РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА И EXCEL-ФАЙЛОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ПРОБНОГО СТЕКЛА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ДЕЦЕНТРИРОВКИ АСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Чурсин Александр Михайлович

средняя школа № 17, 11 класс

Научный руководитель:

Лазарева Наталия Леонидовна,

кандидат технических наук,

доцент кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований»

МГТУ им. Н.Э.Баумана

Введение

Асферическая поверхность оптической детали считается центрированной в том случае, когда вершина асферической поверхности лежит на оси цилиндра, ограничивающего деталь. После изготовления оптических деталей с асферическими поверхностями необходимо измерить величину децентрировки и сравнить ее с допуском, который записан в чертеже детали. В ГОСТ ЕСКД 2.412-82 «Правила оформления чертежей и схем оптических изделий» сказано: децентрировкой асферической поверхности называют смещение вершины асферической поверхности с базовой оси, которой является ось цилиндра, ограничивающего оптическую деталь.

Децентрировку асферических поверхностей измеряют с помощью пробных стекол, эталонные поверхности которых имеют сферическую форму. Этот способ измерения децентрировки описан в статье [1]. Он основан на измерении смещения центра кольцевой интерференционной картины от центра окружности, которая является краем измеряемой оптической детали. Интерференционная картина образуется в воздушном зазоре между исследуемой асферической поверхностью и сферическим пробным стеклом, если этот зазор осветить монохроматическим светом. Автор статьи пишет, что радиус кривизны пробного стекла подбирается весьма приближенно, причем пробное стекло самоустанавливается на измеряемой поверхности таким образом, что центр кривизны окружности, по которой происходит контакт асферической и сферической поверхностей, автоматически  оказывается над вершиной асферической поверхности. В таком случае центры всех колец интерференционной картины будут располагаться над вершиной асферической поверхности. К сожалению, автор статьи не дает четких указаний по выбору радиуса кривизны поверхности пробного стекла.

Разработка алгоритма

Цель моей работы заключается в разработке алгоритма и быстрого способа расчета радиуса кривизны пробного стекла, применяемого при измерении децентрировки асферических поверхностей интерференционным способом. Актуальность такой работы обоснована отсутствием в литературных источниках сведений об алгоритме и автоматизации расчета значения радиуса сферического пробного стекла, используемого для асферических поверхностей.

Компьютерная программа EXCEL, которая представляет собой управляемые электронные таблицы, ориентирована на применение в среде WINDOWS и хорошо известна пользователям персональных компьютеров. Она удобна тогда, когда вычисления нужно делать по одной и той же формуле для многих вариантов. Все это определило мой выбор: использовать программу EXCEL для решения поставленной задачи. Нужно разработать оптимальные файлы, которые будут удобны для пользователя и обеспечат необходимую точность расчетов.

Для разработки руководитель предложил асферические поверхности второго порядка, данные в таблице 1.

Таблица 1.

Как это видно из таблицы, поверхности № 2 и № 4 – параболические. Поверхности № 1 и №5 - эллиптические, а поверхности № 3 и № 6 – гиперболические. О форме поверхностей говорят их эксцентриситеты.

Чтобы кольца интерференционной картины, которая получается в зазоре между асферической поверхностью и сферической поверхностью пробного стекла, можно было видеть раздельно, нужно сделать так, чтобы воздушный зазор был как можно меньше. Этого можно добиться, если радиус кривизны пробного стекла будет близок к радиусу ближайшей сферы. Поэтому свою работу я начал с определения радиусов сфер, ближайших к заданным асферическим поверхностям. Как следует из книги [2], ближайшей сферой к асферической поверхности называют такую сферическую поверхность, точки которой ближе всего располагаются к точкам заданной асферической поверхности. Когда асферическая поверхность вогнутая, то ближайшая сфера касается ее по окружности, которая расположена примерно в средней зоне асферической поверхности. Если асферическая поверхность выпуклая, ближайшая сфера касается ее в вершине и по окружности, которая располагается на краю поверхности.

По отношению к падающему световому пучку сферы и асферические поверхности могут быть вогнутыми и выпуклыми. Тогда с учетом положительного направления оси z можно присвоить знаки радиусам кривизны поверхностей, которые даны в таблице 1. С учетом знаков значения радиусов при вершине даны в таблице 2.

Таблица 2.

Взяв формулы, данные в книге [2], делаю в них алгебраические преобразования, чтобы по ним было удобно вести расчеты радиусов ближайших сфер для выпуклых и вогнутых асферических поверхностей. Для упрощения математических выражений от пространственной системы координат переходу к плоской, в которой остаются только оси y и z.

