Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

О математическом моделировании дискретного производства

#6 Июнь 2005

В.В.Павлов, д-р техн. наук проф., МГТУ "Станкин"
О математическом моделировании дискретного производства

     Представлен математический аппарат полихроматических множеств и графов как новое средство информационных технологий для моделирования технических систем.

     Широкое использование теории множеств и теории графов при моделировании технических систем и дискретного производства затруднено сложностью формализованного описания в рамках этого аппарата качественно разнообразных свойств объектов, представляемых элементами множества и вершинами (ребрами) графа. Поэтому автором еще в 70-е годы были начаты исследования, направленные на устранение указанного недостатка [1, 2]; эти исследования и послужили основанием для разработки теории полихроматических графов [3, 4]. Полихроматический граф отличается от хроматического [5] тем, что в нем любая отдельная вершина и/или ребро могут быть окрашены одновременно в несколько цветов. Поскольку понятие цвета относится к категории свойств, то при моделировании технических систем и дискретного производства определенному цвету ставится в соответствие конкретное свойство моделируемого объекта.
     Понятие полихроматического графа является производным от понятия полихроматического множества, которое определяется тройкой

ПS= (A, F(А), { F(аi), i = 1,..., n}), (1)

где А - обычное множество [6] элементов аi, i = 1,...,n; F(аi) - множество цветов, в которые раскрашен отдельный элемент аi, или персональная раскраска этого элемента; F(А) - множество всех цветов из персональных раскрасок элементов и цветов самого ПS-множества как объекта А в целом.
     Совокупность множеств {F(ai), i = 1,...,n} удобно представлять в виде булевой матрицы персональных раскрасок элементов ПS-множества

||ci(j)||= [А х F(A)], (2)

где сi(j) = 1, если цвет Fj F(аi) и сi(j) = 0 - в противном случае.
     В матрице (2) i-я строка определяет множество F(ai) цветов элемента аi; j-й столбец матрицы определяет состав элементов, цвета Fj(ai) которые обуславливают существование цвета Fj(А) объекта А в целом. При использовании булевой матрицы (2) ПS-множество определяется тройкой

ПS=(А, F(А),[A х F(А)]).(3)

     Цвет Fj(А) по отношению к Fj(аi) называется унитарным, а состав этих цветов называется унитарной раскраской ПS-множества и обозначается символом F(S). Например, состав и основные свойства элементов конструкции электродвигателя (рис. 1,a) описываются множествами элементов и унитарных цветов

A=(а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9, а10, а11, а12),
F(А) = (F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8,…, F18),

а персональные цвета элементов представлены в булевой матрице (рис.1, б). Множества А, F(А) и булева матрица (рис Л, б) определяют ПS- множество элементов электродвигателя.      Взаимосвязь между Fj(А) и Fj(ai) описывается с помощью теоретико-множественных операций, но для практических целей удобнее пользоваться логическими операциями. Любой цвет Fj можно представить как логическую величину относительно заданного множества F(А):

Fj= { 1, если Fj F(A);

     Это позволяет переходить от теоретико-множественных к логическим операциям и наоборот; правила перехода соответствуют общепринятым [1]. Взаимосвязь между Fj(A) и Fj(ai) может принимать, например, такие формы:

Fj= { 1, если Fj (ai)=1 (4)
0, - в противном случае.



Рис. 1. Конструкция электродвигателя:
а - элементы конструкции: a1 - статор; a2 - сердечник статора; а3 - сердечник ротора; а4 - обмотка статора; а5 - обмотка ротора; a6, a12 - подшипниковые щиты; а7 - вентилятор; а8 - кожух вентилятора; а9, а11 - шарикоподшипники; a10 - ротор;
б - матрица [АxF(А)] раскрасок элементов конструкции; цвета: F1 - электромагнитный контур статора и ротора; F2 - механический контур электродвигателя; F3 - воздушный зазор между сердечниками статора и ротора; F4 - свойства системы охлаждения; F5 - свойства массы; F6 - свойства формы; F7 - свойства соединения статора a1 с сердечником a2, F8 - свойства соединения статора а1 с подшипниковым щитом a6; F18 - свойства соединения шарикоподшипника а11 с подшипниковым щитом а12; - элементы булевой матрицы сi(j) = 1

Fj= { 1, если Fj (ai)=1 (5)
0, - в противном случае.

