НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

     АЛГОРИТМ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА РАСЧЕТА

        ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКИХ ПРОБНЫХ СТЕКОЛ И

         ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ КАРТИН ПРИ КОНТРОЛЕ

АСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Кузьмин Владимир Георгиевич

средняя школа № 17, 11 класс

Научный руководитель:

Лазарева Наталия Леонидовна,

кандидат технических наук,

доцент кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований»

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Введение

Каждая изготовленная оптическая поверхность должна соответствовать уравнению, которым она теоретически описывается. Для контроля правильности формы плоских и сферических поверхностей используют плоские и сферические пробные стекла, которые имеют образцовую поверхность нужной формы.

Контроль формы асферических поверхностей иногда выполняют асферическими пробными стеклами. Но это бывает не всегда, так как изготовление и аттестация асферического пробного стекла вызывает трудности в производстве. Когда асферическая поверхность имеют небольшие отступления от сферы, то ее можно контролировать сферическими пробными стеклами. О таком способе контроля написано в статье [1] и в книге[2]. Приведенная в [1] и [2] информация не позволяет однозначно ответить на вопрос о возможности контроля определенных асферических поверхностей сферическими пробными стеклами.

Цель работы - разработка алгоритма и компьютерной программы для оперативного расчета параметров сферического пробного стекла, которое будет использоваться при контроле формы асферических поверхностей, мало отличающихся от сферы. Актуальность работы обоснована тем, что в литературе нет подробных сведений об алгоритме расчета пробного стекла и интерференционной картины, а также о программах для таких расчетов. Работа ориентирована на использование в учебном процессе кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований».

В таблице 1 приведены данные выпуклых поверхностей, подлежащих контролю.

Таблица 1.

Диаметры предложенных асферических поверхностей не больше, чем диаметры сферических пробных стекол (в промышленности используют пробные стекла диаметром до 130 мм). Поэтому вполне вероятно, что форма этих поверхностей может быть проверена пробными стеклами.

В книге [3] сказано, что асферические поверхности второго порядка принято описывать уравнением вида:

x² + y² + a₁ z + a₂ z ² = 0                                                                                 (1)

Вершина поверхности в таком случае лежит в начале  декартовой системы координат, ось z  - ось симметрии.

Коэффициенты уравнения (1) связаны с параметрами поверхностей (r_o – радиус кривизны при вершине поверхности, е – эксцентриситет) следующими зависимостями:

a₁= - 2r_o,                                                                                                        (2)

a₂ = - (e²-1).                                                                                                    (3)

Сфера также является поверхностью  второго порядка, причем ее эксцентриситет равен нулю. Тогда уравнение сферы будет:

x² + y² - 2rz + z ² = 0                                                                                       (4)

У сферы нет радиуса при вершине, есть просто радиус. Поэтому в уравнении сферы принято заменять r_o на r.

Чем больше эксцентриситет е асферической поверхности отличается от сферы, тем больше он отличается от нуля. Когда эксцентриситеты 0<e<1, то такие асферические поверхности называются эллипсоидами. При e = 1 асферическая поверхность называется параболоидом, а при e>1 - гиперболоидом. Очевидно, что меньше всего отличаются от сфер эллипсоиды (именно эллипсоиды даны в таблице 1).

В работе [1] сказано, что метод сферических пробных стекол для контроля асферических поверхностей осуществляют следующим образом.

На измеряемую асферическую поверхность накладывается специально подобранное сферическое пробное стекло. Затем помещают контролируемую деталь с пробным стеклом на столик измерительного микроскопа, освещая их параллельным пучком монохроматического света. Тогда в воздушном зазоре между эталонной и контролируемой поверхностями возникает интерференционная картина в виде светлых и темных колец. С помощью измерительного микроскопа измеряют диаметры светлых колец и сравнивают замеренные значения с теоретическими. Если замеренные и теоретические значения совпадают, то асферическая поверхность изготовлена правильно. Если есть разница, то по ней вычисляют отступления изготовленной асферической поверхности от идеальной.

