Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Математическое моделирование систем с помощью динамических автоматов

#3 Март 2005

В

В.И. Левин, д-р техн. наук проф., Пензенский технологический институт

 

Математическое моделирование систем с помощью динамических автоматов

 

Описана математическая модель конечного динамического автомата. Показана возможность его изучения с помощью непрерывной логики. Рассмотрены проблемы динамико-автоматного аналитического моделирования систем с дискретными состояниями и непрерывным временем, встречающихся в технике, экономике, социологии и других областях. В качестве примеров построены автоматные модели для поведения социальных групп, систем представления визуальной информации, систем распознавания и систем прогнозирования занятости.

 

В 1971-1972 гг. автором было показано, что для описания динамических процессов в конечных (цифровых) автоматах адекватным математическим аппаратом является непрерывная логика (НЛ) {С, V, &}, где С = [А, В] — отрезок, а V = max и & = min — дизъюнкция и конъюнкция НЛ над С [1]. Этот результат - обобщение результатов Шеннона - Накашимы - Шестакова (1938—1941 гг.) об адекватности булевой алгебры логики как средств описания статики работы релейно-контактных схем [2-4]. На этой базе разработана аналитическая динамика автоматов, позволяющая вычислять, компактно представлять, анализировать и синтезиро­вать динамические процессы в сложных схемах автоматов при сложных входных воздействиях [5-7].

Простейший объект - детерминированный автомат без памяти с соотношениями входных xi(t) и выходных yk(t) процессов в виде

где Gk - операторы без памяти.

Динамический автомат без памяти реализуется асинхронной комбинационной схемой из логических и инерционных элементов (задержки, фильтры) и не имеет обратных связей. Обычно X=Y={0, 1}. Реакция выхода элемента на входные процессы называется динамическим процессом в элементе. Совокупность динамических процессов во всех элементах асинхронной комбинационной схемы называется динамическим процессом в асинхронной комбинационной схеме. Задача расчета (анализа) динамики динамического автомата без памяти состоит в нахождении (анализе) динамического процесса в узлах (на выходах) соответствующей асинхронной комбинационной схемы по заданным процессам на ее входах. Расчет ведется методом последовательных подстановок соотношений "входные процессы - выходной процесс" элементов при разбиении асинхронной комбинационной схемы на последовательные ступени глубиной в один элемент. Указанные соотношения выражаются в терминах операций НЛ.

При сложных воздействиях вход - выходные соотношения элементов можно найти декомпозицией входных процессов на подпроцессы и определением частичных реакций элемента с их последующим "сшиванием".

Более сложный объект - детерминированный автомат с памятью с соотношением входных xi(t), выходных yk(t) и внутренних uj(t) процессов:

 

где Gk, Fi — операторы без памяти, X = Y = U = {0, 1}.

Динамический автомат с памятью реализуется в виде асинхронной схемы с памятью, имеющей логический блок в виде асинхронной комбинационной схемы и блок памяти с параллельно работающими задержками (τ1,..., τp). Логический блок охвачен p обратными связями с выходов логического блока на его входы через задержки блока памяти. Задача расчета динамики динамического автомата с памятью аналогична соответствующей для динамических автоматов без памяти, но учитывает начальное состояние u0. Для ее решения используют:

·        метод уравнений динамики (заключается в составлении и решении уравнений относительно неизвестных динамических процессов в асинхронных схемах с памятью, описывающих циркулирование информации по контурам схемы);

·        метод комбинационного моделирования (состоит в пошаговом итеративном моделировании последовательных участков динамических процессов в асинхронных схемах с памятью).

Для преодоления "проклятия размерности" при расчете динамических процессов в сложных асинхронных комбинационных схемах и асинхронных схемах с памятью используется канонизация входных воздействий на основе следующей теоремы [7]:

любое воздействие xi(t),…, xn(t) на n входах безынерционной асинхронной комбинационной схемы, реализующей симметрическую булеву функцию, можно представить однозначно эквивалентной совокупностью свободных (не привязанных к определенным входам) импульсов , упорядоченных линейно . Здесь ar(br) - момент r-то изменения вида 0 → 1 (вида 1 → 0) в системе входных импульсов x1(t),…, xn(t), М - общее число изменений каждого вида.