Когда асферическая поверхность выпуклая, то для вычисления радиуса ближайшей сферы следует вычислить координату края z _края асферической поверхности по формуле:

z_края  = {-r_o±Ö [r_o² + (e²-1) y²_края]} / (e²-1)                                                        (1)

В случае параболической поверхности (е = 1) формула для вычисления координаты ее края  имеет другой вид:

z_края  = y² _края /2r_o.                                                                                            (2)

В любом случае y _края = D/2 (D – диаметр асферической поверхности).

Радиус ближайшей сферы r _{бл сф} находим по формуле:

r_{бл сф} = (y²_края + z²_края)/ 2z_края.                                                                          (3)

Координаты точки на сечении асферической поверхности, которая дальше всех отстоит от сечения ближайшей сферы, определяю по формулам из книги [2]:

z_o =( r_{бл сф} - r_o) / e²;                                                                                         (4)

y_о =Ö [2r_o z_о + (e²-1) z_о ²].                                                                               (5)

Так как реальное пробное стекло вероятнее всего не будет ближайшей сферой, то его радиус придется выбирать из ГОСТа, в котором даны числовые значения радиусов сферических поверхностей оптических деталей. Вопрос заключается в том, какое из значений ГОСТа окажется более подходящим: больше или меньше радиуса ближайшей сферы. Чтобы решить этот вопрос, были проведены исследования, результаты которых показаны на графиках  рис. 1. Все вычисления и построения графиков выполнялись в программе EXCEL, для чего были разработаны специальные EXCEL -файлы. Они обеспечивают вычисление радиусов ближайших сфер к выпуклым асферическим поверхностям, а также координаты точек асферической поверхности и выбранного пробного стекла и автоматически строят графики отступлений точек асферической поверхности от точек ближайшей сферы и выбранного пробного стекла.

Вид этих EXCEL-таблиц представлен в виде таблиц 3 и 4, а примеры графиков показаны на рис. 1.

Таблица 3.

Расчет ближайшей сферы и подбор пробного стекла для выпуклой АП

y края =D/2        Для параболоидов:         z края =yкрая*yкрая/(2*ro)

Для других АП:                              z края=(-rо- корень(rо*rо+(e*e-1)*yкрая*yкрая))/(e*e-1)

r бл сф = (yкрая* yкрая +zкрая*zкрая)/(2*zкрая)             

yo=корень(2*ro*zo+(e*e-1)*zo*zo)

zo= (rбл сф-ro)/(e*e)

d=-(z края-r бл сф)+корень((z края -r бл сф)*(z края-r бл сф)-(z края*z края)-(yкрая*yкрая)+

+(2*r бл сф*z края))

Таблица 4а.

Расчет координат выпуклой АП и ближайшей сферы

Для параболоидов:                             z ап =y ап*y ап/(2*ro)

Для других АП:                     z ап=(-rо- корень(rо*rо+(e*e-1)*уап*yап))/(e*e-1)

zбл cф =-r бл cф-корень(r бл cф*r бл cф-y*y)

Таблица 4б.

Расчет координат выпуклой АП и пробного стекла

z ап=(-rо- корень(rо*rо+(e*e-1)*уап*yап))/(e*e-1)

zпc = (r пр cт+d)+корень((r пр cт+d)*(r пр cт+d)-y*y-d*d-2*r пр ст*d)

Рис. 1. Графики отступлений выпуклых АП от ближайших сфер и выбранных пробных стекол

В этом примере радиусы пробных стекол уже подобраны так, чтобы касание пробного стекла и каждой из асферических поверхностей было по их краю. При этом толщина воздушного зазора между пробным стеклом и асферической поверхностью всегда оставалась положительной, причем минимально возможной. Как это следует из данных таблиц 3 и 4, для эллипсоида радиус пробного стекла оказывается меньше, чем радиус ближайшей сферы, а для параболоида и гиперболоида, наоборот, больше.

Характер изменения толщины воздушного зазора между поверхностями также оказывается различным. В случае эллипсоида толщина воздушного зазора изменяется монотонно: она максимальна по центру и уменьшается к краю асферической поверхности (см. верхний правый график на рис. 1). При параболоидах и гиперболоидах толщина воздушного зазора  изменяется немонотонно (см. средний и нижний графики на рис. 1).

В связи с этими наблюдениями формулы для расчета числа N интерференционных колец и их средней ширины b _ср будут различными.

