Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Сравнительный анализ численных и алгебраических методов автоматизированного расчета оптических систем в параксиальной области

# 03, март 2013
DOI: 10.7463/0313.0548050
Файл статьи: Острун_P.pdf (280.16Кб)
авторы: Острун А. Б., Иванов А. В.

УДК 535.317.22

Россия, СПб НИУ ИТМО

Alexostr@yandex.ru

ivanov@mail.ifmo.ru

 

Одним из  важных этапов проектирования оптических систем является стадия параметрического синтеза («габаритного расчета») в гауссовой области. При реализации указанного этапа необходимо определить параметры оптических сил и расположения компонентов оптической системы.

Эта задача сводится к проблеме составления и решения систем уравнений и неравенств относительно неизвестных параметров схемы.

Зависимость выражений для параксиальных функций от структуры оптической схемы и способа выбора параметров сильно усложняет процесс автоматизированного формирования и последующего решения систем уравнений [1]. Поясним сказанное на примере. Известно, что оптическая сила системы двух бесконечно тонких компонентов  связана с оптическими силами компонентов  и расстоянием d между ними следующим образом:

Если в качестве переменной  выбрать оптическую силу первого компонента, то функция заднего фокального отрезка имеет вид:

                                                      (1)

где  .

Если же в качестве переменной взять осевое расстояние между компонентами, то выражение для функции (1) формально не изменится, но значения коэффициентов будут определяться совершенно иными формулами:

.

Аналогичные примеры можно привести и для других параксиальных выражений. Поэтому, вследствие множества вариантов структуры оптических систем и способов выбора переменных, уравнения для параксиального расчета практически всегда составляются специалистом «вручную», под каждую определенную схему и набор параметров.

Однако функциям координат нулевых лучей от параметров оптической системы присущи особые свойства, которые позволяют успешно решить проблему составления уравнений. Как доказано ранее [2], выходные координаты нулевых лучей представляют собой полилинейные функции оптических сил поверхностей и расстояний между ними:

Полилинейность выходных координат нулевых лучей позволяет привести практически все широко используемые параксиальные уравнения к обобщенному виду равенств нулю полилинейных функций, коэффициенты которых определяются с помощью тривиальной интерполяции путем просчета параксиальных лучей. Решение полученной системы уравнений может быть:

- осуществлено численным алгоритмом. Суть его заключается в в последовательном разбиении области изменения переменных и отбрасывании блоков в виде гиперпараллелепипедов, в которых заведомо отсутствуют решения. Критерием существования решений является перемена знаков всех полилинейных функций в углах гиперпараллелепипеда [2];

- получено методами компьютерной алгебры с помощью преобразования исходной системы уравнений по алгоритму Бухбергера с последующим нахождением корней многочлена одной переменной.

Успешность в получении результата и трудоемкость работы указанных методов в значительной степени связана со способами реализации алгоритмов, а также размерностью решаемых задач. Тем не менее, представляет отдельный интерес сравнение алгебраического и численного методов на конкретных оптических системах с небольшим количеством переменных, поскольку оно позволяет сделать определенные выводы о достоинствах и преимуществах разных подходов к решению систем алгебраических уравнений и неравенств.

В качестве первой тестовой задачи был избран параксиальный расчет объектива с фокусным расстоянием f’=90 мм и задним отрезком 80 мм, который состоит из двух тонких компонентов, разделенных воздушным промежутком 2 мм. В качестве переменных x1, x2 были избраны оптические силы компонентов. Контролировалось отклонение оптической силы и заднего отрезка системы от заданных. Коэффициенты перед неизвестными могут быть легко найдены путем интерполяции с помощью расчета выходных координат четырех параксиальных лучей.  Полученная система уравнений имеет вид:

Графически проиллюстрируем работу алгоритма (рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация работы алгоритма численного метода.

 

На рисунке показаны кривые линии, соответствующие уравнениям (красно-бордовые линии изначальные, зелено-желтые, полученные с помощью линейных комбинаций уравнений, способы такого построения описаны в предыдущих работах [3]); заштрихованные области соответствуют удаляемым блокам на первой, второй, третьей стадиях процесса разделения начального квадрата; зоны с отсутствием штриховки охватывают остаточные площади с неопределенным расположением решения. Поиск производился на интервале, охватывающим все разумные решения (фокусные расстояния оптических элементов по модулю больше 3 мм). Решение было найдено менее чем за 0,5 сек численным методом. Такую же скорость показал и алгебраический метод.

