НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.31

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

sa_vasyukov@mail.ru

Пространственное положение оси вращения разбалансированного ротора ЭСГ относительно положительного направления трех осей чувствительности емкостных датчиков устанавливается тремя углами, связанными между собой системой трех уравнений вида [1]:

                             (1)

Эта система, в принципе, позволяет при известных значениях углов , , и , , определить неизвестные три угла , ,, составляемых осью вращения ротора с тремя осями чувствительности O₁, O₂, O₃.

Для однозначного определения произвольной угловой ориентации оси вращения ротора в диапазоне 0-360° система уравнений функциональной связи [1] должна обеспечивать однозначную функциональную связь входящих в нее геометрических углов , ,. В то же время при выводе основных уравнений связи на область допустимых значений углов , фиксирующих угловую ориентацию оси вращения ротора, было наложено ограничение (1.8), устанавливающее, что ось вращения не совпадает и не перпендикулярна ни одной из осей чувствительности ротор-электродных пар. Очевидно, что при угловых перемещениях оси вращения в широком диапазоне углов возможны и такие ее положения, когда наложенное ограничение не удовлетворяется, во всяком случае, для одной из осей чувствительности.

От указанного недостатка свободна октантная система электродов подвеса [12], в которой оси чувствительности ротор-электродных пар совпадают с диагоналями куба с вершинами в центрах электродов подвеса (рис. 1).

Рисунок 1.

В результате очевидных тригонометрических вычислений можно показать, что для октантной системы электродов подвеса взаимное расположение положительных направлений осей чувствительности ротор-электродных пар характеризуется следующими количественными соотношениями:

Тогда система уравнений функциональной связи вида (1) относительно углов, составляемых осью вращения ротора, например с положительными направлениями осей 1, 2 и 3, будет иметь следующий вид:

                                         (2)

Обозначив , перепишем систему (2) в виде:

                             (3)

Разрешив уравнения системы (3) относительно D₂, D₃, D₁соответственно, получим следующие алгебраические выражения:

   (4)

Рассматривая первое из полученных алгебраических выражений при  и выполнив его дифференцирование по аргументу, а затем, приравняв получившееся выражение поочередно нулю и бесконечности, найдем координаты характерных точек функциирис. 2

                         (5)

Рисунок 2.

Возвращаясь к первому уравнению системы (2), можно отметить, что в случае, если имеет место D₁D₂≥1/3 и, следовательно, точка решения лежит на участке 2-3 (рис. 2), в противном случае — на участке 2-1 — 4-3. Выполнив соответствующие алгебраические преобразования и при, также получим координаты характерных точек функции, рис. 3

Рисунок 3.

Рисунок 4.

В этом случае также справедливо утверждение, что при точка решения лежит на участке 2-3, в противном случае — на участках 1-2 или 3-4. Поскольку функция идентична функции  вычисление координат ее характерных точек приводит к аналогичным выражениям с теми же замечаниями к области нахождения точки решения .

Рассматривая третье уравнение системы (2), можно отметить, что вследствие имеющего место неравенства D₃D₁ ≥ 0, для того, чтобы это уравнение могло обратиться в тождество, должно иметь место, а, следовательно, график функции аналогичен графику функции (рис. 3) в области отрицательного аргумента (-D₃)с соответст­вующими алгебраическими выражениями для координат характерных точек кривой.

Таким образом, анализ функциональных зависимостей системы (4) показал, что соответствующие функции являются непрерывными и монотонными на участках их изменения, вследствие чего функциональное уравнение вида х = F(x), где х и F(x), в частности, могут быть равны соответственно D и  имеет решение и притом единственное, которое может быть найдено с необходимой точностью одним из численных итерационных методов решения функциональных уравнений вида х = F(x). В результате численного решения функционального уравнения определяются две из трех необходимых точек решения (в частности  и ), а после преобразования в одной из двух оставшихся коорди­натных плоскостей находится и последняя точка решения .

