НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 519.6

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

spm@bmstu.ru

fn3@bmstu.ru

Введение

Многие современные технологии решения экстремальных задач для гидромеханических систем, возникающих при проектировании таких систем, идентификации аномалий и диагностировании, обеспечении безопасности, а также управлении процессами, обучении нейронных сетей и т.п., основаны на применении методов глобальной оптимизации [1–5]. В работе [6] рассматривались методы вычислительной диагностики опорных узлов паропровода второго контура АЭС, определения условий взаимодействия дистанционирующих решеток с направляющими каналами тепловыделяющих сборок активной зоны, а также идентификации аномалий фазового состава теплоносителя в циркуляционном контуре реакторной установки. Подход к идентификации режимов потока теплоносителя в контуре реакторной установки с использованием искусственных нейронных сетей представлен в работе [7]. Исследование указанных режимов является важным шагом при анализе механизмов поведения двухфазной газожидкостной смеси в циркуляционном контуре. Искусственные нейронные сети предложены в качестве эффективного инструмента идентификации режимов потока теплоносителя благодаря, в частности, преимуществам при решении задач распознавания образов и построения нелинейных отображений. При обучении искусственных нейронных сетей используются методы глобальной оптимизации (метод оптимизации роя частиц и генетические алгоритмы). Задача построения редуцированных моделей тепловыделяющих сборок активной зоны ядерного реактора рассматривается в работе [8]. Вычислительная модель активной зоны реактора включает в себя значительное число моделей тепловыделяющих сборок. Использование уточненных моделей сборок ведет к заметному росту компьютерного времени при нелинейном анализе реактора, например, при описании его реакции на сейсмическое воздействие. Компьютерное время может быть значительно сокращено, если подробную модель тепловыделяющей сборки заменить упрощенной моделью, имеющей меньшее число степеней свободы. При этом редуцированная модель должна корректно воспроизводить основные динамические характеристики подробной модели. Предложенный метод построения редуцированной модели тепловыделяющей сборки включает в себя процедуру глобальной минимизации критериальной функции. Верификация метода проводится на основе сравнения тестовых результатов, полученных при измерениях, и результатов численного моделирования. Показано, что динамическое поведение редуцированной модели тепловыделяющей сборки хорошо соответствует экспериментальным данным.

Современная практика свидетельствует о том, что при сравнении результатов динамических испытаний объекта и ожидаемых результатов, предоставляемых теоретическими моделями, как правило, обнаруживается существенное несоответствие. Это обусловлено тем, что теоретическая вычислительная модель объекта разрабатывается на основе идеализированных представлений, которые могут не вполне точно воспроизводить основные физические свойства реального моделируемого объекта. В подобных случаях требуется выполнить коррекцию теоретической модели с использованием измеренных частот и форм колебаний (соответствующих им собственных частот и собственных форм) реального объекта. В работе [9] рассматривается численная процедура коррекции конечно-элементной модели конструкции. Сформулирована соответствующая обобщенная обратная задача на собственные значения и представлен метод ее решения. Появление повреждений в исследуемом объекте приводит к изменению его модальных параметров – собственных частот и форм колебаний, а также модального демпфирования. Указанные модальные параметры могут быть получены при виброиспытаниях объекта. Задачи коррекции расчетных динамических моделей с использованием экспериментальных данных относятся к классу обратных задач классической механики. Существенно, что обратные задачи, как правило, являются некорректными, что требует применения специальных процедур регуляризации. Метод глобальной оптимизации используется для коррекции конечно-элементной модели объекта сложной структуры. Результаты численных экспериментов показывают, что предложенный подход позволяет идентифицировать, локализовать и оценить аномалию с высокой точностью, в том числе при наличии в измеренных сигналах зашумлений умеренной и значительной интенсивности. В работе [10] представлен метод адаптивной регуляризации Тихонова, используемый для решения обратной задачи коррекции нелинейной модели объекта. Приведен численный пример реализации подхода при поиске элементов плоской конструкции, имеющих повреждения. Установлена более высокая эффективность метода адаптивной регуляризации по сравнению с классическим методом Тихонова, в том числе для обратных задач с существенно зашумленными результатами измерений.