Во втором примере требовалось рассчитать фотообъектив типа «триплет» с задним фокусным расстоянием f’=80 мм и задним отрезком 65 мм, который состоит из трех тонких компонентов, разделенных воздушными промежутками 1 мм и 2 мм. В процессе синтеза следует предусмотреть коррекцию кривизны Петцваля (сумма оптических сил принимается равной нулю). Выбирая в качестве переменных оптические силы тонких компонентов, получим систему уравнений для обеспечения заданных характеристик в виде:

Решение было найдено менее чем за одну секунду, но метод компьютерной алгебры также породил два комплексных корня, нахождение которых в контексте задачи интереса не представляет.

Следующий пример иллюстрирует проблему синтеза оптической схемы с двумя переменными. В ходе решения этой задачи были построены кривые на плоскости переменных, соответствующие параксиальным уравнениям (рис. 2).

 

Рис. 2. Иллюстрация примера, не имеющего точного решения.

 

Как видно из построения, кривые линии проходят близко друг от друга, но нигде не пересекаются. Следовательно, точного решения у системы нет. Однако есть весьма близкое сближение линий, которое свидетельствует о наличии комбинации переменных, делающей невязки уравнений достаточно малыми. Эта комбинация может иметь интерес при рассмотрении исходной задачи как некорректной, имеющей большую относительную погрешность исходных данных. В этом случае целесообразными с точки зрения синтеза становятся все решения, обеспечивающие незначительную невязку уравнений.

В данном случае метод компьютерной алгебры вычислит комплексные корни, не представляющие интереса. В то же время численный метод может выделить интервал неопределенности переменных, в котором решение достигается с определенной степенью точности. Эта точность может регулироваться пользователем.

В четвертом примере требуется рассчитать в гауссовой области панкратический объектив, имеющий в двух крайних состояниях фокусные расстояния 57,12 мм и 142,8 мм и неизменный задний фокальный отрезок, равный 82,03 мм. Оптическую схему представим в виде набора четырех тонких компонентов, двух подвижных и двух неподвижных. Оптические силы компонентов будем считать неизвестными, а осевые расстояния для крайних состояний заимствуем из работы [4] (см. таблица 1).

Таблица 1. Осевые расстояния между компонентами и фокусное расстояние системы.

f’

d1

d2

d3

57,12

15,79

41,47

26,45

142,8

62,61

6,07

15,03

 

Полученная система уравнений для определения оптических сил имеет вид:

 

В этом случае методы компьютерной алгебры либо вообще не находят решения, либо находят корни, не являющиеся решением, либо находят приближенное решение, которое требует уточнения. Численный метод находит все действительные решения за удовлетворительный промежуток времени (около 1 сек.).

Рассмотренные алгоритмы достаточно успешно решают предложенные типы задач. В ряде примеров методы компьютерной алгебры оказываются быстрее. Однако они могут порождать ненужные решения или не находить комбинации переменных, представляющие интерес, но не являющиеся решением. Численный метод является универсальным и позволяет находить решение с заданной точностью. Его быстродействие можно заранее предсказать, зная количество переменных.

 

 

Список литературы

1.   Иванов А.В. Универсальные методы решения модельных уравнений при габаритном расчете оптических систем // Оптический журнал. 2007. Т. 74, вып. 5, С. 7-11.

2.   Иванов А.В. Универсальная модель для автоматизированного параметрического синтеза центрированных оптических систем в гауссовой области // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2006. Вып. 11 (34). С. 298-303.

3.   Иванов А.В., Острун А.Б. Усовершенствованный универсальный метод габаритного расчета центрированных оптических систем // Оптический журнал. 2012. Т. 79, вып. 5. С. 35-39.

4.   Smith W.J. Modern lens design. McGraw-Hill, Inc., 1992. 380 p.


Тематические рубрики:
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2019 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)