Теорема позволяет разбить время на интервалы с постоянным числом импульсов в каждом (постоянным значением выхода y), и для нахождения выходного процесса y(t) надо лишь вычислить его значение в какой-то одной точке каждого интервала. Получаемый процесс y(t) выражается компактно в терминах порядковых логических определителей вида  - момент j-го по порядку изменения 0 → 1 (1 → 0) на i-м входе, r — ранг логического определителя [7].

Конечный автомат оказывается удобной математической моделью для описания многих систем в технике, экономике и гуманитарных науках, функционирующих в непрерывном времени и имеющих дискретные состояния. При этом в большинстве случаев можно обойтись моделью динамического автомата без памяти.

В качестве первого примера построения автоматной модели возьмем моделирование поведения социальных групп.

Рассмотрим группу из n индивидуумов, которые в любой момент времени t могут находиться в одном из двух состояний - работоспособном (способны взаимодействовать с другими индивидуумами и быть членом группы) или неработоспособном (неспособны взаимодействовать). Группа в целом также может находиться в одном из двух состояний - работоспособном (пригодна к выполнению группового задания) или неработоспособном. Известна статическая модель группы в виде зависимости ее состояния от состояний всех индивидуумов в один и тот же произвольный момент времени t, задана динамика изменения состояния каждого индивидуума во времени. Требуется определить динамику изменения состояния всей группы с течением времени.

Поставим в соответствие работоспособному (неработоспособному) состоянию индивидуума и группы значение 1 (0). Тогда заданной динамике изменения состояния i-го индивидуума можно поставить в соотве­тствие двоичный процесс , а искомой динамике изменения состояния группы — двоичный процесс y(t), где y  {0,1}. Заданной статической модели группы ставится в соответствие булева логическая функция состояния группы

y = f(x1,…,xn).                                                             (1)

Логическая функция (1) является математической моделью динамического автомата без памяти. Она реализуется соответствующей асинхронной комбинационной схемой, построенной из подходящих логических элементов. Динамический автомат без памяти с логической функцией (1) является абстрактной математической моделью динамического поведения группы. Соответствующая асинхронная комбинационная схема, реализующая логическую функцию (1) автомата, является структурной математической моделью динамического поведения группы.

Поставленная задача нахождения динамического процесса y(i) изменения состояния группы по заданным процессам х1(t),..., xn(t) изменения состояния ее индивидуумов и функции состояния группы (1) в соответствии с построенной автоматной динамической моделью группы сводится к следующей задаче динамической теории автоматов. Задана асинхронная комбинационная схема динамического автомата без памяти, реализующая логическую функцию (1), и ее входные процессы x1(t),..., xn(t). Требуется найти выходной процесс схемы y(t). Последняя задача решается известными из указанной теории методами, например, методом подстановок:

·        схема автомата разбивается на последовательные ступени глубиной в один логический элемент;

·        с помощью базовых операций НЛ V-max (дизъюнкция) и &-min (конъюнкция) находятся соотношения F между входными и выходными процессами всех типов элементов схемы;

·        по заданным входным процессам схемы x1(t),..., xn(t) и найденным соотношениям F определяются сначала процессы на выходах 1-й ступени, по ним - процессы на выходах 2-й ступени и т.д. ..., процесс y(t) на выходе схемы. Процесс y(t) есть искомый динамический процесс изменения состояния группы. Моменты изменения в этом процессе выражаются через моменты изменения в процессах xi(t), описывающих динамику поведения отдельных индивидуумов, с помощью операций НЛ  и &.

Пример 1. Рассмотрим группу из трех индивидуумов 1, 2, 3 с производительностью 3, 4, 2 ед. Группа работоспособна, если ее суммарная производительность >6 ед. Индивидуумы 1,2,3 работоспособны на интервалах времени (a, b), (с, d), (e, l). Определим динамику изменения состояния группы.