Форма связи (4) называется дизъюнктивной (ДФС), а форма связи (5) - конъюнктивной (КФС). ДФС соответствует случаю, когда унитарный цвет Fj(А) ПS-множества существует, если существует хотя оы один элемент, имеющий цвет Fj(ai). КФС соответствует случаю, когда Fj(А) существует только при наличии цвета Fj у всех элементов А. Более общей является форма связи

Fj= { 1, если A(Fj)[ ai A(Fj) ( Fj (ai)=1)] (6)
0, - в противном случае.

где А(Fj) есть подмножество элементов А, имеющих персональный цвет Fj(ai) При

A(Fj)=a1 v a2 v ... v an

отношение (6) переходит в ДФС, а при А(Fj) = А - в КФС.
     Если отношение (4) выполняется для каждого цвета Fj(А), то унитарная раскраска ПS-множества вычисляется по формуле

F(S) F(ai) (7)

или, в логическом представлении, по формуле

F(S) F(ai) (8)

Если для каждого цвета Fj(А) должно выполняться отношение (5), то F(S) вычисляется по формуле

F(S) F(ai) (9)

или, в логическом представлении, по формуле

F(S) F(ai) (10)

     В случае (7) F(S) = F(А), а в случае (9) F(S) F(А). Модели реальных объектов чаще имеют форму связи вида (6). Так, свойствами массы (F5) и формы (F6) электродвигатель (рис. 1,а) обладает при любом составе элементов конструкции, т.е. цвета F5(А), Р6(А) связаны с цветами F5(аi), F6(аi) элементов А отношениями (4). Свойством охлаждения элементов конструкции воздушным потоком (F4) электродвигатель обладает только во время работы при наличии всех его элементов, т.е. цвет F4(А) связан с цветами Р4(аi) отношением (5); напротив, свойствами F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,...,F18 электродвигатель обладает только при определенных составах элементов, т.е. унитарные цвета Fj(A),j=1,2,3,7,8,...18 связаны с персональными цветами Fj(ai) отношениями вида (6).
     Обычным графом называется пара G=(A,C), состоящая из множества A вершин и множества С ребер, связанных отношением инцидентности [5]. Примером является граф (рис.2) сопряжений элементов конструкции электродвигателя (см. рис. 1, а). Соответственно полихроматическим графом (ПG-графом) называется пара ПG = (ПSA, ПSC) состоящая из полихроматического множества ПSА вершин и полихроматического множества ПSС ребер. ПSA-множество по составу компонентов соответствует ПS-множеству (3); ПSC-множеетво имеет аналогичный состав компонентов. Поэтому при покомпонентной записи ПG-граф определяется шестеркой

ПG = (А, С, F(А),F(С), [АхF(A)],[СхF(C)]), (11)

где С - множество ребер; F(С) - множество цветов персональных раскрасок отдельных ребер и цветов множества С в целом; [С х F(С)] - булева матрица персональных раскрасок ребер

||ci(j)||C,F(C)= [CxF(C)](12)

