим частотное уравнение относительно . Ограничиваемся 5-ю членами ряда в уравнении относительно  полученном при раскрытии определителя (2.10). В полученном соотношении выражаем  через число Бонда. Полученные зависимости при различных , массt мембраны: , плотности размеры области .

Критическое значение частоты получаем из условия . Из рис. 2 видим, что с уменьшением жесткости мембраны, снижается значение критической частоты.

Рис. 2. Зависимость квадрата собственной частоты механической системы от числа Бонда.

Список литературы

1.               Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Теоретическая физика. В 10 т. Т. 6. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2006. 736 с.

2.               Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 368 с.

3.               Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

4.               Багров В.В., Курпатенков А.В., Поляев В.М., Синцов А.Л., Сухоставец В.Ф. Капиллярные системы отбора жидкости из баков космических летательных аппаратов / под ред. В.М. Поляева. М.: УНПЦ «Энергомаш», 1997. 328 с.

5.               Пожалостин А.А. Свободные колебания жидкости в жестком круговом цилиндрическом сосуде с упругим плоским дном // Известия высших учебных заведений. Сер. Авиационная техника. 1963. № 4. С. 25-32.

6.               Петренко М.П. Собственные колебания жидкости со свободной поверхностью и упругого днища цилиндрической полости // Прикладная механика. 1969. Том 5, вып. 6. С. 44-50.

7.               Бабский В.Г., Копаческий Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости / под ред. А.Д. Мышкиса. М.: Наука, 1976. 504 с.

8.               Андронов А.В. Колебания идеальной стратифицированной жидкости в контейнере с упругим днищем // Вопросы волновых движений жидкости : сб. науч. тр. Краснодар: КубГУ,1987.

9.               Сапожников В.Б., Меньшиков В.А.,  Партола И.С., Корольков А.В. Развитие идей профессора В.М. Поляева по применению пористо-сетчатых материалов для внутрибаковых устройств, обеспечивающих многократный запуск  жидкостных ракетных двигателей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2006. № 2. С. 78-88.

10.            Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1969. 510 с.

11.            Нго Зуй Кан. О движении идеальной жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, заполняющей сосуд с плоским днищем // Изв. АН СССР.Механика твердого тела. 1980. № 3. С. 143-154.     

12.            Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна: пер. с нем. М.: ОНТИ, 1935. 332 с.

13.            Пашкова Ю.С. Малые колебания системы идеальных жидкостей, разделенных упругими перегородками / Симферопольский государственный университет. Симферополь, 1992. 28 с. Деп. в УкрИНТЭИ 02.10.92.

14.            Гончаров Д.А. Осесимметричные колебания двухплотностной жидкости в цилиндрическом баке // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана Электрон. журн. 2012. № 4. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/362856.html (дата обращения 01.09.2013).