НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

П. В. Севастьянов, д-р техн. наук,

В. И. Вальковский, аспирант, Могилевский машиностроительный институт

Методика нечетко-интервального имитационного моделирования технико-экономических систем

Предложена методика нечетко-интервального подхода к имитационному моделированию, позволяющая существенно упростить разработку и повысить эффективность моделей. На конкретном методическом примере показаны преимущества разработанной методики по сравнению с традиционным подходом, основанном на методе статистических испытаний.

Введение

В традиционных подходах к имитационному моделированию все неопределенности естественных процессов трактуются в вероятностном смысле, однако на практике это не всегда соответствует природе неопределенностей, часто представляющих собой следствия субъективных оценок. Кроме того, частотные распределения будущих событий, как правило, известны недостаточно точно. Наиболее типична следующая ситуация: частотные распределения некоторых хорошо изученных параметров известны и есть все основания считать, что в будущем они не изменятся; числовые значения других параметров могут быть представлены лишь в форме нечетких или четких интервалов [1] на основе имеющейся объективной информации и экспертных оценок. Нечеткие и четкие интервалы обладают меньшей информативностью (точностью описания), чем частотные распределения, в связи с чем возникает проблема совместного использования в имитационной модели указанных типов неопределенности, математические методы оперирования с которыми принципиально различаются. Ясно, что на практике информативность (точность) результатов моделирования будет определяться точностью ее наиболее неопределенных параметров, поэтому искусственное преобразование интервалов в частотные распределения даст лишь иллюзию точности и методологически не оправданно, поскольку не позволит оценить истинный характер неопределенностей результатов. Очевидно, что в этой ситуации, трансформация частотных распределений в интервалы более методологически обоснованна.

В настоящей статье предложена методика имитационного моделирования, основанная на такой трансформации и позволяющая, используя аппарат нечетко-интервальной математики, значительно упростить как процесс построения имитационных моделей, так и получение с их помощью итоговых результатов.

К достоинствам данного метода относятся отсутствие необходимости в многократных прогонах модели для реализации статистических испытаний: итоговые результаты получаются при одном обращении к модели, что позволяет с помощью данного подхода решать оптимизационные задачи.

Трансформация частотных распределений в нечеткие интервалы

Основой методического базиса теории нечетких множеств является понятие функции принадлежности (в приложениях к задачам оптимизации часто интерпретируется как функция желательности). Последняя является, в определенной степени, обобщением обычной характеристической функции подмножества, непрерывно возрастающей от 0 до 1 при изменении параметра от значений находящихся за пределами подмножества, до значений, наиболее характерных (вероятных, возможных, допустимых и пр.) для данного подмножества. В работе [2] показано, что коренное отличие частотного распределения от функции принадлежности заключается в степени информативности. Так, для задания частотного распределения f(x) требуется, чтобы для каждых двух значений a и b было известно отношение f(a)/f(b), в то время как для математической формализации функции принадлежности µ(x) достаточно качественной информации о том, что, например, значение а более возможно (реализуемо, допустимо, вероятно), чем b. Следует отметить, что именно снижение требований к информативности дает возможность существенно расширить конструктивные возможности теории нечетких множеств, в частности, позволяет сравнительно просто построить арифметику, оперирующую с нечеткими интервалами.

На практике во многих случаях бывает целесообразно даже пожертвовать точностью имеющихся частотных распределений, трансформируя их в нечеткие интервалы в целях получения модели, позволяющей быстро и эффективно решить поставенную задачу. В процессе трансформации желательно сохранить как можно больше информации, характеризующей исходные неопределенности. На рис. 1 схематически показан используемый нами способ такой трансформации, сохраняющий количественную информацию о размерах и расположении на оси доверительных интервалов и качественную информацию о вероятностях. Ясно, что чем гуще сетка α-уровней, тем точнее результат трансформации.

Рис. 1. Трансформация f(x) в µ(x)

Построение нечетко-интервальной модели

В отличие от традиционного подхода к имитационному моделированию при создании нечетко-интервальной модели на первом этапе строится обычная статическая или динамическая модель исследуемой системы в предположении детерминированности всех ее параметров, т. е. при допущении отсутствия неопределенностей. Далее, в соответствии с принципом нечетко-интервального расширения параметры модели заменяются их нечетко или четко-интервальными аналогами и выполняются прямые вычисления нечетких интервалов для выходных переменных модели. При этом используются элементы нечетко-интервальной арифметики.

