НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 62-752

Россия, Иркутский государственный университет путей сообщения

hunterr1@mail.ru

Введение. В числе проблем, активно обсуждаемых в теоретических и инженерных аспектах, большое внимание уделяется разнообразным формам прояления вибрационных процессов, сопровождающих работу многих технологических машин [1, 2]. Поиск и разработка способов и средств устранения вибраций вращающихся деталей и силовых передач привели к созданию автоматизированных и автоматических технологий устранения статической и динамической неуравновешенности до заданного уровня [3÷5]. В меньшей степени внимание уделялось вопросам оценки форм и физическим особенностям синергетического плана и самоорганизации движений.Вместе с тем существуют многие виды технологических машин, в которых динамическая неуравновешенность  является неотъемлемой формой взаимодействия исполнительных органов с рабочей средой [2,3÷6], что характерно, например,  для оборудования по добыче и переработке полезных ископаемых, сельскохозяйственных и строительно-дорожных машин. В последние годы заметно возрос интерес к направлениям автобалансировки с использованием вращающихся маятниковых систем, обладающих проявлениями ряда динамических особенностей. Теоретической основой рассмотрения возникающих колебательных процессов в маятниковых системах стали работы [7÷9] отечественных ученых, предложивших методы исследования маятниковых систем в сложных динамических взаимодействиях.

I. Постановка задачи исследования

Использование вращающихся маятников для уравновешивания роторов, в частных проявлениях, освещалось в упомянутых выше работах, в том числе в работе [10],  посвященной исследованиям ротора со статической неуравновешенностью и двумя маятниками. Отметим, что при изучении динамических свойств были обнаружены особые режимы, которые могли бы быть названы эффектом «застревания». Жесткий ротор машины в этом случае вращается с рабочей скоростью, а маятники приобретают частоту вращения, совпадающую с одной из собственных частот колебаний ротора на упругих опорах. Целью настоящего исследования является изучение возможности существования эффекта при вращении жесткого ротора на упругих опорах, имеющего статическую и моментную неуравновешенность с четырьмя автобалансирами маятникового типа.

II. Особенности проведения эксперимента.

Схема экспериментальной установки представлена на Рис. 1 и состоит из массивного ротора 1, закрепленного в корпусе 2 на упругих опорах 3. Каждая из опор представляет собой призматический резиновый элемент с запрессованной втулкой для размещения подшипников ротора. На корпусе упругие элементы фиксируются с помощью специальных металлических обойм. Жесткости опор в горизонтальном и вертикальном направлениях выбраны равными. Ротор приводится во вращение электродвигателем постоянного тока 4 с помощью муфты 5, допускающей возможности компенсации несовпадения осей вращения.

Рисунок 1. - Экспериментальный стенд для исследования автобалансира жесткого ротора на упругих опорах:
1 – ротор; 2 – корпус; 3 – резиновые опоры; 4 – двигатель; 5 – муфта; 6 – маятники; 7 – добавочный груз; 8 –тензорезисторы; 9 – тензоусилитель; 10 – осциллограф; 11 – тахогенератор; 12 – стробоскопический тахометр; 13 – фотодатчики

Электродвигатель жестко крепится в корпусе, расположенном на бетонном основа­нии. Неуравновешенность ротора создается путем установки на роторе добавочного груза 7. На вале ротора, вблизи упругих опор, с их внешних сторон попарно устанавливались, с возможностью свободного вращения, четыре одинаковых маятника 6. Такое число маятников вызвано необходимостью компенсации динамической неуравновешенности ротора с четырьмя степенями свободы. Каждый маятник состоит из подшипника качения, втулки и стержня с резьбой для установки грузов с целью изменения моментов инерции маятников. Эффективность балансировки оценивается по нагрузкам в опорах, для измерения которых использованы тензодатчики 8, наклеенные на поперечины крепления опор ротора, тензоусилитель 9 и светолучевой осциллограф 10. Тарировка осу­ществлялась с помощью нагрузочного устройства и динамометра (на рис. 1 не показаны). Частота вращения маятников и ротора фиксировалась фотодатчиками 13. Для наблюдения за положением маятников и измерения угловых скоростей ротора и маятников применялся стробоскопический тахометр 12.

