НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 539.3

Россия, Саратов, СГУ им. Н.Г. Чернышевского

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

prikazchikovda@rambler.ru

nanofrikova@yandex.ru

Введение

Исследование динамики покрытий является актуальной задачей, имеющей многочисленные приложения в современной науке и технике [1, 2]. Несмотря на то, что аналитическое решение может быть сравнительно легко записано, его дальнейший анализ существенно затруднен, оставляя возможность лишь для численного исследования.  В этой связи одним из основных подходов к задаче остается получение приближенных граничных условий на границе основы и покрытия, в результате чего исследование сводится к более простой задаче для упругого полупространства, с приведенными граничными условиями, учитывающими свойства материала покрытия.

В классической работе [3]  приведенные граничные условия были получены на основе физических гипотез. Более строго они могут быть выведены на основе метода прямого асимптотического интегрирования, разработанного А.Л. Гольденвейзером, см.  [4-7]. Следует также отметить, что отсутствие должной математической строгости может привести к неточностям, см. например, [8], которые отразились и в последующих работах [9], [10]. В то же время в [11] показано, что слагаемые, за счет которых «уточняются» граничные условия [3], относятся к более высокому порядку малости, чем порядок предлагаемой в [8] приближенной теории.

Целью настоящей работы является вывод на основе метода асимптотического интегрирования приведенных граничных условий на поверхности контакта упругой полуплоскости и вязкоупругого покрытия. Следует отметить, что метод асимптотического интегрирования успешно применялся ранее для вязкоупругих тонкостенных конструкций [12, 13]. В данной работе  получено длинноволновое приближение для неоднородных граничных условий на поверхности покрытия. Это позволит в дальнейшем не только использовать их для построения эффективного приближения дисперсионного соотношения, но и построить на их базе асимптотическую модель для волны Рэлея, расширяя подход, ориентированный на выделение вклада поверхностных волн в общую динамическую картину [11, 14, 15], на случай упругого полупространства с вязкоупругим покрытием.

1. Постановка задачи

Рассмотрим упругую изотропную полуплоскость с тонким вязкоупругим покрытием постоянной толщины . Введем прямоугольную декартову систему координат следующим образом: предположим, что ось  лежит на поверхности покрытия, а ось  направлена вниз, так, что граница раздела между основанием и покрытием задается уравнением .

Уравнения движения в выбранной системе координат имеют вид:

,          ,                                                 (1.1)

где  - компоненты вектора перемещения,  - компоненты тензора напряжений,  - плотность материала. Уравнения состояния для упругой полуплоскости примем в виде:

                                   (1.2)

где  и  - постоянные Ламе. Скорости волн расширения и сдвига определяются выражениями

 и .                             (1.3)

Уравнения состояния для вязкоупругого изотропного материала возьмем в интегрально-операторной форме

                                (1.4)

где  и  - интегральные операторы, задаваемые формулами

,     (1.5)

.

Здесь  и  - постоянные материала покрытия,  и  - ядра релаксации.

Предположим, что на поверхности  действует нормальная нагрузка , тогда граничные условия запишутся следующим образом:

,            при .          (1.6)

Кроме того, мы будем принимать во внимание условие непрерывности перемещений и напряжений при .

2. Приведенные граничные условия

Рассмотрим задачу для вязкоупругого покрытия, задавая на границе  условия:

,                                                            (2.1)

где  - заданные перемещения, .

Применим к задаче (1.1), (1.2), (1.4) стандартную схему асимптотического интегрирования, см. например, [4-7, 11]. В случае покрытия , все параметры материала обозначим индексом '0'. Введем малый геометрический параметр

,                                         (2.2)

соответствующий предположению о длинноволновом приближении, где  - характерная длина волны. Введем безразмерные переменные

,    ,    ,                    (2.3)

где ,  - плотность материала покрытия. Также введем безразмерные величины

       ,   ,   ,   ,   ,        (2.4)

где  - максимальная амплитуда перемещений и предполагается, что величины со звездочкой одного асимптотического порядка.

Уравнения движения и состояния в безразмерных переменных принимают вид

,

,

,                              (2.5)

,

,

где , , , .

Граничные условия в безразмерной форме имеют вид:

,  при ,        при .                                         (2.6)

Разложим перемещения и напряжения в ряды по малому параметру :

.                                                                                       (2.7)

Подставляя эти ряды в уравнения (2.5) и граничные условия (2.6), и приравнивая коэффициенты при , получаем систему для определения компонент ведущего порядка

,

,

,                                                 (2.8)

,

,

 при ,

при ,

 при .

