НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК: 512.54.05

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

olga.kulikova@mail.ru

Проблема сопряженности – одна из трех фундаментальных алгоритмических проблем теории групп, поставленных М. Дэном в 1912 году. Эта проблема получила отрицательное решение в работе П.С. Новикова, который в 1955 году построил пример конечно определенной группы с неразрешимой проблемой равенства слов, тем самым доказав и неразрешимость проблемы сопряженности слов в классе конечно определенных групп. После этого усилия были направлены на изучение проблемы сопряженности в конкретных классах конечно определенных групп и в их подгруппах. В 1971 году К.Ф. Миллер III построил пример подпрямого произведения свободных групп, в котором не разрешима проблема сопряженности. В данном примере подпрямое произведение почти никогда не является конечно представленной подгруппой. В 2000 году Дж. Баумслаг и др. доказали, что существует гиперболические группы без кручения, в прямом произведении которых есть конечно представленная подгруппа с неразрешимой проблемой сопряженности. В 2009 году для  прямого произведения  свободных групп и групп поверхностей М.Р. Бридсон и К.Ф. Миллер Ш доказали, что в любой конечно представленной подгруппе такого прямого произведения разрешима проблема сопряженности. Данная работа является продолжением работы, в которой проблема сопряженности в подпрямых произведениях изучалась с помощью картинок, и в которой, в частности, было получено, что разрешимость проблемы сопряженности в подпрямых произведениях следует из аторичности и из условия малых сокращений C(6).  Картинки являются геометрическими объектами двойственными к диаграммам ван Кампена.  В 1968 году П. Шупп первым использовал диаграммы ван Кампена для решения проблемы сопряженности в группе при наложении неметрических свойств C(p) и T(q). В настоящей работе доказано, что при условии аторичности и условии C(4)-T(4) или  C(3)-T(6) проблема сопряженности в подпрямых произведениях разрешима. В работе также получено достаточное условие для разрешимости проблемы сопряженности в подпрямых произведениях, выраженное только с помощью условий малых сокращений.

Список литературы

1.               Miller III C.F. On group-theoretic decision problems and their classification. Princeton University Press, 1971. 116 p. (Annals of Mathematics Studies; no. 68.).

2.               Baumslag G., Bridson M.R., Miller III C.F., Short H. Fibre products, non-positive curvature and decision problems // Comm. Math. Helv. 2000. № 75. P. 457-477.

3.               Bridson M.R., Miller III C.F. Structure and finiteness properties of subdirect products of groups // Proc. London Math. Soc. 2009. № 98 (3). P. 631-651.

4.               Куликова О.В. О проблеме сопряженности в группе F/N_1∩N_2 // Математические заметки (в печати).

5.               Kulikova O.V. On the conjugacy problem in group F/N_1∩N_2. Режим доступа: arXiv:1109.1254v1 [math.GR] (дата обращения 01.02.2013).

6.               Линдон Р., Шуп П. Комбинаторная теория групп: пер. с англ. Ю.А.Бахтурина / под ред. В.Н. Ремесленникова, В.А. Романькова. М.: Мир, 1980. 447 с. [LindonR.S., SchuppP.E. Combinatorialgrouptheory. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - NewYork, 1977.]

7.               Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 446 с.

8.               Pride S.J. Identities among relations of group presentations // in: E. Ghys, A. Haefliger, A. Verjovski, eds. Proceedings of the Workshop on Group Theory from a Geometrical Viewpoint. Singapore: World Scientific Publishing, 1991. P. 687-717.

9.               Bogley W.A., Pride S.J. Calculating Generators of π_2 // Two-dimensional Homotopy Theory and Combinatorial Group Theory / C. Hog-Angeloni, W. Metzler, A.J. Sieradski, eds. Cambridge: Cambridge University Press. 1993. (London Math. Soc. Lecture Notes Ser.; vol. 197), pp. 157-188.

10.            Guti'errez M.A., Ratcliffe J.G. On the second homotopy group // Quart. J. Math. Oxford. 1981. Vol. 32, iss. 1. P. 45-55. DOI: 10.1093/qmath/32.1.45 

11.            Kulikova O.V. On intersections of normal subgroups in free groups // Algebra and discrete mathematics. 2003. No 1. P. 36-67.

12.            Безверхний Н.В. Разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группе с условием С(6) // Фундаментальная и прикладная математика.1999. Т. 5, № 1. С. 39-46.

13.            Безверхний Н.В. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием С(3)-Т(6) // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. Журн. (в печати)

14.            Безверхний В.Н., Паршикова Е.В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группе с условием С(4)-Т(4). Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп // Межвузовский сборник научных трудов. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. 2001. С. 120-139.

15.            Безверхний Н.В. Трансляционные числа и проблема корня в группах с условием С(3)-Т(6) // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 5-12.

16.            Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Proc. of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2). 1992. Vol. 35, iss. 1. P. 1-39. DOI: 10.1017/S0013091500005290

17.            Куликова О.В. Об аторических относительных копредставлениях // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э.Баумана. Электрон. Журн. 2011. № 11. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/251232.html  (дата обращения 11.11.2011)