При монотонной кривой:

N = 2d_max / l.                                                                                                  (6)

При немонотонной кривой:

N = 2(2d_max - d_max) / l.                                                                                     (7)

В формулах (6) и (7): d_max – максимальная толщина воздушного зазора, d_o - толщина воздушного зазора в центре асферической поверхности.

В обоих случаях среднюю ширину b_ср интерференционных колец вычисляем по формуле:

b_ср = D/(2 N).                                                                                                  (8)

Для вычисления числа интерференционных колец и их средней ширины разработан EXCEL-файл, показанный в виде таблицы 5.

Таблица 5.

Расчет числа интерференционных колец и их средней ширины

При монотонной кривой:             N = 2*d max/ L                                b cp = D /(2*N)

При немонотонной кривой:         N = 2*(2d max-do)/ L                     b cp = D /(2*N)

Аналогичные исследования были сделаны также для вогнутых асферических поверхностей. Расчеты радиусов ближайших сфер и последующее вычисление толщин воздушных зазоров между асферической поверхностью и ближайшей сферой показали, что применение ближайшей сферы невозможно, так как ближайшая сфера пересекает асферическую поверхность и толщина воздушного зазора всегда знакопеременна. Поэтому здесь мы использовали другой подход к выбору радиуса пробного стекла из ГОСТ: исходным радиусом мы считали радиус при вершине асферической поверхности.

Исследования показали, что в случае вогнутого эллипсоида радиус пробного стекла следует выбирать меньше, чем радиус при вершине асферической поверхности. Вогнутые параболоиды и гиперболоиды требуют пробных стекол с большими радиусами, чем радиусы при их вершинах.

Для проведения этих исследований был разработан EXCEL-файл, показанный в виде таблиц 6 и 7, причем результаты расчетов в таблице 7 параллельно представлялись графически (см. рис. 2). При подборе значений радиусов пробного стекла из ГОСТа графики дают наглядное представление характера изменения воздушного зазора между асферической поверхностью и пробным стеклом.

Таблица 6.

Подбор радиуса пробного стекла из ГОСТа

Для эллипсоидов из ГОСТа выбирать значения меньшие, чем радиус при вершине эллипсоида

Для других АП из ГОСТа выбирать значения большие, чем равдиус при вершине АП

d=-(zкр -r пр ст)-корень( (zкр -r пр ст)*(zкр -r пр ст) - (zкр*zкр) -(yкр*yкр)+(2*r пр ст*zкр))

Таблица 7.

Расчет координат вогнутых АП и пробных стекол

Для параболоидов:         z ап =y ап*y ап/(2*ro)

Для других АП:                              z ап=(-rо+ корень(rо*rо+(e*e-1)*уап*yап))/(e*e-1)

zпр ст = (r пр cт+d)+корень((r пр cт+d)*(r пр cт+d)-y*y-d*d-2*r пр ст*d)

Рис. 2. Графики отступлений вогнутых АП от выбранных пробных стекол с разными радиусами кривизны

EXCEL-файл, представленный в виде таблицы 8, аналогичен EXCEL-файл, показанному в таблице 5. Здесь также автоматически вычисляются число интерференционных колец и их средняя ширина.

Таблица 8.

Расчет числа интерференционных колец и их средней ширины

При монотонной кривой:         N = 2*d max/ L                         b cp = D /(2*N)

При немонотонной кривой:     N = 2*(2d max-do)/ L     b cp = D /(2*N)

При разработке EXCEL-файлов в каждой EXCEL –таблице были предусмотрены следующие удобства для пользователя: заглавие, перечень расчетных формул, различная окраска ячеек с исходными данными и с формулами, которые заданы в ячейках в формате

EXCEL, а также рекомендации по выбору радиуса пробного стекла.

Правильность расчетов с помощью разработанных алгоритмов и EXCEL-файлов была тщательно проверена. В данной статье представлено только часть расчетов, при исследованиях расчеты выполнялись для многих вариантов.

Выводы

1.        Разработаны алгоритмы расчета радиусов ближайших сфер к выпуклым и вогнутым асферическим поверхностям.

2.        Разработаны оптимальные варианты EXCEL-файлов, которые удобны для использования и обеспечивают необходимую точность расчета.

3.        Правильность расчетов проверена на практике.

4.        Разработка может использоваться в учебном процессе кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований».

Список литературы

1.        Зубаков В.Г. Оптико-механическая промышленность. - № 4. – 1972.

2.        Пуряев Д.Т. Методы контроля оптических асферических поверхностей – М.: Машиностроение, 1976.