Возрастающая сложность оптимизируемых объектов, наблюдаемая в последние десятилетия, приводит к усложнению их математических моделей, что значительно затрудняет решение соответствующих экстремальных задач. Существует класс задач глобальной оптимизации, в которых рассматриваются критериальные функции с сильными математическими свойствами, такими как липшицева непрерывность, дифференцируемость и т.д. В подобных случаях применяют классические детерминированные алгоритмы, которые, в частности, используют информацию о производных первого и второго порядка от критериальных функций, а также характеризуются высокой скоростью сходимости [11]. Однако в большинстве практических приложений физические условия задачи могут налагать ограничения на моделирование, поэтому критериальные функции обычно не обладают желаемыми свойствами. Так, критериальные функции могут быть не всюду дифференцируемыми и зашумленными. Наличие шума означает, что вычисление производных является затруднительным и ненадежным. Кроме того, критериальные функции, вычисление которых проводится с использованием стандартных коммерческих кодов, следует рассматривать как заданные в форме черного ящика. Указанные причины приводят к необходимости использования методов оптимизации без вычисления производных [12, 13]. К числу детерминированных алгоритмов глобальной оптимизации, не использующих производных, относится, например, алгоритм DIRECT [14]. Доказано, что при умеренных предположениях последовательность наилучших точек, генерируемых указанным алгоритмом, сходится к точке Каруша–Куна–Таккера. Описание некоторых современных методов оптимизации без использования производных приведено в работах [15 – 18].

Следует отметить, что эффективность детерминированных алгоритмов глобальной оптимизации существенно ограничена их зависимостью от размерности задачи. В случае большого числа переменных применяют алгоритмы стохастической глобальной оптимизации. К ним относятся алгоритмы моделируемого отжига, генетические, управляемого случайного поиска и др. В различных приложениях широкое применение получил метод оптимизации роя частиц [19]. Вместе с тем, чувствительность к выбору параметров перечисленных алгоритмов, устанавливаемых пользователем или обусловленных содержанием задачи, во многом определяет скорость сходимости итерационного процесса. Этого недостатка лишен алгоритм PCA [20], один из наиболее мощных современных стохастических алгоритмов  глобальной оптимизации. Существенным шагом алгоритма является сравнительная оценка качества решения, определяемого текущей и предшествующей конфигурацией системы. Пробное приближение принимается с определенной вероятностью, что исключает сходимость к локальному минимуму при поиске глобального решения; локальный поиск также осуществляется стохастическим методом. Алгоритм PCA удобен для реализации и может использоваться при решении как непрерывных, так и дискретных задач оптимизации. Основным недостатком, ограничивающим применение стохастических алгоритмов, является высокая вычислительная стоимость получаемых решений. Важный ресурс повышения эффективности алгоритма PCA заключается в совершенствовании процедуры локального поиска. Перспективным направлением можно считать разработку гибридных алгоритмов, объединяющих стохастический алгоритм PCA, используемый при сканировании пространства переменных для определения области, перспективной на глобальный экстремум, и детерминированный метод локального поиска. Некоторые гибридные алгоритмы глобальной оптимизации, построенные на основе эволюционных алгоритмов в сочетании с детерминированным локальным поиском, представлены в работах [21, 22].

В первом разделе формулируется задача глобальной оптимизации. Краткое описание гибридных алгоритмов оптимизации без использования производных дано во втором разделе; там же приведены сведения о реализации алгоритмов в виде прикладных программ. Численный пример применения гибридного алгоритма рассматривается в третьемм разделе, где представлены результаты решения модельной задачи диагностирования фазового состава теплоносителя в циркуляционном контуре реакторной установки.

1.     Постановка задачи

Рассматривается задача глобальной оптимизации, формулируемая в следующем виде: требуется найти

,                                                                                          (1)

где

,                                                                           (2)

;                                                                  (3)

использованы обозначения: целевая функция; вектор переменных управления; функции ограничений задачи, ; конечное множество индексов; допустимая область; область поиска; глобальное решение; размерность задачи; ; через  обозначено -мерное вещественное линейное пространство. Функции , , , задачи (1) – (3) предполагаются непрерывными липшицевыми. Предполагается также, что действительная функция  является многоэкстремальной, не всюду дифференцируемой и для нее задана вычислительная процедура, позволяющая определять значения функции в точках допустимой области. Необходимо также учесть возможную высокую трудоемкость вычисления критериальных функций, что может потребовать значительных вычислительных ресурсов.

2.     Гибридные алгоритмы оптимизации без использования производных

2.1  Алгоритм NMPCA

В работе [23] представлен гибридный алгоритм MNPCA, объединяющий стохастический алгоритм PCA и детерминированный симплекс-метод Нелдера-Мида. Общий поиск в допустимой области проводится стохастическим алгоритмом, а при локальном поиске в перспективной на глобальный экстремум области используется симплекс-метод. При этом не возникает необходимости вычисления призводных критериальных функций. На примере решения задачи оптимального проектирования ядерного реактора показана более высокая эффективность алгоритма MNPCA по сравнению с генетическим алгоритмом. Следует, однако, отметить, что стандартный симплекс-метод Нелдера-Мида не всегда обеспечивает сходимость к стационарной точке [24], что в целом снижает надежность алгоритма MNPCA.

