НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК  623.5 (533.696.3)

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

romanova@sm.bmstu.ru

sm4@sm.bmstu.ru

Рассмотрим класс летательных аппаратов, с необратимыми деформациями корпуса в виде произвольно искривленной оси. Актуальной является задача разработки  методики расчета аэродинамических коэффициентов таких тел.

Одной из главных компонент аэродинамических нагрузок являет­ся составляющая, обусловленная действием сил давления (см. [1]). Ряд приближенных методов ее определения, о которых говорилось в данной статье, оказался по тем или иным причинам непригодным для исследуемого класса тел - искривленных, с большими величинами де­формаций. Так, форма исследуемого объекта не позволяет применять в полной мере методы касательных конусов, а точность метода течений разрежения - скачков уплотнения ухудшается с ростом углов атаки, ибо при этом начинает сказываться влияние вязкости, отрывных течений, а также ухудшение использования предположения о плоских течениях в каждой меридиональной плоскости.

В результате анализа существующих методов, проведенной в [1] за основу была взята гипотеза "ньютонова торможения". Она обычно применяется для приближенного расчета давления при больших скоростях обтекания. Согласно корпускулярной теории Ньютона частицы газа испытывают возмущения только при ударе о твердую стенку и полностью теряют нормальную к стенке составляющую количества движения. С физической точки зрения при обтекании тела с большой сверхзвуковой скоростью предположение Ньютона становится справедливым [2], так как в этом случае ударная волна располагается близко к поверхности тела и все струйки до ударной волны имеют одинаковые направления и величину скорости невозмущенного потока, а за ударной волной движутся в тонком слое между нею и телом и приобретают почти одинаковые скорости, параллельные его поверхности. Чем больше число Маха и тоньше тело, тем ближе к действительности теория Ньютона. Указанная причина объясняет достаточно хорошую сходимость расчета и реального распределения давления, увеличивающуюся по мере роста числа Маха и практический расчет дает во многих случаях удовлетворительные результаты, несмотря на то, что влияние вязкости в теории Ньютона не учитывается. Для повышения точности расчетов в общепринятую формулу, выражающую давление через квадрат синуса угла наклона тела без поправки на центробежные силы, вводится некоторый множитель, учитывающий точное значение давления торможения» Предложенная Лизом формула носит название ньютоновой модифицированной и носит эмпирический характер.

Пределы применения теории с учетом различных модификаций даже в случае исследования нестационарного обтекания (γ - коррекция) могут быть расширены до 2-3, причем, как показано в [1] (сравнение с теорией поперечного обтекания), теория может применяться и при больших отклонениях потока. Взятая за основную физическую гипотезу при разработке методики определения стационарных и нестационарных характеристик - составляющих от распределения сил давления гипотеза ньютонова торможения была в [1] проверена экспериментально для исследуемых искривленных тел путем сравнения с расчетными зависимостями значений коэффициентов давления на поверхности тела и суммарных аэродинамических и была подтверждена возможность ее применения.

В соответствии с указанной гипотезой распределение давления на теле определяется по формуле через коэффициент давления:

где   η - угол между направлением набегающего потока и нормалью к поверхности тела, индекс ∞  относится к параметрам набегающего потока;    V_∞ - скорость набегающего потока (модуль), ρ – плотность,  q_∞ - скоростной напор.

Рассматриваются две составляющие вектора скорости набегающего потока: от поступательного движения  и от вращательного движения вокруг центра масс со скоростью : . Тогда коэффициент давления будет состоять из двух членов, определяемых нормальными частями указанных составляющих, так что (1) запишется в виде:

где индекс "отн." определяет относительную скорость частицы газа, равную переносной скорости точки тела, в которой определяется давление, взятой с обратным знаком. Основной задачей, как следует из формул для коэффициента давления, является определение нормали к поверхности, тогда можно определить и составляющие нормальной скорости, а значит, и коэффициент .

Приведем общие соотношения для скоростей, давлений, сил и моментов.

Нормальные составляющие скоростей получаются скалярным перемножением вектора соответствующей скорости на вектор единичной нормали:

где      V_xω, V_yω, V_zω-  компоненты вектора поточной скорости в некоторой системе XYZ;

N_x, N_y, N_z-компоненты вектора единичной нормали к поверхности в той же системе.

Заметим, что в связанной обращенной системы координат (в дальнейшем обозначим X"Y"Z") для представления компонент вектора скорости набегающего потока через углы атаки αи скольжения  βизвестные формулы:

где     - единичные орты системы X"Y"Z".Угловая скорость вращательного движения:

Добавочная скорость обращенного движения, индуцируемая в рассматриваемой точке А, равна векторному произведению:

Нормальная составляющая этой скорости определяется как ска­лярное произведение вектора (5) на вектор нормали:

где компоненты скорости получаются из раскрытия векторного произведения.