По условию задачи есть только три комбинации состояний индивидуумов, которым соответствует работоспособное состояние группы:

·        индивидуумы 1,2 работоспособны, индивидуум 3-нет;

·        индивидуумы 2,3 работоспособны, индивидуум 1 -нет;

·        индивидуумы 1, 2, 3 работоспособны.

Этому соответствует булева логическая функция состояния группы в виде дизъюнкции трех конъюнкций:

                           (2)

Здесь хi= 1 (0) означает работоспособное (неработоспособное) состояние i-го индивидуума, у = 1(0) -аналогичное состояние группы,  - отрицание хi.

Упростим выражение (2). Добавив в правую часть (2) еще одну третью конъюнкцию (что по закону идемпотентности а  а = а не меняет величины выражения), объединив одну из них с первой, а другую - со второй конъюнкцией и вынеся из каждой пары за скобки общие буквы, получим с учетом законов  [5-7]:

y=x1x2  x2x3                                                             (3)

Выражению (3) соответствует асинхронная комбинационная схема-модель динамического поведения группы (рис. 1).

Рис. 1. Автоматная математическая модель поведения социальной группы:

x1, x2, x3 - входы, моделирующие состояния индивидуумов; y -выход, моделирующий состояние группы; &-элементы-конъюнкторы; V - элемент-дизъюнктор

 

Вычисляем выходной процесс y(t) схемы (рис. 1), моделирующий изменение во времени состояния группы. Входные процессы схемы, моделирующие изменение во времени состояний индивидуумов, имеют по условиям задачи вид единичных импульсов в соответствующих временных интервалах:

x1(t) = 1(a, b), x2(t) = 1(c, d), x3(t) = 1(e, l).

По формулам динамической теории автоматов [5-7] находим сначала процессы на выходах первой ступени схемы-модели

затем — процесс на выходе второй ступени - процесс изменения состояния группы

Здесь 1(а, b) - импульсы в соответствующих временных интервалах, 0(-, -) — промежуточная пауза, V-max — дизъюнкция НЛ (знак & конъюнкции НЛ опущен). После раскрытия скобок по распределительному закону и упрощения по законам с Vас = с, с Vс = с получим окончательно

           (4)

Согласно (4) в общем случае есть два интервала, где группа работоспособна (у = 1). Они показаны в 1-й и 3-й скобках выражения (4). В остальных интервалах группа неработоспособна.

В качестве второго примера изложим методику построения автоматно-логических моделей представления визуальной информации, заданной в виде сцены (совокупностей объектов) на прямой, на плоскости и в n-мерном пространстве (n ≥ 3). Автоматное моделирование сцен позволяет представлять характеристики взаимного расположения объектов сцены как числовые характеристики выходного процесса автомата-модели, входные процессы которого — числовые характеристики расположения на сцене отдельных объектов. При этом каждому объекту соответствует свой вход автомата. Такие модели позволяют вычислять в аналитической форме различные характеристики взаиморасположения объектов сцены, сводя эти задачи к известным из динамики автоматов задачам аналитического определения выходных процессов автомата по его входным процессам.

В случае простейшей сцены - на прямой линии - объектами являются n отдельных интервалов на этой прямой (ak, bk), k = 1, ..., n, а задача заключается в нахождении результирующей линейной картины взаиморасположения указанных интервалов. Будем интерпретировать заданную прямую как ось времени. При этом заданные интервалы на прямой можно интерпретировать как временные интервалы. Рассмотрим конечный динамический автомат без памяти с n входами и одним выходом, на котором реализуется логическая булева функция  (симметрическая функция индекса r от n аргументов). Пусть на k-м входе автомата действует единичный импульс 1(ak, bk) - интервал его действия совпадает с k-м из заданных интервалов сцены. Так как функция  только в том случае, если ровно r ее аргументов (безразлично каких) равны 1, то процесс на выходе данного автомата равен 1 только в тех интервалах, в которых ровно r его входных процессов (безразлично каких) равны 1, т.е. процесс на выходе автомата с функцией  равен 1 только на тех участках, на которых пересекаются ровно r объектов (интервалов) заданной линейной сцены. Таким образом, совокупность автоматов с функциями , r = 0,..., n, полностью моделирует своими выходными процессами искомую картину взаиморасположения интервалов на прямой.