2.2  Алгоритм HJPCA

            Гибридный алгоритм HJPCA, представленный в работе [25], объединяет алгоритм PCA и детерминированный метод Хука-Дживса. Существенно, что используемый при локальном поиске эвристический метод Хука-Дживса характеризуется относительной простотой реализации и невысоким уровнем требований к компьютерной памяти. Однако основанный на циклическом движении по координатам алгоритм, реализующий метод Хука-Дживса, может в некоторых случаях вырождаться в последовательность исследующих поисков без перехода к ускоряющему поиску по образцу. Указанный недостаток снижает общую оценку вычислительной эффективности гибридного алгоритма HJPCA.

2.3  Алгоритм PCASFC

            Далее, в дополнение к алгоритмам NMPCAи HJPCA, приведено описание нового гибридного алгоритма PCASFC, построенного на основе алгоритма PCA в сочетании с детерминированным методом кривой, заполняющей пространство [26], при локальном поиске. Для решения задачи липшицевой минимизации исходная многомерная задача редуцируется к эквивалентной одномерной с использованием кривой Пеано, построение которой проводится по схеме Гильберта:

.

            Следует отметить [26], что  есть одномерное непрерывное отображение единичного интервала  на гиперкуб . Кроме того, если многомерная функция  редуцируемой задачи удовлетворяет условию Липшица с константой , то одномерная функция  удовлетворяет на единичном интервале условию Гельдера:

            Существенно, что для полученной редуцированием функции , которая является гельдеровой, условие Липшица уже не выполняется. В работе [26] тем не менее показано, что известные одномерные алгоритмы липшицевой оптимизации могут быть обобщены на случай минимизации гельдеровых функций. В численных алгоритмах применяются кривые, аппроксимирующие кривую Пеано-Гильберта  с априорно заданным уровнем разбиения, зависящим от требуемой точности поиска. Ниже представлен псевдокод гибридного алгоритма глобальной оптимизации, использующего процедуру локального поиска на основе метода построения кривой Пеано-Гильберта.

0. Generate an initial solution Old_Config

1. For  to # iterations

Generate a stochastic perturbation of the solution

If Fitness (New_Config) > Fitness (Old_Config)

                        Old_Config := New_Config

                        Local search ( )

            Else

                        Scattering ( )

            End If

End For

2. Local search ( )

            Apply procedure of local search

using the Space-filling Curve Method

Return

3. Scattering ( )

            ( Fitness (New_Config)) / (Best Fitness)

            If > random(0, 1)

                        Old_Config := random solution

            Else

                        Exploration ( )

            EndIf

Return

Предложенный подход не требует вычисления производных критериальных функций по переменным управления, что позволяет расширить применение гибридного алгоритма PCASFC на класс задач глобальной недифференцируемой оптимизации. Разработано программное обеспечение, реализующее алгоритм PCASFC [27]. В работе [28] подход с использованием метода кривой, заполняющей пространство, реализован при решении задач многокритериальной оптимизации с многоэкстремальными частными критериями.

2.4  Алгоритм PCAMNM

            В фазе локального поиска гибридных алгоритмов глобальной оптимизации при решении задач большой размерности могут непосредственно использоваться методы недифференцируемой оптимизации. В целом, при разработке гибридных алгоритмов необходимо учитывать ряд условий, повышающих их результирующую эффективность. Перспективным является построение гибридных алгоритмов на основе алгоритма PCA с локальным поиском без использования производных.

            Вариант симплекс-метода Нелдера-Мида, сходимость которого теоретически доказана, представлен в работе [29]. При этом отмечено, что алгоритм, реализующий модифицированный метод Нелдера-Мида, является робастным для задач с разрывными или зашумленными критериальными функциями. Тестирование показало более высокую вычислительную эффективность модифицированной версии метода по сравнению с классической. Существуют и другие современные версии симплекс-метода Нелдера–Мида, например, адаптивная. Реализуем, в частности, способ повышения эффективности адаптивного алгоритма за счет рационального выбора параметров растяжения, сжатия и стягивания симплекса в зависимости от размерности задачи оптимизации.

            Таким образом, может быть предложен гибридный алгоритм глобальной оптимизации PCAMNM, объединяющий стохастический алгоритм PCA (общий поиск в пространстве переменных) и модифицированный симплекс-метод Нелдера–Мида (локальный поиск). Ниже представлен фрагмент псевдокода, соответствующий фазе локального поиска гибридного алгоритма PCANMN.