 Масса и моменты инерции ротора, жесткости его опор, моменты инерции маятников подобраны таким образом, чтобы обеспечить устойчивость автобалансировочного режима движения. В частности, таковым является условие, согласно которому угловая скорость вращения ротора должна быть больше его критических скоростей [9].

Рисунок 2. - Осциллограммы, на которых зафиксированы частоты вращения маятников, соответствующие первой (а) и второй (б) критическим скоростям ротора

III. Физические эффекты

1. Как показали исследования движения ротора с маятниками при выбранных параметрах имеет место автобалансировочный процесс. Нагрузки в опорах ротора с автобалансиром становились существенно меньше, чем у обычного ротора, а маятники в необходимых пределах реагировали на изменение дисбаланса.

Для реализации автобалансировочного процесса, при увеличении дисбалан­са ротора изменялись моменты инерции маятников. При этом в процессе разгона до рабочей частоты вращения и опреде­ленных соотношениях дисбаланса ротора и моментов инерции маятников, по­следние начинали вращаться с некоторой постоянной угловой скоростью, кото­рая значительно отличалась от угловой скорости ротора. Неоднократные измерения с помощью стробоскопического тахометра показали, что частота такого вращения маятников близка к значениям критических скоростей ротора. С целью проверки данного эффекта первоначально, за счет изменения массы груза на стержнях маятников, был увеличен момент инерции каждого маятника до значения J= 1,55 кгּм². В этом случае, после разгона ротора до угловой скорости ω_р = 466,0 рад/с, маятники совершали только колебания относительно своего положения равновесия. Этот же режим движения имел место при моментах инерции маятников J > 1,45 кгּм².  Когда моменты инерции каждого из маятников составляли значения J=1,45÷0,84 кгּм², ротор после разгона вращался с заданной угловой скоростью, а угловая скорость маятников, достигнув первой критической скорости ротора, оставалась в дальнейшем неизменной. На рис. 2 приведены осциллограммы, где с помощью фотодатчиков зафиксированы частоты вращения ротора и крайнего маятника.

Из осциллограммы (рис. 2а), полученной для последнего случая, видно, что угловая скорость маятников составила ω_м = 165,5 рад/с. С учетом по­грешности эксперимента эта величина близка к значению его первой критиче­ской скорости ω₁ = 176,69 рад/с. При моментах инерции в пределах J=0,84÷0,4050 кгּм²  угловые скорости маятников все время изменялись и измерить их было затруднительно. При значениях моментов инерции маятников в пределах J=0,4050÷0,3060 кгּсм² маятники стали вращаться с постоянной угловой скоростью ω_м = 251,2 рад/с (рис. 2б). Эта величина с практической точностью экспери­мента совпадает со значением второй критической скорости ω₂=274,76 рад/с. После того, как моменты инерции маятников за счет уменьшения массы грузов (m < 0,050 кг) стали меньше J = 0,03060 кгּм², все маятники разогнались до рабочей скорости ротора и начался автобалансировочный режим движения.

Рисунок 3. - Динамическая  модель  жесткого  ротора  на упругих  опорах  с автобалансиром маятникового типа

Отметим, что нет такой резкой границы значений масс и моментов инерции маятников, когда, например, при моменте инерции маятников меньше 0,4050 кгּм² имеет место один режим дви­жения, а больше 0,4050 кгּм² – другой не прояляется из-за неидеальности опор, сложного ха­рактера сил сопротивления и других причин, на границах значений имеются зо­ны неустойчивости, в которых вероятен и тот и другой режим движения. В этих зонах или очень медленно устанавливается определенный режим движе­ния, или, после установки одного из режимов движения, следует срыв и начи­нается другой.

2. Особый интерес представляют результаты наблюдений с помощью стробо­скопического тахометра за положением маятников по отношению друг к другу при их вращении с угловыми скоростями, близких к критическим скоростям ротора. Когда ротор достигает заданной рабочей частоты вращения, а угловая скорость маятников близка к его первой критической скорости, обусловленной линейными колебаниями ротора, то все четыре маятника направлены при дви­жении в одну сторону и их положение по отношению к ротору одинаково. Когда же маятники вращаются с угловой скоростью, близкой ко второй критиче­ской скорости, на которой в основном происходят угловые колебания, то маят­ники в разных парах направлены при движении противоположно друг другу. При этом, как показало тензометрирование, в обоих случаях амплитуды колебаний и реакции в опорах ротора возрастают значительно (практически до резонансных значений) и носят характер незатухающих биений, возникающих вследствии наложения колебаний с частотами, равными частотам вращения ро­тора и маятников.