по назначению аналогичная булевой матрице (2). Обычный граф G = (А, С) является бесцветным каркасом ПG-графа. Если в ПG-графе раскрашены только вершины, а ребра бесцветны, то в состав (11) не входят множество F(С) и матрица (12); примером является ПG-граф сопряжений элементов конструкции, включающий в себя бесцветный каркас (рис. 2) и булеву матрицу (см. рис. 1,6) раскраски вершин. Если в ПG-графе раскрашены только ребра, а вершины бесцветны, то в состав (11) не входят множество F(А) и матрица (2) раскраски вершин.
     Все операции над ПG-графами, а также построение маршрутов, цепей, путей и другие действия отличаются от аналогичных действий с обыкновенными графами, так как здесь накладываются особенности, связанные с раскраской вершин и ребер.
     Назовем унитарной раскраской ПG- графа раскраску F(G), состав цветов в которой определенным образом связан с персональными раскрасками его вершин и ребер. Унитарная раскраска F(G)А ПG-графа в зависимости от входящих вершин есть функция персональных раскрасок этих вершин. Унитарная раскраска F(G)С ПG-графа в зависимости от входящих ребер есть функция персональных раскрасок этих ребер. Унитарная раскраска F(G)C ПG-графа, с учетом одновременной зависимости от входящих вершин и ребер, есть функция унитарных раскрасок F(G)А и F(G)С.
     Эти утверждения никоим образом не определяют содержание функций, связывающих унитарную раскраску ПG-графа с персональными раскрасками его вершин и ребер. Рассмотрим некоторые из таких функций, особенно полезные на теоретико-множественном и логическом уровнях моделирования технических систем.
     Отношения, связывающие унитарную раскраску ПG-графа с персональными раскрасками вершин и ребер, когда унитарная раскраска F(G)А определяется по формуле (7), а F(G)C и F(G) - по формулам

F(G)C= F(ci) (13)

F(GS) = F(G)A F(G)C (14)

называются дизъюнктивной формой связи (ДФС), а отношения, когда F(G)А определяется по формуле (9), а F(G)С и F(G) - по формулам

F(G)C= F(ci) (15)

F(GS) = F(G)A F(G)C (16)

называются конъюнктивной формой связи (КФС). При ДФС унитарная раскраска ПG-графа совпадает с персональными раскрасками вершин и ребер, т.е. F(G)A = F(А) и F(G)С = F(С); при КФС унитарная раскраска ПС-графа, как правило, не совпадает с персональными раскрасками вершин и ребер.

Введем единое булево векторное пространство цветов

F=(F1,F2,...,Fn), "F(A), F(C) (F(A),F(C) Н F) (17)

 Тогда множества цветов F(a1) F(c1) F(G) и другие могут быть представлены как булевы векторы в пространстве (17), и отношения (7), (13), (14) перейдут в логические отношения ДФС (8) и

   m

    F(G)C=Ъ F(cj)  (18)

 j=1


    F(G)= F(G)AЪ F(G)C (19)

 

а отношения (9), (15), (16) — в логические отношения КФС (10) и

   m

    F(G)C= Ù

F(cj)  (20)

 j=1


    F(G)= F(G)A Ù F(G)C (21)

 

Если на использование отношении ДФС и КФС не накладываются ограничения, то вычисление раскраски F(G) можно выполнять с помощью любой тройки формул, определяемой по схеме

Определение унитарной раскраски ПG-графа можно представить как последовательность этапов вычисления состояний раскраски после присоединения очередной вершины (ребра). Все состояния, кроме последнего, будут промежуточными: конечное состояние после . присоединения последней вершины (ребра) и будет унитарной раскраской ПG-графа. При последовательном вычислении унитарной раскраски ПG-графа, если существуют вершины и ребра с разными персональными раскрасками, при разных последовательностях присоединения вершин и ребер существуют различные промежуточные раскраски. Действительно, если имеется пара вершин ai, aj с разными составами цветов, то, принимая на первом шаге вычислений за начальную вершину ai или aj, получим различные состояния [F(G)A]1 , и, следовательно, эти две последовательности промежуточных раскрасок будут различными. Рассмотрим вычисление раскраски при ДФС, например по формуле (8). Промежуточное состояние раскраски
 [
F(G)A]k после присоединения очередной вершины ak определяется по формуле

[F(G)A]k= [F(G)A]k-1Ъ F(ak) (23)

Соотношения [F(G)A]k, [F(G)A]k-1 и F(ak) характеризуются следующими группами цветов:
 - нереализованные в [
F(G)A]k-1 цвета, которые реализутются за счет ak

                                                                                      _

[F(G)A]Ik= [F(G)A]k-1 Ù F(ak) (24)