2. Local search ( )

            Apply procedure of local search

using the Modified Nelder-Mead Simplex Method

Return

Предложенный подход не требует вычисления производных критериальных функций по переменным управления, что позволяет применять гибридный алгоритм PCAMNM при решении задач глобальной недифференцируемой оптимизации. Другие версии гибридных алгоритмов глобальной оптимизации представлены в работе [30].

3. Пример

Рассматривается модельная задача диагностирования фазового состава теплоносителя в главном циркуляционном контуре серийного блока ВВЭР-1000 [6]. Переменными управления являются относительные значения скорости звука  в теплоносителе на участках, соответствующих: зоне нагрева теплоносителя в напорном баке системы компенсации объема СКО ; выходному объему реактора ; активной зоне реактора ; проточной части главного циркуляционного насоса циркуляционной петли с СКО . При отсутствии в теплоносителе второй фазы нормальный  спектр  определяется максимальными значениями скорости звука на выделенных участках.

Таблица – Нормальный и аномальный спектры частот колебаний теплоносителя

Аномальный спектр  здесь получен при наличии двухфазной смеси как в выходном объеме, так и в активной зоне реактора, при этом: ; ; ; .

Сходимость решения иллюстрируют рисунки 1, 2 (Niter – число итераций). После определения области, потенциально содержащей глобальный минимум, завершающие итерации в фазе локального поиска алгоритма PCAMNM проводятся с использованием модифицированного симплекс-метода Нелдера–Мида.

Рис. 1. Изменение значений переменных управления  на завершающих итерациях алгоритма

Рис. 2. Уточнение значений критериальной функции  на завершающих итерациях алгоритма

Получено приближенное решение задачи: ; ; ; . При этом максимальная относительная погрешность определения значений переменных управления не превышает , а точность настройки спектра частот имеет порядок  Гц.

Выводы. Представлены гибридные алгоритмы глобальной оптимизации без использования производных. Предложенный подход к диагностированию фазового состава теплоносителя в циркуляционном контуре серийного блока ВВЭР-1000 основан на применении к решению обратной спектральной задачи нового гибридного алгоритма глобальной минимизации PCAMNM. Исследование области проводится стохастическим методом, а при локальном поиске используется модифицированный симплекс-метод Нелдера–Мида, сходимость которого доказана теоретически. Модельные расчеты показали возможность идентификации аномалий фазового состава теплоносителя с достаточной для приложений точностью.

            Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (грант Президента РФ по поддержке научных исследований ведущих научных школ РФ, код НШ-4748.2012.8).

Список литературы

1. Sacco W.F., de Oliveira C.R.E., Pereira C.M.N.A. Two stochastic algorithms applied to nuclear reactor core design // Progress in Nuclear Energy. 2006. Vol. 48, no. 6. P. 525-539.

2. Vannucci P. The design of laminates as a global optimization problem // Journal of Optimization Theory and Applications. 2013. Vol. 157, no. 2. P. 157-299.

3. Bakir P.G., Reynders E., De Roeck G. An improved finite element model updating method by the global optimization technique ‘Coupled Local Minimizers’ // Computers and Structures. 2008. Vol. 26, no. 11-12. P. 1339-1352.

4. Yuan Y.-X., Dai H. A generalized inverse eigenvalue problem in structural dynamic model updating // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 226, no. 1. P. 42-49.

5. Link M., Weiland M. Damage identification by multi-model updating in the modal and in the time domain // Mechanical Systems and Signal Processing. 2009. Vol. 23, no. 2. P. 1734-1746.

6. Kinelev V.G., Shkapov P.M., Sulimov V.D. Application of global optimization to VVER-1000 reactor diagnostics // Progress in Nuclear Energy. 2003. Vol. 43, no. 1-4. P. 51-56.

7. Cong T., Su G., Qiu S., Tian W. Applications of ANNs in flow and heat transfer problems in nuclear engineering: A review work // Progress in Nuclear Energy. 2013. Vol. 62, no. 1. P. 54-71.

8. Park N.-G., Kim K.-J., Kim K.-H., Suh J.-M. A computational technique to identify the optimal stiffness matrix for a discrete nuclear fuel assembly model // Nuclear Engineering and Design. 2013. Vol. 255. P. 51-58.

9. Liu X.-X., Li J.-F., Hu X.-Y. Generalized inverse problems for part symmetric matrices on a subspace in structural dynamic model updating // Mathematical and Computer Modelling. 2011. Vol. 53, no. 1-2. P. 110-121.