Чтобы все кольца интерференционной картины можно было видеть раздельно, нужно так подобрать радиус сферического пробного стекла, чтобы толщина воздушного зазора была минимально возможной. Затем из ГОСТ 1807 «Радиусы сферических поверхностей оптических деталей» нужно выбрать наиболее подходящие радиусы кривизны для пробных стекол и вычислить координаты у интерференционных максимумов и ширину каждого интерференционного кольца.

В книге [3] написано про понятие «ближайшая сфера». В случае выпуклой асферической поверхности ближайшая сфера касается ее в вершине и по окружности, которая располагается на краю поверхности. Когда асферическая поверхность вогнутая, то ближайшая сфера касается ее по окружности, координаты которой x_o,  y_o  и  z_o.

Для вывода расчетных формул перейду из трехмерного пространства в плоскость yoz. Тогда вместо асферических поверхностей будут их сечения: эллипс, парабола или гипербола. Сечение сферы - окружность.

Уравнение плоского сечения асферической поверхности:

y² - 2r_o z - (e²-1) z ² = 0                                                                                    (5)

Уравнение окружности:

y² - 2r z  + z ² = 0                                                                                            (6)

Так как ближайшая сфера и выпуклая асферическая поверхность контактируют в вершинах и по краю, решаю систему уравнений (5) и (6), считая, что у них общие точки с координатами: y = 0 ; z=0 и y = y_кр; z = z_кр,  а также известны r_o и  e. Координата y_края = D/2.

Из уравнения (5) нахожу z_кр. Когда е ¹ 1, то z_кр нахожу как корни квадратного уравнения по формуле:

z_кр  = {-r_o±Ö [r_o² + (e²-1) y²_кр]} / (e²-1);                                                           (7)

Здесь физический смысл имеет знак «+» перед подкоренным выражением.

Если е = 1, то формула приобретает другой вид:

z_кр  = y² _кр /2r_o;                                                                                                 (8)

Затем, подставив в уравнение (6) y_кр = D/2 и z_кр, нахожу r_{б с} ближайшей сферы по формуле:

r_{б с} = (y²_кр + z²_кр)/ 2z_кр .                                                                                               (9)

По формулам из книги [3] вычисляю координаты точки на сечении асферической поверхности, которая дальше всех отстоит от сечения ближайшей сферы:

z_o =( r_{б с} - r_o) / e²;                                                                                            (10)

y_о =Ö [2r_o z_о + (e²-1) z_о ²].                                                                               (11)

Затем по ГОСТ 1807-75 подбираю значение радиуса пробного стекла, которое по абсолютной величине меньше, чем радиус ближайшей сферы. В таком случае при касании пробного стекла и асферической поверхности по краю на оси получится небольшой воздушный зазор. Тогда необходимо записать уравнение окружности, которая является сечением поверхности пробного стекла, в смещенной системе координат, по отношению к системе yoz, в которой задано сечение асферической поверхности. Эта новая система координат смещена только по оси z на расстояние -d. Пользуясь приемом переноса координат, записываю уравнение окружности в той же системе координат, что и уравнение сечения асферической поверхности:

y² - 2r_{п с} (z±d) + (z±d) ² = 0^.                                                                             (12)

В данном случае перед d использую знак «-».

Поверхности пробного стекла и асферическая касаются по краю, поэтому из уравнения (12) нахожу неизвестное значение d:

d² - 2(z _кр -r_{п с} )d+е² z²_кр -2(r_{п с}- r_o) z_кр =0;                                                        (13)

d= (z _кр -r_{п с})±Ö [(z _кр -r_{п с)}² - е² z²_кр+2(r_{п с}- r_o) z_кр].                                            (14)

В формуле (14) перед подкоренным выражением использую знак «+», так как только в таком случае при подстановке в это выражение вместо r_{п с} радиуса ближайшей сферы r_{б с}  получится d=0.