В случае плоской сцены элементарными объектами являются прямоугольники на плоскости, а задача состоит в нахождении плоской картины их взаиморасположения. Эта задача решается методом сечений, т.е. разбиением плоской сцены на несколько линейных сцен с помощью семейства параллельных секущих линий, решением соответствующих линейных задач и объединением их результатов. Метод сечений позволяет анализировать и сцены более высокой размерности, обеспечивая последовательное снижение этой размерности.

Примеры построения автоматных моделей сцен даны в [8].

В качестве третьего примера рассмотрим автоматное моделирование распознавания образов. Распознавание образов — важная часть многих систем управления. Обычный подход при распознавании образов - использование измерительной сетчатки с заменой каждого образа вектором х = (хl,..., xn), где хk = 1(0), если k-я ячейка сетчатки занята (не занята) образом. Одно из возможных упрощений - автоматное представление образов, основанное на преобразовании образов во временные процессы, подаваемые на входы автомата-модели, процесс на выходе которого дает результат распознавания.

Пусть имеется образ — плоская фигура и система P плоских эталонов, определяющих классы фигур. Принадлежность фигуры классу k определяется ее большей близостью к k-му эталону, чем к другим эталонам. Задача распознавания - установить, к какому из P классов принадлежит данная фигура. Для решения надо сравнить данную фигуру с каждым из P эталонов, получив P значений показателя близости П фигуры и эталона, и отнести фигуру к тому классу, для которого П = min.

Рассмотрим распознаваемую фигуру и эталон, с которым сравнивается фигура, в декартовой системе координат (х, у). Рассечем фигуру и эталон вдоль оси x семейством параллельных равноотстоящих прямых k, k = 1, ...,p (рис. 2). Каждая линия к пересекается с фигурой в 2m(k) точках: вначале входит в точке ak1 и выходит в точке bk1, затем снова входит в точке bk2 и выходит из нее в точке ak1 и т.д., наконец, входит в точке akm(k) и выходит в точке bkm(k). Аналогично линия k пересекается с эталоном в 2n(k) точках: вход в точке ck1 и выход в точке bk1, вход в точке ck2 и выход в точке dk2 и т.д., наконец, вход в точке ckn(k) и выход в точке dkn(k).

Рис. 2. К автоматной модели распознавания образов:

жирно обведена распознаваемая фигура (эталон); 1,…, k,…, p - сечения фигуры (эталона)

 

Точкам пересечения линий k с фигурой можно поставить во взаимно однозначное соответствие двоичные процессы xk(t), а точкам их пересечения с эталоном — двоичные процессы yk(t). Эти процессы дают полную информацию о распознаваемой фигуре и эталоне - в пределах точности приближения, т.е. позволяют решить задачу. Все показатели близости фигуры и эталона — булевы функции f процессов xk(t) и yk(t). Каждой функции f можно поставить во взаимно однозначное соответствие реализующую ее логическую схему с двоичными входами, по которым подаются процессы xk(t) b yk(t), и одним двоичным выходом, с которого снимается процесс-показатель близости фигуры и эталона. Построенная схема является автоматной математической моделью представления фигуры и эталона и показателя их близости. По ней строится эффективный алгоритм вычисления показателя П и соответственно распознавания.

Пример 2. Построим модель для вычисления некоторого показателя близости фигуры и эталона. Пересечениям любой k-й сканирующей прямой с распознаваемой фигурой поставим в соответствие зависящий от x двоичный процесс (см. рис. 2):

     (5)

а пересечениям этой прямой с эталоном — аналогичный двоичный процесс

       (6)

В формулах (5) и (6) 1(e,f) означают интервалы (е, f) единичных значений процесса (где прямая k находится внутри фигуры или эталона), а 0(-, -) - промежуточные интервалы его нулевых значений (где прямая к находится вне фигуры или эталона). Совокупность p процессов вида (5) [вида (6)] содержит полную информацию о фигуре [эталоне] и потому достаточна для определения различных показателей близости фигуры и эталона. Так, локальный показатель близости Пk0(x) - отсутствие фигуры в том месте х k-й прямой, где имеется эталон, - выражается в виде булевой конъюнкции