10. Li X.Y., Law S.S. Adaptive Tikhonov regularization for damage detection based on nonlinear model updating // Mechanical Systems and Signal Processing. 2010. Vol. 24, no. 2. P. 1646-1664.

11. Floudas C.A., Gounaris C.E. A review of recent advances in global optimization // Journal of Global Optimization. 2009. Vol. 45, no. 1. P. 3-38.

12. Rios L.M., Sahinidis N.V. Derivative-free optimization: a review of algorithms and comparison of software implementations // Journal of Global Optimization. 2013. Vol. 56, no. 3. P. 1247-1293. Available at: http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs10898-012-9951-y.pdf  , accessed 01.10.2013.

13. Moré J.J., Wild S.M. Benchmarking derivative-free optimization algorithms // SIAM Journal on Optimization. 2009. Vol. 20, no. 1. P. 172-191.

14. Finkel D.E., Kelley C.T. Additive scaling and the DIRECT algorithm // Journal of Global Optimization. 2006. Vol. 36, no. 3. P. 597-608.

15. Fasano G., Morales J.L., Nocedal J. On the geometry phase in model-based algorithms for derivative-free optimization // Optimization Methods and Software. 2009. Vol. 24, no. 1. P. 145-154.

16. Arouxét M.B., Echebest N., Pilotta E.A. Active-set strategy in Powell’s method for optimization without derivatives // Computational & Applied Mathematics. 2011. Vol. 30, no. 1. P. 171-196.

17. Powell M.J.D. On the convergence of trust region algorithms for unconstrained minimization without derivatives // Computational Optimization and Applications. 2012. Vol. 53, no. 3. P. 527-555.

18. Audet C., Dennis J.E. Jr. A progressive barrier for derivative-free nonlinear programming // SIAM Journal on Optimization. 2009. Vol. 20, no. 2. P. 445-472.

19. Vaz A.I.F., Vicente L.N. A particle swarm pattern search method for bound constrained global optimization // Journal of Global Optimization. 2007. Vol. 39, no. 1. P. 197-219.

20. Sacco W.F., de Oliveira C.R.E. A new stochastic optimization algorithm based on particle collisions // Proceedings of the 2005 ANS Annual Meeting. Transactions of the American Nuclear Society. 2005. Vol. 92. P. 657-659.

21. Kelner V., Capitanescu F., Léonard O., Wehenkel L. A hybrid optimization technique coupling an evolutionary and a local search algorithm // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2008. Vol. 215, no 2. P. 448-456.

22. Voglis C., Parsopoulos K.E., Papageorgiou D.G., Lagaris I.E., Vrahatis M.N. MEMSODE: A global optimization software based on hybridization of population-based algorithms and local searches // Computer Physics Communications. 2012. Vol. 183, no 2. P. 1139-1154.

23. Sacco W.F., Filho H.A., Henderson N., de Oliveira C.R.E. A Metropolis algorithm combined with Nelder-Mead simplex applied to nuclear reactor core design // Annals of Nuclear Energy. 2008. Vol. 35, no. 14. P. 861-867.

24. McKinnon K.I.M. Convergence of the Nelder-Mead simplex method to a non-stationary point // SIAM Journal of Control and Optimization. 1999. Vol. 9, no. 2. P. 148-158.

25. Rios-Coelho A.C., Sacco W.f., Henderson N. A Metropolis algorithm combined with Hooke-Jeeves local search method applied to global optimization // Applied Mathematics and Computation. 2010. Vol. 217, no 2. P. 843-85.

26. Lera D., Sergeev Ya.D. Lipschitz and Hölder global optimization using space-filling curves // Applied Numerical Mathematics. 2010. Vol. 60, no 1. P. 115-129.

27. Сулимов В.Д., Шкапов П.М. Глобальная минимизация липшицевой многомерной недифференцируемой функции с использованием гибридного алгоритма PCASFC : Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010613753. 2010.

28. Sulimov V.D., Shkapov P.M. Hybrid algorithms for multiobjective optimization of mechanical and hydromechanical systems // Journal of Mechanics Engineering and Automation. 2012. Vol. 2, no. 3. P. 190-196.

29. Price C.J., Coope I.D., Byatt D.A convergent variant of the Nelder-Mead algorithm // Journal of Optimization Theory and Applications. 2002. Vol. 113, no. 1. P. 5-19.

30. Сулимов В.Д., Шкапов П.М. Методология решения экстремальных задач для механических и гидромеханических систем // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. Спец. вып. № 8. С. 17-34.