Заметим, что начало координат используемой системы может не совпадать с центром масс тела, относительно которого осуществляется вращение. Рассмотрим некоторую точку А, принадлежащую деформированному телу, с радиусом-вектором от начала координат до этой точки и точку центра масс тела с радиусом  . Тогда вектор, соединяющий точки А и центра масс и направленный к точке А, обозначим   , и подставим в вышеприведенную формулу:

Для определения аэродинамических коэффициентов рассмотрим силу, действующую на элемент поверхности и порождаемую нормальным давлением:

Выполняя интегрирование по поверхности для каждой из компонент и относя к характерной площади и скоростному напору согласно общим выражениям

имеем формулы для аэродинамических коэф­фициентов в некоторой системе координат XYZ:

где     N_x, N_y, N_z- проекции нормали на оси координат x,y,z;

            - местный коэффициент давления, действующий на данную площадку dS  и рассчитываемый по формуле (2);

q- скоростной напор.

Момент силы относительно центра O равен векторному произведению радиуса-вектора  , соединяющего этот центр с точкой приложения силы А на эту силу:

Рассматривая момент от элементарной силы dFи учитывая выражения компонент силы по осям координат₅после раскрытия опре­делителя формулы для  M_oимеем:

где .

Отсюда, используя формулы (3) имеем выражения для аэродинамических коэффициентов моментов:

Пределы интегрирования зависят в случае использования метода Ньютона от геометрии тела и параметров его движения. Чтобы установить их, надо исходить из особенностей обтекания тела "ньютоновым потоком": на его поверхности создается некоторая «затененная» зона, в которой не происходит удара частиц.

Граница этой области определяется кривой, на которой, как и всюду за ней, коэффициент давления равен нулю. Из выражения для коэффициента давления ясно, что уравнение границы:

откуда и определяют пределы интегрирования.

Очевидно, что важнейшей проблемой является оптимальное задание геометрии искривленного тела и определение основных геометрических соотношений и связи между используемыми системами координат.

Рассмотрим задачу в наиболее общей постановке. Пусть задано тело произвольной формы. Эту форму можно определить, задав некоторую ось тела, тогда в каждом сечении, перпендикулярном этой оси, точка поверхности определится с помощью угла и радиуса - переменного по оси тела и в общем случае зависящего от этого угла. Тем самым мы используем так называемую цилиндрическую систему координат.

Предположим, что в результате деформаций сечения тела остались плоскими с теми же переменными радиусами, а ось его приобрела некоторую криволинейную пространственную форму. Геометрию нового деформированного тела наиболее удобно задать в криволинейной системе координат, задание которой естественно связать с по­ложением в пространстве искривленной оси тела (рис. 1).

Рис. 1. Криволинейная система координат для искривленного тела

Уравнение линии в пространстве задается векторным уравнением:

где   X,Y,Z - могут быть заданы как функции некоторого параметра t- например длины дуги s, так что

Известно, что пространственная кривая имеет ряд важных геометрических характеристик, таких как: положение касательной, нормали и бинормали в данной точке кривой.

При параметрическом задании пространственной кривой имеем:

1) касательная к кривой - единичный вектор:

2)   единичный вектор главной нормали   кривой с радиусом кривизны R   и кривизной К = 1/R:

3)   бинормаль для правой тройки орт

Эти вектора удобно брать в качестве орт криволинейной системы координат, направление которых в общем случае переменно по длине тела.

Перечислим системы координат, которыми будем далее пользоваться (рис. 2).

Рис. 2. Системы координат, используемые при выводе формул для искривленного тела.

Основная система координат OXYZ- связанная. Своим началом имеет действительный центр масс тела или какую-либо другую точку (в этом случае осуществляется пересчет получаемых соотношений). Ее орты  ориентированы так, чтобы ось X была направлена к носку тела. Если тело имеет плоскость симметрии (в случае плоского искривления тела вращения), целесообразно в ней размещать оси OXOY. Используется также ряд вспомогательных систем координат. Система O"X"O"Y" имеет следующие свойства: начало координат расположено в произвольной точке, определяемой удобствами получения геометрических, инерционных и аэродинамических соотношений, например, в точке, где находился центр масс тела до деформации, или в сечении торцов. Орты этой системы  ориентированы так, что . Система  O₁X₁Y₁Z₁ является криволинейной. Ее начало - точка О₁ - совпадает с точкой O". Направления орт переменны по длине и выбраны:

 - по касательной к искривленной оси в данной точке;

- против главной нормали в данной точке;

- против бинормали (дополняет систему до правой)

Тогда связь между ортами  и  соответственно исходной (O"X"O"Y") декартовой и криволинейной (O₁X₁Y₁Z₁) систем координат будет определяться соотношением:

где   А - переходная матрица:

A(1,l)  - первая строка матрицы - направляющие косинусы для касательной - коэффициенты при ортах  в выражении для ;

A(2,l)  - вторая строка матрицы - направляющие косинусы для противонормали - коэффициенты при ортах  в выражении для  ;

A(3,l)  - третья строка матрицы - направляющие косинусы для противобинормали;  l= 1,2,3.