      _

где F(G)A — результат инверсии булева вектора F(G)A

 - нереализованные в [F(G)A]k-1 цвета, которые не реализуются за счет ak

                                                                                       _                _

[F(G)A]IIk= [F(G)A]k-1 Ù F(ak) (25)

      _

где F(ak) — результат инверсии булева вектора F(ak);

 - реализованные в [F(G)A]k-1 цвета, которые могли бы быть реализованы и за счет ak

[F(G)A]IIIk= [F(G)A]k-1 Ù F(ak) (26)

 - реализованные в [F(G)A]k-1 цвета, которые не могли бы быть реализованными за счет ak

                                                                                      

                  _

[F(G)A]IVk= [F(G)A]k-1 Ù F(ak) (27)

Если цвета F(G)A должны быть частью некоторого фиксированного множества F(A)* Ê F(A)  то вместо (23), (24) и (25) используются формулы

[F(G)A]k= [F(G)A]k-1Ъ F(ak) Ù F(A)*(28)

                                                                               _

[F(G)A]Ik= [F(G)A]k-1 Ù F(ak) Ù F(A)* (29)

                                                                                _                _

[F(G)A]IIk= [F(G)A]k-1 Ù F(ak) Ù F(A)* (30)

Аналогичные соотношения будут иметь место и при вычислении унитарной раскраски F(G)C по формуле (18). Рассмотрим вычисление унитарной раскраски ПG-графа при КФС, Например, при вычислении F(G)A по формуле (10) промежуточное состояние раскраски [F(G)A]k после присоединения очередной вершины akопределяется по формуле

[F(G)A]k= [F(G)A]k-1 Ù F(ak) (31)

В этом случае исходя из (5), унитарная раскраска F(G)A будет включать в себя любой цвет Fj(G)A = 1 только при условии

" ak Î A(Fj(G)A =1)  (32)

Более общим является случай (6), когда какой-либо цвет Fj(G)A реализуется определенным (не обязательно единственным) набором элементов A(Fj) Í A, т.е. когда Fj(G)A = 1  при условии

$ A(Fj) Í  A { " ak Î A(Fj ) [Fj(ak)=1] }  (33)

Во всех случаях, когда при КФС какой-либо унитарный цвет ПG-графа реализуется за счет нескольких элементов одновременно, персональный цвет отдельного элемента лишь участвует в реализации унитарного цвета, а не реализует его, как при ДФС. Поэтому вместо отношения (31) следует использовать формулу

[F(G)A]k= F(A)* Ù F(ak)   (34)

Соотношения F(G)A, F(A) и F(ak) характеризуются следующими группами цветов:

 - цвета, входящие в F(A)*, в реализации которых может участвовать ak

[F(G)A]Ik= F(A)* Ù F(ak)   (35)

 - цвета, входящие в F(A)*, в реализации которых не может участвовать ak

                                                                                                      _

[F(G)A]IIk= F(A)* Ù F(ak)   (36)

 - цвета, не входящие в F(A)*, в реализации которых может участвовать ak

                                                                                        _

[F(G)A]IIIk= F(A)* Ù F(ak)   (37)

 - цвета, не входящие в F(A)*, в реализации которых не может участвовать ak

                                                                                        _            _

[F(G)A]IVk= F(A)* Ù F(ak)   (38)

Аналогичные соотношения будут иметь место и при вычислении унитарной раскраски F(G)C по формуле (20) при условии

$ C(Fj) Í  C { " ck Î C(Fj ) [Fj(ck)=1] }  (39)

В соответствии со схемой (22) возможны случаи, когда для цветов вершин и ребер в ПG-графе могут быть приняты разные формы связи. Аппарат полихроматических множеств и графов в изложенном виде применим при структурном анализе и синтезе объектов моделирования. Дополнительное использование средств иерархической системы моделирования ИСТРА [2, 4, 7] позволяет расширить область применения ПS-множеств и ПS-графов и на моделирование дискретного производства. В системе ИСТРА для описания свойств любых объектов производства и производственной системы используется единое понятие — контур, обобщающее такие понятия, как свойство и часть объекта, в которой данное свойство реализуется. Поскольку цвет относится к категории свойств объекта, разные цвета могут описываться в терминах контуров:

i-й цвет — контур Fi,   j-й цвет — контур Fj, и т.д. При совместном моделировании изделия А и производственной системы Р их свойства описываются одними и теми же контурами, причем Fj (A)описывает сами свойства изделия, а Fi (P)отражает возможность получения Fi (A) в процессе производства в системе Р. Производственная система и ее компоненты моделируются, как и изделие, с помощью ПS-множеств и ПS-графов.