Интегрируя уравнения (2.8)₄ и (2.8)₅ совместно с граничными условиями (2.8)₆, а также уравнение (2.8)₂ совместно с граничным условием (2.8)₇, найдем

,                                                                                          (2.9)

Последняя формула дает главный член искомого значения нормального напряжения .

Из уравнения (2.5)₄ получим:

,                                            (2.10)

откуда,

.                                                                                                           (2.11)

Из граничных условий (2.6) имеем

 при ,                                                                                                          (2.12)

следовательно,

.                                                                                                            (2.13)

Аналогично, из (2.5)₅, с учетом граничного условия (2.12)

,                        (2.14)

где I– тождественный оператор и

,   .             (2.15)

Используя формулы (2.5)₃, (2.9) и (2.14), находим

   (2.16)

Подставляя (2.16) в (2.8)₁, учитывая (2.8)₈, получим выражение для  – главного члена в разложении :

      (2.17)

Возвращаясь к исходным переменным, запишем приведенные граничные условия на поверхности контакта :

               (2.18)

где

.

Заключение

В данной работе в рамках длинноволнового приближения получены эффективные граничные условия для системы «упругая основа – вязкоупругое покрытие» для случая заданных на поверхности покрытия нормальных усилий.  В дальнейшем результаты (2.18) могут быть использованы для анализа поля волны Рэлея в случае заданного типа нагрузки на поверхности, см. [11], а также исследования распространения поверхностной волны в зависимости от параметров материала вязкоупругого покрытия. При этом возможность рассмотрения динамической задачи обеспечивается тонкостью покрытия.

Авторы выражают свою искреннюю благодарность д.ф.-м.н., проф. Каплунову Ю.Д. за плодотворные обсуждения. Исследования Анофриковой Н.С. поддержаны грантом РФФИ № 11-01-00545-a. Исследования Приказчикова Д.А. выполнены при поддержке РФФИ, грант № 12-01-33049.

Список литературы

1.     Shuvalov A.L., Every A.G. On the long-wave onset of dispersion of the surface-wave velocity in coated solids // Wave Motion. 2008. Vol. 45, no. 6. P. 857-863. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.wavemoti.2007.12.002

2.     Захаров Д.Д. Эффективные аппроксимации высокого порядка для слоистых покрытий и прослоек из анизотропных упругих, вязкоупругих и нематических материалов  // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, № 3. С. 403-418.

3.     Tiersten H.F. Elastic surface waves guided by thin films // J. Appl. Phys. 1969. Vol. 40. P. 770-789.

4.     Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26, № 4. С. 662-686.

5.     Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 510 с.

6.     Goldenveiser A.L., Kaplunov J.D., Nolde E.V. On Timoshenko-Reissner type theories of plates and shells // Int. J. Solids Struct. 1993. Vol. 30. P. 675-694.

7.     Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. N.-Y.: Academic Press, 1998. 226 p.

8.     Bovik P. A comparison between the Tiersten model and O(h) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers // ASME J. Appl.Mech. 1996. Vol. 63. P. 162-167.

9.     Niklasson J., Datta S.K., Dunn M.L. On approximating guided waves in plates with thin anisotropic coating by means of effective boundary conditions // J. Acoust. Soc. Am. 2000. Vol. 108. P. 924-933.

10.  Vinha P.C., Linhb N.T.K. An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer // Wave Motion. 2012. Vol. 49, № 7. P. 681-689. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.wavemoti.2012.04.005

11.  Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. A long-wave model for the surface elastic wave  in a coated half-space // Proc. Roy. Soc. A. 2010. Vol. 466. P. 3097-3116.

12.  Anofrikova N.S., Kossovich L.Yu., Kirillova I.V., Shevtsova Yu.V. Non-stationary waves in thin walled bodies at shock loading: asymptotic approach // Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics. Elite Publishing House Ltd., 2011. P. 318-330. ISBN 81-88901-43-1.

13.  Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Изв. ВУЗов Сев.-Кавк. региона. Естественные науки. 2000. № 2. С. 17-24.

14.  Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D.A. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves // IMA J. Appl. Math. 2006. Vol. 71. P. 768-782.

15.  Приказчиков Д.А. Развитие асимптотических моделей для поверхностных и интерфейсных волн // Вестник НГУ им. Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 4, № 4. С. 1713-1715.