Самый большой воздушный промежуток между выпуклой асферической поверхностью и пробным стеклом получается там, где у асферической поверхности координаты z_o и у_o, которые были найдены по формулам (10) и (11). Толщина этого воздушного промежутка - это разность координат:

d_max = z_{o п с­}  - z_o.                                                                                                            (15)

Координату  z_{o п с}  нахожу из уравнения:

z²_{o п с} - 2(d+r_{п с}) z_{o п с} +d² +y²_o­­+ 2r_{п с} d =0,                                                        (16)

z_{o п с} = (d+r_{п с}) ±Ö [(d +r_{п с)}² - d² -y²_o ^- 2r_{п с} d ].                                                   (17)

В последней формуле перед подкоренным выражением беру знак «-», так как именно он дает результат, который имеет физический смысл.

Ближайшая сфера и вогнутая асферической поверхность касаются по некоторой окружности, которая лежит не на краю поверхности, а на ее зоне, причем в плоскости yoz  точка касания определяется координатами z_о и y_о. Из книги [3] следует, что координату y_о нужно находить по формуле (11), а координату z_о по другой формуле:

z_o =( r’ - r_o) / e².                                                                                             (18)

При расчете радиуса ближайшей сферы для вогнутой асферической поверхности вначале необходимо вычислить некоторый абстрактный радиус r’, формула для которого аналогична формуле (9). В данном случае она примет такой вид:

r’ = (y²_кр + z²_кр)/ 2z_кр .                                                                                     (19)

Вычислив по формуле (19) значение r’, подставляю его в формулу (18). Затем по формуле (11) вычисляю y_о. Значение радиуса кривизны ближайшей сферы к вогнутой поверхности вычислю по формуле:

r_{б с} =Ö (r_o² + e² y_o²).                                                                                        (20)

Вогнутая асферическая поверхность не контактирует с ближайшей сферой в вершине. Здесь образуется зазор толщиной d, которую определяю по формуле (14), подставляя в нее координаты z_о и y_о вместо координат края z_кр и y_кр.. В результате получаю формулу:

d= - (z_о -r_{б с})±Ö [(z _о -r_{б с)}² - z²_о -y²_о -2r_{б с} z_о ].                                                    (21)

Когда из ГОСТ 1807-75 выбрано значение радиуса пробного стекла, которое должно быть по абсолютной величине больше радиуса ближайшей сферы, то величина воздушного промежутка немного изменится. В этом случае новое значение d вычислю по формуле (22), которая по структуре аналогична формуле (21):

d= - (z_о -r_{п с})±Ö [(z _о -r_{п с)}² - z²_о -y²_о +2r_{п с} z_о ].                                                  (22)

Перед подкоренным выражением в формулах (21) и (22) нужно использовать знак «-», так как именно он имеет физический смысл. Вычисленные по формулам (21) и (22) значения толщины d определяют расстояние, на которое перенесена система координат окружности. Уравнение ближайшей окружности с учетом переноса системы координат записываю в этом случае аналогично уравнению (12), причем перед d стоит знак «+».

Максимальная толщина воздушного промежутка здесь будет на краю, поэтому эту толщину определяю как разность  координат z на краю асферической поверхности и пробного стекла:

d_края = z_{кр п с.} -  z_кр.                                                                                           (23)

Подставив координату у_кр асферической поверхности и d, вычисленное по формуле (22), получаю формулу для расчета координаты z_{кр п с} :

z_{кр п с} = (d+r_{п с}) ±Ö [(d+r_{п с)}² - d² -y²_кр -2r_{п с} d ].                                                 (24)

Физический смысл имеет знак «-» перед подкоренным выражением.