а локальный показатель близости Пkn(x) - присутствие фигуры в том месте х k-й прямой, где нет эталона, - в виде конъюнкции

Оба показателя можно соединить в локальный показатель близости Пk(х) - несовпадение фигуры и эталона в точке х k-й сканирующей прямой

  (7)

В формуле (7)  — сложение по модулю 2, а  — дизъюнкция. Будем оценивать близость фигуры и эталона в целом с помощью глобального показателя близости П≥1(x) — несовпадения фигуры и эталона в точке x хотя бы одной из p сканирующих прямых k (k = 1,..., р). Чем ближе П≥1(x) к тождественному нулю, тем больше совпадение фигуры и эталона. Данный показатель выражается через локальные показатели

                                                                             (8)

Выражениям (7) и (8) соответствует асинхронная комбинационная схема-модель для вычисления показателя близости П≥1(x) фигуры и эталона (рис. 3).

Рис. З. Математическая модель вычисления показателя близости фигуры и эталона в виде автомата:

uk(x) - k-е сечение фигуры; vk(x) - k-е сечение эталона; П≥1(х) -показатель близости фигуры и эталона;  - элемент-сумматор по модулю 2;  — элемент-дизъюнктур

Зная входные процессы этой схемы , описывающие фигуру и эталон, по формулам динамической теории автоматов [5-7] находим процесс на ее выходе П≥1(х), оценивающий близость фигуры и эталона. Вычислив показатель близости П≥1(х) для всех пар фигура-эталон, относим распознаваемую фигуру к тому классу, эталон которого наиболее близок к фигуре.

В качестве четвертого примера рассмотрим простейшую динамико-автоматную модель изменения занятости. Имеется n предприятий с одинаковой численностью работающих N, каждое из которых в любой момент времени t может работать (и тогда все его сотрудники считаются работающими) или простаивать (и тогда все его сотрудники считаются безработными). Имеется также m проектов, реализация каждого из которых создает на определенное время одно и то же число новых рабочих мест, совпадающее с числом работающих на каждом предприятии. Ясно, что реализация одного проекта позволяет трудоустроить всех безработных с одного предприятия. Это дает возможность построить следующую математическую модель динамики занятости.

Заданной динамике состояния i-го предприятия ставим в соответствие двоичный процесс xi(t), i=1,…, n где xi = 1 (хi = 0) означает работу (простой) i-го предприятия. Аналогично известной динамике состояния i-го проекта ставим в соответствие двоичный процесс yi(t), i=1,…, n где yi = 1 (yi = 0) означает реализованность (нереализованность) i-го проекта.

Неизвестной динамике состояния системы ставим в соответствие набор двоичных процессов zi(t), i=1,…, n где zi = 1 (zi = 0) означает, что итоговое количество безработных в данный момент времени равно (не равно) iN человек, т.е. единицей измерения является число работающих на одном предприятии.

Для нахождения процессов zi(t) используем следующую автоматную модель. Ясно, что итоговое количество безработных определяется соотношением числа ставших безработными из-зa остановки предприятий и числа трудоустроенных из них на вновь созданные рабочие места. Введем в рассмотрение логические булевы функции:

 - симметрическая булева функция индекса r от n переменных x1,…, xn;

 - симметрическая булева функция индекса ≥ r от m переменных y1,…, ym;

 - симметрическая булева функция индекса r от тех же m переменных.

Функция  = 1, если ровно r аргументов равны 1. Так же определяется . Функция  = 1, если ≥ r аргументов равны 1. В терминах введенных функций получим следующие выражения переменных zi в ДНФ:

                                     (9)

Функция  выражается через функции  в виде дизъюнкции:

                                                               (10)

Системе логических функций (9), (10) соответствует математическая модель динамического автомата без памяти. Таким образом, система логических функций zi(x1,…, xn, y1,…, ym), i = 0,…, n, выражаемых формулами (9), (10), и есть автоматная математическая модель динамики занятости. Она реализуется асинхронной комбинационной схемой из логических элементов. Динамический автомат без памяти с системой логических функций (9) является абстрактной математической моделью динамики занятости, а соответствующая асинхронная комбинационная схема, реализующая эти функции, - ее структурной моделью (рис. 4).