Одна из важнейших задач технической подготовки дискретного производства — анализ технологических возможностей производственной системы применительно к проектируемому изделию. Эта задача успешно решается с помощью аппарата
ПS-множеств и ПS-графов.

Например, на рис.3 показана модель фрагмента производственной системы для изготовления отверстий в деталях изделия. Эта модель представляет собой полихроматический граф

ПG = ( P, C, F(P), [P´F(P)] )   (40)

раскраска вершин которого характеризует технологические возможности элементов производственной системы, а бесцветные дуги описывают взаимосвязь операций со средствами технологического оснащения производства. Возможные варианты изготовления отверстий определяются по этой модели как пути в ПG-графе, реализующие требуемый состав F(A)* при КФС контуров изделия и производственной системы. Исходными данными для анализа технологических возможностей производственной системы в целом с составом контуров F(P)* являются данные об исходном составе F(A)0 контуров изделия и данные о требуемом составе F(A)* контуров готового изделия; исходный состав контуров F(A)0 формируется за счет покупных комплектующих, полуфабрикатов и т.п. Технологические возможности производственной системы P по отношению к изделию A анализируются в двух аспектах: как технологические возможности системы P в целом и как технологические возможности отдельных элементов pk входящих в P. Состав F(P) контуров модели производственной системы в матрице контуров [ P´F(P)] равен объединению контуров входящих в P элементов pk и вычисляется по формуле (8) при замене символов F(S) на F(P) и F(ai) на F(ak).

Этот состав контуров полностью пригоден только для анализа технологических возможностей отдельных элементов производственной системы. Для анализа технологических возможностей производственной системы в целом этот состав контуров пригоден только при ДФС контуров F(P) и F(A). При КФС любой контур Fj(P) может реализовать контур изделия Fj(P), и, следовательно, Fj(P) = 1 только при условии, когда имеется хотя бы один требуемый набор F(Pj ) элементов производственной системы, совместно участвующих в реализации Fj(A), т.е. при выполнении условия вида (33). Поэтому для анализа, технологических возможностей производственной системы в целом формируется состав контуров F(P)*, в котором Fj(P)* = 1, если в производственной системе P имеются все необходимые элементы для реализации контура Fj(A) изделия. При ДФС этот состав равен F(P)* = F(P), а при КФС - F(P)* Í F(P).

Диагностирование производственной системы (ПС) применительно к изделию Fi. осуществляется путем анализа составов контуров F(Ai)0 , F(Ai)* изделия и контуров F(P)* производственной системы. Состав F(Ai) контуров изделия, которые могут быть реализованы при воздействии данной ПС, вычисляется по формуле

F(A)i= F(Ai )0Ъ F(P)*   (41)

описывающей дизъюнктивную форму связи контуров изделия и ПС. Если состав реализуемых контуров изделия не должен выходить за пределы F(Ai)*, то

F(A)i= ( F(Ai )0Ъ F(P)* ) Ù F(A)i (42)

Если при отработке технологичности изделия в ПС допускается изменение или замена некоторых контуров в F(A)*, то вводится область F(Ai)S Ê F(Ai)*  возможных, с учетом допустимых изменений, контуров изделия. Тогда возможный состав контуров F(Ai) вычисляется по формуле

F(A)i= ( F(Ai )0Ъ F(P)* ) Ù F(A)iS  (43)

Производство изделия в данной ПС может быть завершено при условии

F(Ai)*=  F(Ai ) Ù F(P)*  (44)