Из статьи [1] и книги [2] известно, что интерференционная картина в виде колец образуется в воздушном зазоре между измеряемой асферической поверхностью и образцовой сферой пробного стекла. Интерференционные кольца имеют различную ширину (расстояние между соседними интерференционными максимумами). Как было сказано выше, необходимо измерить координаты интерференционных максимумов. Эти возможно лишь в том случае, если все кольца имеют достаточную для их разрешения ширину. Поэтому нужно вычислить ширину каждого кольца и число нтерференционных колец в поле интерференции. Для решения этой задачи нужно получить формулы, которые свяжут координаты измеряемой асферической и образцовой сферы с  шириной интерференционных колец и их числом.

Из книги [2] возьму формулу для расчета ширины b интерференционного кольца c порядковым номером m, причем значения  могут быть только целыми числами 0, ±1, ±2, ±3, ±4:

b_m= l y_m / 2d_m.                                                                                                (25)

В этой формуле: l - длина волны используемого света; y_m - текущая координата по оси y, которая одинакова для обеих поверхностей; d_m - текущая величина воздушного промежутка между поверхностями, которая отсчитывается вдоль оси z.

Чтобы найти текущее значение d_{m ,} нужно при одинаковых значениях y_m вычислить текущие координаты z_{m п с} пробного стекла и z_{m а п}  асферической поверхности. Тогда:

d_m = z_{m п с­}  - z_{m а п}                                                                                              (26)

Если сравнить формулу (26) с формулами (15) и (23), то видно, что они имеют одинаковый вид. Важно то, что толщина d_m не любая, а соответствующая одному из интерференционных максимумов. Для расчета толщин воздушных промежутков, которые соответствуют интерференционным максимумам, использую известное условие максимумов интерференции:

ml =2d_m,                                                                                                        (27)

d_m = ml /2.                                                                                                     (28)

Формулу (28) можно записать в виде:

z_{m п с­}  - z_{m а п} = ml / 2.                                                                                       (29)

Входящие в выражение (29) координаты по оси пробного стекла и асферической поверхности соответствуют только максимумам интерференции. Теперь нужно найти те общие для пробного стекла и асферической поверхности координаты y, которые будут соответствовать максимумам интерференции.

Составлю систему уравнений, которые определяют профили асферической поверхности и пробного стекла, записав их в одной системе координат, начало которой совпадает с вершиной асферической поверхности:

y² _{а п}  - 2 r_o z _{а п} - e²   z² _{а п} +z² _{а п} = 0;                                                                 (30)

y² _{п с}  - 2 r _{п с} (z _{п с} ±d) + (z _{п с} ±d)² = 0.                                                              (31)

В уравнении (31) параметр d - это смещение вершины сферической поверхности пробного стекла с начала системы координат, в которой записано уравнение асферической поверхности. Оно рассчитано ранее, после того, как из ГОСТа выбран радиус кривизны пробного стекла. В случае выпуклой асферической поверхности расчет d выполняем по формуле (14), а в случае вогнутой асферической поверхности - по формуле (22).

В этих уравнениях: y _{а п} = y_ап. Кроме того, с учетом условия максимумов интерференции:

z _{m а п} = z _{m п с}  -  ml / 2.                                                                                    (32)

После вычитания из уравнения (31) уравнения (30) с учетом (32) получаю уравнение для вычисления координат асферической поверхности по оси z, при которых будут интерференционные максимумы. Это будет квадратное уравнение типа A z²_{m а п} + Bz_{m а п} +С= 0, коэффициенты которого можно вычислить по следующим формулам.

При выпуклой асферической поверхности:

A = e²;                                                                                                           (33)

B = -2 (r_пс-r_o+ d)-ml;                                                                                     (34)

C= d²+ d(2(- r_{п с})- ml )- r_{п с} ml -( ml)²/4.                                                        (35)

При выпуклой асферической поверхности:

A = e²;                                                                                                           (36)

B = -2 (-r_пс+ r_o- d)+ml;                                                                                  (37)

C= d²- d(2(- r_{п с})+ ml )- r_{п с} ml -( ml)²/4.                                                        (38)