Выполнение операций над нечетко-интервальными числами сводится к выполнению операций над их α -уровнями. Рассмотрим этот механизм на примере сложения. Пусть существуют нечеткие интервалы A и B, тогда нечеткий интервал C, равный их сумме, можно найти по формуле:

где C_α, A_α, B_α — α-уровни нечетких интервалов C, A и B соответственно, т. е. четкие интервалы с одинаковыми значениями функции принадлежности нечеткому интервалу;  — знак объединения по α-уровням.

Операции вычитания, деления и умножения над нечеткими интервалами выполняются аналогично. В настоящее время существует несколько вариантов интервальной арифметики [3], в простейшем и наиболее распространенном из них соответствующие арифметические операции над четкими интервалами A = [A₁, A₂] и B = [B₁, B₂] выполняются следующим образом:

Для поддержки расчетов по экономико-математическим моделям с нечетко-интервальными параметрами разработано специальное программное обеспечение, реализованное на языке C++ с использованием техники объектно-ориентированного программирования, позволяющее после задания параметров исходных нечетких интервалов (например, в случае трапецеидальных интервалов в четырехреперной форме путем задания опорных точек Х₁, Х₂, X₃, Х₄) в дальнейшем оперировать с ними, как с обычными четкими параметрами в соответствии с правилами обычной математики. Например, пусть имеются два нечетких интервала A = {А₁, А₂, А₃, А₄} и B = {B₁, B₂, B₃, B₄}, которые требуется сложить. Ясно, что результатом будет также некоторый нечеткий интервал C, параметры которого {С₁, С₂, C₃, C₄} находятся по специальным правилам интервальной математики, требующим (особенно для деления интервалов) довольно громоздких вычислений. Разработанное программное обеспечение расширяя, в сущности, возможности C++, позволяет при разработке экономико-математической модели представить математические операции с нечеткими интервалами в привычной форме С = А + В, С = А/В и т. д.

Методический пример

Для обоснования адекватности предлагаемого подхода сопоставим результаты, полученные с использованием данного подхода, с результатами традиционного имитационного моделирования типового процесса снабжения потребителя грузами из нескольких источников.

В качестве примера рассматривалась задача моделирования процесса снабжения асфальтобетонного завода галькой одновременно из трех карьеров (рис. 2).

Рис. 2. Схема снабжения завода галькой

Входными параметрами полагались: время погрузки автомобиля, время разгрузки автомобиля, производительность каждого из карьеров, скорость автомобилей и время простоя в мелком ремонте (устранение неисправности в пути самим шофером).

При использовании традиционного подхода к имитационному моделированию суммарная средняя производительность карьеров принималась равной средней производительности завода. Частотные распределения входных параметров задавались нормальными или равномерными, характеристики распределений (математические ожидания, среднее квадратическое отклонение и пр.) заимствовались из нормативной литературы по дорожному строительству.

В имитационном моделировании для получения значений входных параметров использовались генераторы случайных чисел с соответствующими законами распределения.

В процессе прогонки модели имитировалась работа предприятия в течение 1000 рабочих дней, что позволило получить частотные распределения выходных параметров (суммарное время простоя автомобилей на погрузке в карьерах и на заводе, суммарное время ремонтов автомобилей и пр.) с достоверной точностью.

При решении поставленной задачи методом нечетко-интервальной математики вначале была построена детерминированная балансовая модель процесса снабжения завода галькой из трех карьеров:

где S₁, S₂, S₃ — расстояния от завода до первого, второго и третьего карьеров соответственно, км; a₁, а₂, а₃ — производительности первого, второго и третьего карьеров соответственно, т/ч; t_п — время погрузки, мин; t_раз — время разгрузки, мин; c — грузоподъемность одного грузовика, т; st₀ — стоимость перевозок, тыс. руб./(т • км); r₀ — нормативный коэффициент ремонта, мин ремонта/ч работы автомобиля;  — скорость автомобиля при перевозке, км/ч; t_рд — продолжительность рабочего дня за вычетом времени обеденного перерыва, мин; t₁, t₂, t₃ — время, необходимое для погрузки, перевозки, разгрузки и возвращения в карьер для первого, второго и третьего карьеров соответственно, мин; n₁, n₂, n₃ — число рейсов, совершаемых за рабочий день из первого, второго и третьего карьеров соответственно; t_перв — время от начала рабочего дня до разгрузки первого автомобиля на заводе, мин; t_пр — время простоя заво­да в течение рабочего дня из-за отсутствия гальки, мин; st — стоимость перевозок, совершенных за весь рабочий день, тыс. руб.; r — общая продолжительность мелкого ремонта в течение рабочего дня, мин;  — общее время простоя автомобилей на погрузке и в очереди на погрузку, мин;  — общее время простоя автомобилей на разгрузке и в очереди на разгрузку, мин.