При перемещениях оси вращения ротора в широком диапазоне углов возможно ее совпадение с одной из осей чувствительности (для определенности будем считать, что ось вращения совпала с положительным направлением 1-ой оси чувствительности). В этом случае для определения трех углов , фиксирующих пространственную ориентацию оси вращения ротора, уравнения связи можно составить для углов, образуемых осью вращения ротора с положи­тельными направлениями 2 и 4 осей чувствительности и отрицательным направлением 3-ей оси. Соответствующая этому случаю, система уравнений связи будет иметь вид:

                      (5)

Подв данном случае понимается угол, составляемый осью вращения ротора с отрицательным направлением 3-ей оси чувствительности. Система уравнений (5) в результате аналогичных, выполненных выше, преобразований может быть приведена к совокупности алгебраических выражений вида

                 (6)

                 где

Примерный вид каждой из зависимостей (6), построенной с учетом того, что в данном случае, приведен на рис. 4, где координаты точек 1 и 2 соответствуют координатам точек 1 и 4 на рис. 3. Анализируя зависимости (6), можно также утверждать, что функции f в рассматриваемом случае непрерывны и монотонны в интервалах их изменения, а поэтому так же функциональное уравнение х = F(x), соответствую­щее любой из функциональных зависимостей системы (6), имеет единственное решение, которое может быть найдено одним из сходящихся итерационных методов решения функционального уравнения х = F(x).

Таким образом, при любой угловой ориентации оси вращения ротора относительно осей чувствительности четырехосной (октантной) системы электродов подвеса, три угла , могут быть однозначно определены в результате численного решения соответствующей системы трех трансцендентных уравнений функциональной связи. Очевидно, что для решения такой системы уравнений должны быть также известны значения всех других углов, входящих в систему, а именно: углов совокупности  и . Как уже отмечалось, совокупность геометрических углов определяется ис­ключительно конструкцией прибора (взаимным расположением осей симметрии ротор — электродных пар) и является постоянной, не зависящей от угловой ориентации оси вращения ротора, а элементы этой совокупности углов войдут в соответствующую систему уравнений связи в качестве постоянных. В то же время совокупность углов  не является постоянной, а трансформируется в зависимости от положения экваториальной плоскости ротора и, соответственно, оси вращения ротора, Таким образом в данном случае для определения мгновенного углового положения оси вращения ротора в косоугольной системе координат (мгновенных значений, по крайней мере, трех углов ) необходимо измерить функционально связанные с ним три угла .

Естественно принять, что система измерения этих углов должна органически вписываться в конструкцию ЭСГ и, что особенно важно, осуществлять измерение с помощью бесконтактных датчиков. В [1] изложен принцип кодирования угловых перемещений оси вращения ротора посредством эффекта модуляции зазора электрод — ротор, вызванного вращением разбалансированного ротора, поэтому логично было использовать бесконтактный емкостной датчик линейных перемещений, уже нашедший применение в конструкции ЭСГ в системе подвеса ротора. В новых условиях на его выходе появится напряжение биения на частоте вращения ротора, параметры которого будут содержать информацию об его угловых перемещениях (формула 1.4). Там же указано, что измерение геометрических углов - между проекциями каких-либо двух осей чувствительности O_i, и O_j, электродных пар на экваториальную плоскость ротора может быть осуществлено посредством измерения временных интервалов между экстремумами линейных перемещений ротора в направлении этих осей (формула 1.3). Таким образом окончательно можно сделать вывод о том, что геометрический угол  численно равен разности фаз между напряжениями биений на выходе соответствующих датчиков линейных перемещений ротора, то есть

                                             (7)

где — моменты времени, в которые напряжения биений на выходе датчиков линейных перемещений ротора по i-ой и j-ой осям чувствительности соответственно достигают своих экстремальных значений.

Выводы:  Анализ уравнений функциональной связи в ЭСГ указывает на возможность вычисления неизвестных углов, составляемых осью вращения ротора с осями чувствительности в пространственно-фазовом методе при ограничении, что ось вращения не совпадает и не перпендикулярна ни одной из осей чувствительности. Для однозначного определения произвольной ориентации оси вращения ротора в диапазоне 0÷360°, когда такая ситуация может быть, необходимо перейти к четырехосной (октантной) системе осей чувствительности.

Список литературы:

1.    Дробышев Г.Ф. Принцип кодирования угловых перемещений в системах с несбалансированным ротором // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Спец. вып. «Электротехника и электроника». С. 95-101.

2.    Avionics. Light Compact Navigator // Aviation Week & Space Technology. 1970. No 9. P. 51-55.