Тогда после расчета коэффициентов квадратного уравнения получаю формулу для вычисления координат z_{а п} :

z _{m а п} =[ -B±Ö ( B² - 4 A C)]/(2 A).                                                                   (39)

Когда асферические поверхности выпуклые, то в формуле (39) перед подкоренным выражением нужно использовать знак «+». При вогнутых асферических поверхностях используется знак «-». Так как коэффициенты B и C содержат переменный параметр m , то для разных значений m, мы получим набор координат: z_{0 а п}, z_{1 а п}, z_{2 а п}  и т.д., которые будут соответствовать интерференционным максимумам. По полученным из (39) значениям легко вычислить координаты y_{m а п}, которым соответствуют максимумы. Это делаю по формуле:

y_{m а п} =±Ö [2 r_o z_{m а п}  + (e²-1) z²_{m a п}].                                                               (40)

Если известны теоретические значения координат всех максимумов по оси y, то можно вычислить ширину каждого кольца по формуле:

b_m = y_{(m+1) а п} - y_{m а п.}                                                                                        (41)

В эту формулу следует последовательно подставлять координаты последующего и предыдущего интерференционных максимумов. Полученные по формуле (41) значения необходимы для решения вопроса о том, будут ли видны через микроскоп раздельно соседние кольца. В книге [2 ] сказано: если b_m <0,1 мм, то контроль становится ненадежным.

Значения координат  z_{п с}  вычисляю по следующей формуле, в которую подставляю y_{m а п,}  вычисленные по формуле (37):

z _{m п с} = - (d- r_{п с}) ±Ö [(d- r_{п с})²- y²_{m а п} - d² + 2 d r_{п с}]                                          (42)

Окончательно определяю разность координат ( z_{m п с} -  z_{m а п} ) по оси z, которая должна быть в тех местах, где наблюдаются интерференционные максимумы. Это теоретические значения.

Проведенные по полученным формулам расчеты показали, что для выпуклой и вогнутой асферических поверхностей получается разный подход к назначению порядков интерференции. При выпуклой асферической поверхности толщина воздушного зазора нулевая на краю, затем она увеличивается к вершине поверхности. Это нужно учитывать при задании значений m - порядков интерференции. Поэтому на краю асферической поверхности порядок интерференции нужно задавать нулевым: m=0. Далее нужно увеличивать значения порядков интерференции, придавая им отрицательный знак.

Когда асферическая поверхность вогнутая, то толщина воздушного зазора нулевая там, где y _{а п} = y_о. Поэтому именно здесь будет нулевой порядок интерференции (m=0). К краю асферической поверхности толщина воздушного зазора увеличивается, поэтому от y_о до y_кр порядок интерференции также увеличивается, причем значения m должны быть положительными. К вершине асферической поверхности толщина воздушного зазора вновь растет. Однако, здесь значения порядков интерференции вновь растут, но они отрицательны.

После разработки алгоритма анализа особенностей расчета была разработана компьютерная программа «Интерференционный метод контроля асферических поверхностей сферическими пробными стеклами». Она состоит из меню, текстовых файлов, рисунков и расчетных программ. Она составлена на языке программирования BORLAND PASCAL и ориентирована на работу в операционных системах MS-DOS и WINDOWS. Программа снабжена интерфейсом, который требует от пользователя основных навыков работы с компьютером и включает меню, текстовые файлы, рисунки и расчетные программы.

При обращении к программе через исполняемый файл «start.exe» на экране дисплея появляется заставка с названием. В нижней части экрана помещена надпись, которая предлагает пользователю нажать клавишу <ENTER>. В этом случае пользователь обращается к текстовому файлу, где даны краткие сведения о программе и общих приемах работы с ней. Так как текст полностью в окне не помещается, то здесь организована прокрутка текста. При следующем нажатии клавиши <ENTER> пользователь попадает в главное меню программы.

Главное меню программы включает три основных пункта и пункт «ВЫХОД», который обеспечивает выход из программы. На рис.1 показана структурная схема программы, на которой видны все пункты меню и связи между ними.