Для примера рассмотрим результаты расчета суммарной (за один рабочий день) продолжительности ремонтов (рис. 3). Частотное распределение суммарной продолжительности ремонтов (на рис. 3 нормировано на 1) было получено при прямом использовании исходной имитационной модели; со­ответствующие нечеткие интервалы получены и при расчете с использованием нечетко-интервального расширения модели.

Рис. 3. Результаты моделирования продолжительности ремонтов:

I — традиционная имитационная модель; 2 — нечетко-интервальная модель

Как видно на рис. 3, результаты, полученные с использованием традиционного и нечетко-интервального подходов весьма близки, что говорит о достаточной точности предлагаемой методики. Следует отметить, что наиболее возможное значение, полученное при использовании имитационной модели, может не всегда совпадать с наиболее возможным значением, рассчитанным с применением нечетко-интервальной математики.

Расхождение зависит в основном от допущений, принятых при создании балансовой модели. В случае, если балансовая модель точно описывает реальную модель, наиболее возможные значения, полученные при применении различных методов, будут совпадать.

* * *

Как свидетельствуют полученные результаты, нечетко-интервальный подход, основанный на нечетко-интервальном расширении детерминированной балансовой модели исследуемой технико-экономической системы, позволяет получать результаты практически той же точности, что и прямое имитационное моделирование.

В то же время нечетко-интервальный метод моделирования реальных процессов обладает рядом преимуществ по сравнению с общепринятым имитационным подходом. К этим преимуществам относятся:

·        возможность моделирования в случаях со сложным частотным распределением исходных параметров или неизвестным частотным распределением (в последнем случае можно использовать нечеткие интервалы, построенные на основе экспертных оценок);

·        значительная экономия машинного времени и ресурсов;

·        простота в использовании;

·        большая гибкость (при изменении реальной модели достаточно изменить формулы расчета);

·        возможность учитывать маловероятные события и крайние значения случайных переменных;

·        возможность напрямую ставить и решать оптимизационные задачи с использованием нечетко-интервальных расширений соответствующих детерминированных постановок этих задач.

Наш опыт использования разработанных методик и программного обеспечения для финансово-экономического анализа в условиях неопределенности в инвестиционном проектировании и транспортно-сбытовой логистике позволяет судить о их достаточно универсальном характере и возможности использоваться практически для любых типов экономико-математических моделей [4—7].

Список литературы

1. Кофман А., Хил Алуха X. Введение теории нечетких множеств в управление предприятиями. Минск: Вышейшая школа, 1992. 216 с.

2. Yager R. A foundation for a theory of possibility // J. Of Cybernetics. 1980. Vol. 10. N 1-3. P. 177-209.

3. Калмыков С. А., Шокии Ю. И., Юлдашев 3. X. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. 223 с.

4. Севастьянов П., Севастьянов Д. Оценка финансовых параметров и риска инвестиций с позиций теории нечетких множеств // Надежные программы. 1997. № 1. С. 10—18.

5. Севастьянов П., Севастьянов Д. Методическое и программное обеспечение финансово-экономического анализа в условиях неопределенности исходных данных // Первый Белорусский Форум "Информационно-аналитические системы в финансовой деятельности". Тез. докладов. Минск, 1997. С. 50—55.

6. Севастьянов П. В., Севастьянов Д. В. Оптимизация финансовых параметров инвестиций в условиях неопределенности // Управление капиталом. 1998. № 1. С. 33—37.

7. Гриневич М., Севастьянов П., Степанов Д. Оптимизационно-логистическая задача максимизации дохода дистрибьютора в условиях нестатистической неопределенности // Риск. 1997. № 3-4. С. 113-115.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, № 6, 1999

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Ключевые слова: Имтационное моделирование, частотные распределения, нечёткие интервалы, функция принадлежности, α - уровни.