При диагностировании технологических возможностей ПС выявляются: нереализованные в F(Ai)0 контуры, которые могут быть реализованы в данной ПС

                                                                                     _

F(Ai)I=  F(Ai )0 Ù F(P)*  (45)

      _

где F(Ai )0 — инверсия вектора F(Ai )0;

нереализованные в F(Ai )0 контуры, которые не могут быть реализованы в

                                                                                     _              _

F(Ai)II=  F(Ai )0 Ù F(P)*  (46)

      _

где F(P)* — инверсия вектора F(P);

реализованные в F(Ai )0 контуры, которые могли бы быть реализованы и в данной ПС

F(Ai)III=  F(Ai )0 Ù F(P)*  (47)

реализованные в F(Ai )0  контуры, которые не могли бы быть реализованы в данной ПС

                                                                                                      _

F(Ai)IV=  F(Ai )0 Ù F(P)*  (48)

Вычисления по формулам (45), (46) выявляют и такие контуры изделия, которые не предусмотрены в составе F(Ai )*. Если составы контуров F(Ai)I  и F(Ai)II не должны выходить за пределы F(Ai )*, т.е. конструктивные изменения изделия

A недопустимы, то вместо (45), (46) используются формулы

                                                                              _

F(Ai)I=  F(Ai )0 Ù F(P)* Ù F(Ai)* (49)

                                                                              _              _

F(Ai)II=  F(Ai )0 Ù F(P)* Ù F(Ai)* (50)

Если составы контуров F(Ai)I и F(Ai)II могут существовать в области F(Ai )S, т.е. допускаются конструктивные изменения в пределах F(Ai )S, то вместо (45), (46) используются формулы

                                                                              _

F(Ai)I=  F(Ai )0 Ù F(P)* Ù F(Ai)S (51)

                                                                              _              _

F(Ai)II=  F(Ai )0 Ù F(P)* Ù F(Ai)S (52)

Если условие (44) не выполняется, то изделие не может быть изготовлено в данной ПС без дополнения ее новыми средствами технологического оснащения производства. Состав контуров, которыми должны обладать эти приобретаемые или вновь создаваемые средства, вычисляется в общем случае по формуле (46), а с учетом недопустимости или допустимости конструктивных изменений изделия — по фюрмуле (50) или (52).

Для выявления причин невозможности реализации контуров F(Ai)П изделия, вычисляемых по формуле (46), (50), или (51), необходимо анализировать технологические возможности отдельных элементов  pk Î P. Эта задача решается по модели производственной системы с использованием матрицы контуров ПG-графа (40) производственной системы P. Исходными данными для анализа здесь также будут данные об исходном F(Ai )0 и требуемом конечном F(Ai)* составе контуров изделия. Вначале определяется путь в графе G = (Р, С), а затем анализируются возможности каждого элемента pk входящего в этот путь. Анализ осуществляется с помощью формул вида (24) — (30), если матрица контуров ПС дизъюнктивная, а если матрица конъюнктивная — то с помощью формул (34) — (38). Примеры моделирования различных технических систем с использованием аппарата полихроматических графов приведены в [7].

Литература

1.Павлов В.В. Основы автоматизации проектирования технологических процессов сборки летательных аппаратов. — М.:
МАГИ, 1975.-98 с.

2.  Павлов В.В. Математическое обеспечение САПР в производстве летательных аппаратов. — М.: МФТИ, 1978.—68 с.

3.Математическое моделирование дискретного производства:
Сб. науч. трудов ИКТИ РАН. Выл Л / Под ред. Ю.М.Соломенцева. - М.: ИКТИ РАН, 1993.Т-69 с.

4.Павлов В.В. Типовые математические модели в САПР ТПП — М.: Мосстанкин, 1989.—75 с.

5.Зыков А.А. Основы теории графов. — М.: Наука, 1987.—
384с.

6.Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.:
Мир, 1970.-416 с.

7. САПР. Типовые математические модели объектов проектирования в машиностроении /Методические указания РД-50-464-
84. — М.: Изд. Стандартов, 1985. —202 с.

 

 

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2020 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)