Рис. 1. Структурная схема программы

Вид экрана с меню программы показан на рис. 2. Установив курсор на какой-либо пункт главного меню и нажав клавишу <ENTER>, пользователь получает доступ к информации.

Через первый пункт главного меню пользователь обращается к текстовому файлу с рисунками. Через второй и третий пункты главного меню пользователь выходит в меню второго уровня, каждое из которых содержит по четыре одинаковых пункта. Первый пункт меню второго уровня называется «ТЕОРИЯ» и позволяет вызвать текстовый файл с рисунками. Названия трех последующих пунктов меню второго уровня начинается со слова «ПРОГРАММА». Каждый из пунктов этого меню обеспечивает вызов своей программы для расчета определенных параметров и характеристик, например, параметров ближайшей сферы или характеристик интерференционной картины.

Рис. 2. Вид экрана меню программы

Рис. 3. Вид экрана при выборе способа задания данных

Рис. 4. Вид экрана при вводе данных

Во всех текстовых файлах организована прокрутка текста и смена рисунков. Также всегда в нижней части экрана имеется строка, где указаны все действия пользователя.

Форму контролируемой асферической поверхности: здесь можно задать либо ее параметрами, либо коэффициентами уравнения. Пользователь сам выбирает способ ввода исходных данных. Окно ввода данных содержит «ПОМОЩЬ», а также указания в отношении возможных значений и формата вводимых чисел. Вид экрана при вводе данных представлен на рис.3.

На рис.4 показано окно ввода данных, а на рис. 5 окно с  результатами расчета интерференционной картины.

Рис. 5. Вид экрана после расчета по программе

Основные файлы программы и их назначение представлены в таблице 2:

Таблица 2

При разработке программных модулей, которые предназначены для расчета параметров интерференционных картин, было обнаружено, что для показа всех результатов в ряде случаев не хватает высоты экрана. Поэтому здесь организована прокрутка экрана с результатами. Формат числовых величин, которые вводятся в программу и выводятся в качестве результатов, выбран с учетом необходимой точности расчетов.

При работе с программой стало ясно, что она достаточно удобна для пользователей. Достоверность результатов расчетов по программе проверена на практике, путем сравнения этих результатов с вычислениями по программе EXCEL. К недостатку программы следует отнести то, что в нее пока не помещен банк данных по радиусам кривизны сферических поверхностей. Поэтому при выборе радиуса пробного стекла пользователь вынужден пользоваться ГОСТ 1807-75.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы сделано следующее:

·          изучен метод контроля асферических поверхностей, которые мало отличаются от сфер, методом сферических пробных стекол;

·          разработаны алгоритмы, позволяющие рассчитывать параметры ближайшей сферы, а также характеристики интерференционной картины;

·          разработана удобная для пользователей компьютерная программа, которая позволяет автоматизировать процесс расчета.

Анализ результатов работы показал, что:

·          разработанные алгоритмы верны;

·          программа удобна в использовании и успешно решает поставленную задачу;

·          недостатком программы, который следует устранить впоследствии, следует отнести отсутствие в ней встроенного банка значений радиусов кривизны пробных стекол;

·          разработанные алгоритмы и программа могут использоваться в учебном процессе кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований».

Список литературы

1.        Карлин О.Г., Сюткин В.А. Применение сферических и асферических пробных стекол для контроля асферических поверхностей / Оптико-механическая промышленность - № 3, 1972.

2.        Кривовяз Л.М., Пуряев Д.Т., Знаменская М.А. Практика оптической измерительной лаборатории. - М: Машиностроение, 1974.

3.        Пуряев Д.Т. Методы контроля оптических асферических поверхностей. - М: Машиностроение, 1976.

4.        Фаронов В.В. Программирование на персональных ЭВМ в среде ТУРБО-ПАСКАЛЬ. - М.: МГТУ, 1990.