Описанное выше явление или эффект «застревания» маятников обнару­живается также, если при постоянных моментах инерции маятников изменять трение в их опорах (в эксперименте это осуществлялось путем замены смазки в подшипниках опор маятников). Это свидетельствует о зависимости обнаружен­ного явления от соотношения между моментами трения в опорах маятников и их моментами инерции.

IV. Построение математической модели

Для аналитического исследования была выбрана динамическая модель в виде жесткого горизонтального ротора, установленного на упругих изотропных опорах (рис. 3).

При составлении уравнений движения модели во время разгона и в установившемся   режиме   выбирались следующие  обобщенные  координаты:  y,   z   – перемещения точки 0₁ от положения статического равновесия ротора в направлении осей 0_y   и    0_z (0₁– точка пересечения оси ротора с плоскостью, проходящей через его центр масс перпендикулярно оси); θ,  – углы между осью х и проекциями оси ротора на координатные плоскости ху и хz; φ – угол поворота ротора вокруг своей оси; φ₁, φ₂, φ₃, φ₄ – углы поворота маятников. Учет сил сопротивления проведен, исходя из предположения, что рассеивание энергии происходит в основном в упругих опорах и демпфирование носит характер «вязкого» трения. Использовалось также допущение, что двигатель имеет достаточно большую мощность и разгон ротора происходит с постоянным угловым ускорением ε. При этих предположениях и выбранных обобщенных координатах, используя уравнение Лагранжа второго рода, были получены уравнения модели, которые записывались в виде:

,  или  ,                                               (1)

где

;         ;

;

Здесь обозначено: М*=М+4m;  ; M, A, C – масса, экваториальный и полярный моменты инерции ротора; m– масса маятника, а₁, а₂, а₃, а₄ – расстояния от точки 0₁ до точек подвеса маятников; σ_к=1 при k=1, 2 ; σ_к=-1 при к=3, 4; b₁, b₂, b₃ – коэффициенты сопротивления; с₁, с₂, с₃   – коэффициенты жесткости (;  ;  , где k₁, k₂ – коэффициенты жесткости опор); e, δ, γ – характеристики неуравновешенности ротора; М₁, М₂, М₃, М₄ – моменты сопротивления вращению маятников; , ,  – угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение ротора. При разгоне принималось:  ;  ; , а при вращении с постоянной угловой скоростью : ;  ; , где ε – угловое ускорение ротора при разгоне;  – время разгона. При составлении математической модели принималась гипотеза о том, что сопротивление вращению маятников пропорционально скорости, т.е.:

,  ,  ,  ,

где μ – коэффициент пропорциональности.

Для приведения системы (1) к стандартной форме вводились переменные ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,     и уравнения  (1) преобразовывались к виду:

,                                                                       (2)

где  ;

;          ;    

Численное интегрирование системы (2) проводилось методом Рунге-Кутта. Особенностью используемого алгоритма расчета являлось обращение на каж­дом шаге интегрирования матрицы инерции А. При расчете принимались сле­дующие параметры ротора и маятниковых балансиров экспериментального стенда:

Ω=460 pad/c;     ε=230 pаd/c²;    e=25*10^-1 м²;     δ=γ=0;   m=5*10^-2 кг; L₁=L₂=0,8 м; а₁=а₄=0,28 м;  а₂=а₃=0,25 м;   а=0,265 м;  b₁=843,17 H۟ c/м; b₂= –0,47H۟ c;  b₃=10,41H м·с; М=37 кг; A=0,479 кг·м²; С=0,093 кг·м²; L₁=0,165 м;  L₂=0,155 м;   k₁=0,604 ·10⁶H/ м; k₂=0,555 10⁶H/м.

V. Сравнительный анализ результатов

Полученные в результате расчетов значения критических скоростей  соответственно составили:  ω₁ = 176,69 рад/с;  ω₂ = 274,76 рад/с.