Рис. 4 автоматная математическая модель процесса изменения занятости:

x1,…, xn — входы, моделирующие состояния предприятии; y1,…, ym — входы, моделирующие состояния проектов по созданию новых рабочих мест; z0,…, zn -выходы, моделирующие состояния всей системы (итоговый уровень занятости); 1 - блок, реализующий функции  - блок, реализующий функции zi(x1,…, xn, y1,…, ym); 3 - блок, реализующий функции ; 4 - блок, реализующий функции ; 5- блок, реализующий функцию zn(x1,…, xn, y1,…, ym)

Нахождение динамических процессов zi(t), i = 0,…, n, изменения занятости по заданным процессам xi(t),…, xn(t) изменения состояния предприятий, процессам y1(t),…, ym(t) реализации проектов создания рабочих мест и функциям zi(x1,…, xn, y1,…, ym), i = 0,…, n, состояния системы сводится к известной задаче динамической теории автоматов. А именно, задана асинхронная комбинационная схема динамического автомата без памяти, реализующая логические функции zi(x1,…, xn, y1,…, ym), i = 0,…, n, и ее входные процессы x1(t),…, xn(t), y1(t),…, ym(t). Требуется найти выходные процессы схемы zi(t), i = 0,…, n. Последняя задача решается известным методом последовательных подстановок от входов схемы к ее выходам.

Изложенная модель занятости сильно упрощена. Она не учитывает:

·        различие в численности работающих на разных предприятиях и в числе создаваемых различными проектами рабочих мест, а также несвязанность между первыми и вторыми;

·        конечное время, необходимое для трудоустройства безработного;

·        различие в специальностях безработных между собой и с вновь образуемыми рабочими местами и связанная с этим необходимость переобучения;

·        возможность неполного прекращения работы предприятия и связанный с этим переход в статус безработных лишь части работников. Все эти тонкости могут быть учтены путем уточнения предложенной модели.

По вычисленным процессам zi(t), i = 0,…, n, изменения занятости можно осуществлять управлением уровнем занятости. Если цель управления — снижение уровня безработицы, то алгоритм управления таков.

1. Находится процесс zs(t) с максимальным номером s, отличный от тождественного нуля.

2. Находятся интервалы (as1, bs1),…, (asm(s), bsm(s)) в которых zs(t) = 1; в каждом из них уровень безработицы максимальный, равный sN человек.

3. Планируется m проектов, k-й из которых при реализации создает N новых рабочих мест в интервале времени (ask, bsk); тем самым во всех интервалах, найденных на шаге 2, уровень безработицы снижается на N человек, так что найденный процесс zs(t) становится тождественно равным нулю. Дальше изложенная процедура применяется к оставшимся ненулевым процессам zi(t), в результате чего уровень безработицы снижается еще на N человек и т.д., вплоть до достижения требуемого уровня или исчерпания ресурсов по созданию новых рабочих мест.

 

Список литературы

1. Ленин В.И. Бесконечнозначная логика и переходные процессы в автоматах //Автоматика и вычислит, техника, 1972, № б, С. 84—93.

2. Шеннон К. Э. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.

3. Nakashima A. Algebra of logic research // Nipp. El. С о mm. Eng. 1936-1938.

4. Шестаков В.И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем) // Журнал технич. физики. 1941, № 2. С. 532-549.

5. Левин В.И. Введение в динамическую теорию конечных автоматов. Рига: Зинатне, 1975.

6. Левин В.И. Динамика логических устройств и систем. М.: Энергия, 1980.

7. Левин В.И. Теория динамических автоматов. Пенза: Изд-во Пенза. гос. техн. ун-та, 1995.

8. Левин В.И. Теория автоматов в задачах анализа сложных изображений // Информационные технологии. 1997. № 7. С. 22—30.

 

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, №9. 1997

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ

 

Ключевые слова: Моделирование, динамические автоматы, непрерывная логика, детерминированные автоматы, логические функции, распознавание образов, алгоритмы управления.

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2022 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)