В отличие от экспериментальных исследований при моделировании движе­ния ротора с маятниками изменялись не моменты инерции маятников, а момен­ты сопротивления в их опорах за счет изменения коэффициента  μ,   который   варьировал   в   диапазоне  значений   от  0,5ּ10^-3 Нּмּс   до 3ּ10^-2 Нּмּс. По резуль­татам расчета построены кривые, показывающие как изменяются угловые скорости маятников при разгоне (рис. 4). При величине μ < 1ּ10 10^-3 Нּмּс   ротор раз­гоняется до заданной угловой скорости, а маятники колеблются около положе­ния равновесия.

Рисунок 4. - Законы  изменения угловой  скорости маятника при различных моментах сопротивления в его опоре

Если величина μ = (0,5ּ10^-3÷1,0ּ10^-3) Нּмּс, то ротор после раз­гона вращается с заданной угловой скоростью, а угловая скорость маятников (кривая 2, рис. 4) колеблется с малой амплитудой Δω=3,1 рад/с около значения ω_м= 169,6 рад/с,  которое близко к значениям  первой критической скорости ω₁ = 176,69 рад/с.  При   изменении   величины   μ   от 1,0ּ10^-3Нּмּс   до 1,5ּ10^-2Нּмּс угловая скорость маятников (кривая 3, рис. 4) непостоянна, её значение колеблется между величинами первой и второй критических скоростей ротора и маятники в разных парах движутся, располагаясь противоположно друг другу.

При величине μ = (1,5ּ10^-2÷2,0ּ10^-2) Нּмּс  в процессе разгона угловая скорость маятников (кривая 4, рис. 4) колеблется с малой амплитудой Δω=4,6 рад/с около значения ω_м =271,1 рад/с, совпадающего с величиной второй критической ско­рости ω₂ = 274,76 рад/с.  В установившемся режиме движения маятники в разных парах направлены противоположно друг другу, образуя как бы вра­щающуюся по отношению к ротору пару сил. И в том, и в другом случаях «за­стревания» маятников колебания ротора носят характер незатухающих биений, возникающих в результате наложения собственных и вынужденных колебаний, а амплитуды колебаний и реакции  в опорах ротора намного больше, чем у ротора без маятников. Если величина μ = (2,0ּ10^-2÷4,0ּ10^-2) Нּмּс, то угловые скорости маятников (кривая 5, рис. 4) после разгона становятся равными угло­вой скорости ротора и происходит процесс автоматической балансировки. Если же μ >4,0ּ10^-2 Нּмּс, то ротор и маятники после разгона имеют одинаковые уг­ловые скорости, но автоматической балансировки не происходит. Из-за боль­шого трения маятники не могут найти «легкое» место и раздвинуться, чтобы компенсировать дисбаланс. Они занимают каждый раз по отношению к ротору случайное положение и угол между ними равен нулю.

Заключение. Установлено, что у жесткого ротора с четырьмя степенями свободы на упругих изотропных опорах с маятниками для автобалансировки при опреде­ленных значениях моментов инерции маятников и моментов сопротивления их вращению также имеет место, ранее обнаруженное [10], явление, когда ротор вращается с рабочей частотой, а угловая скорость маятников близка к одной из двух критических скоростей ротора, обусловленных, его соответственно линей­ными или угловыми движениями (эффект «застревания»).

Особенности динамических процессов наблюдаемых в режимах изменения форм самоорганизации движений маятников, связаны с проявлениями закономерностей, характерных для перераспределения механической энергии между парциальными системами.

Список литературы

1. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем.  М.: Машиностроение, 1985. 286 с.

2. Бессонов А.П. Основы динамики механизмов с переменной массой звеньев. М.: Наука, 1967. 268 с.

3. Щепетильников В.А. Уравновешивание механизмов. М.: Машиностроение, 1982. 256 с.

4. Рагульскис К.М. Механизмы на вибрирующем основании (Вопросы динамики и устойчивости). Каунас: Ин-т энергетики и электротехники АН Лит. ССР, 1963. 232 с.

5. Левитский Н.И. Колебания в механизмах. М.: Наука, 1988. 358 с.

6. Артюнин А.И. Исследование движения ротора с автобалансировкой // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1993. № 1. С. 15-19.

7. Кобринский А.Е. Механизмы с упругими связями. М.: Наука. 1964, 392 с.

8. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 520 с.

9. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 894 с.

10. Артюнин А.И. Новые явления в автоматической балансировке роторов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 5. С. 207-213.