При этом связь между компонентами в указанных системах координат (O"X"O"Y") и (O₁X₁Y₁Z₁) задается соотношением:

где А - ортогональная матрица, поэтому А^-1 = А^T .

Для описания геометрии тела и после деформации удобно использовать цилиндрическую систему координат, только она также будет криволинейной: s,r,γпричем теперь s- расстояние по дуге искривленной оси.

Поясним выбор этой системы координат. Выберем некоторую точку "С" на произвольно искривленной оси.

Ее радиус-вектор относительно исходной точки начала координат системы (O"X"O"Y")  будет       и имеет компоненты в системе O"X"O"Y":  . В системе O₁X₁Y₁Z₁- криволинейной, с тем же началом координат компоненты этого вектора  . Проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную к касательной в этой точке оси. Так как положение касательной определяет положение орта    системы O₁X₁Y₁Z₁, то в указанной плоскости сечения будут находиться орты  этой системы. Принимая гипотезу плоских сечений, получаем, что в рассматриваемой плоскости контур тела после искривления не изменится и определится зависимостью r=f(s,γ), где s - текущая координата по длине недеформированного тела или длина дуги искривленного тела, γ- текущий угол, характеризующий положение точки на контуре в рассматриваемом сечении; r - радиус точки, т.е. расстояние от оси до этой точки в рассматриваемой плоскости (перпендикулярной оси). Для тела вращения   r=f(s)- радиус не зависит от угловой координаты; для цилиндра  r=const.  Орты    могут быть приняты в качестве орт вспомогательной системы  CY'₁Z'₁, расположенной в плоскости сечения, перпендикулярном оси в данной точке С и имеющей эту точку своим началом. При этом точка на контуре будет характеризоваться радиусом-вектором    с модулем, определяемым по формуле, приведенной выше; начало его - точка С, компоненты  y'₁, z'₁  - соответственно по ортам  .

Положение точки на контуре, принадлежащем поверхности искривленного тела относительно точки O будет характеризоваться радиусом - вектором  ,  складывающимся из суммы двух векторов:

Отсюда, окончательно координаты точки на поверхности произвольного искривленного тела

причем    , где   r=f(s,γ). С учетом переходных формул (15):

Заметим, что элементы матрицы А (см.14) всецело определяются формой  искривленной оси и изменяются в зависимости от , зависящих, как следует из выражения для уравнения пространственной кривой (10), от параметра - дуги  s,  так что матрица А - также функция этого параметра А = А( s );

Компоненты точки поверхности, как известно, могут быть представлены в общем виде:

В нашем случае u=s - длина дуги; v= γ - угловая координата, т.к.:

Таким образом, задание искривленной поверхности сводится к заданию координат искривленной оси как функций параметра дуги и закону изменения радиуса точки в плоскостях, перпендикулярных оси.

Как следует из формул расчета аэродинамических характеристик (7) и (8), одной из главных задач является определение выражения для компонент единичного вектора нормали к поверхности. Известно соотношение

где  …- функциональные определители:

Так как при описании поверхности пользуемся компонентами   x",y",z"   и неизвестными sи γ, необходимо получить производные типа .

Дифференцируя соотношения в матричном виде для   x",y",z"   (15) и переходя для удобства в систему X₁Y₁Z₁, получим:

где индекс ' показывает, что величины представлены в системе X₁Y₁Z₁.

Следует учесть, что dr/ds- это изменение радиуса тела по длине дуги s, то есть если r(s,γ)=r₁(s)r₂(γ), то dr/ds=r₂(γ)dr₁(s)/ds, причем для тела вращения r₂(γ)=1 и  r(s,γ)= r₁(s)=r(s); для цилиндра r =const  и   dr/ds=0.

Из указанных формул следует, что главной задачей при опреде­лении производных является определение матрицы производных dA^-1/ds=dA^T/ds. Заметим, что проще рассмотреть выражение dA/ds: dA/ds=[da_ij/ds], тогда:  

dA^T/ds=[da^T_ij/ds]=[ da_ij/ds]^T

Рассмотрим указанное выражение с геометрической точки зрения. Так как А - матрица направляющих косинусов, определяющих положение криволинейной системы  X₁Y₁Z₁  относительно базовой (декартовой) X"Y"Z",  которое изменяется вдоль дуги  s, то dA/ds - это приращение (изменение) положения направляющих косинусов вдоль дуги при приращении последней на величину ds. Так как в качестве подвижных орт криволинейной системы координат были выбраны орты, связанные с касательной,  нормалью и бинормалью для пространственной кривой оси (11)-(13), то для получения приращения dAможно воспользоваться известными формулами для изменения положения подвижного трехгранника, связанного с пространственной кривой (формулы Френе - Серре):

где   K, τ- кривизна и кручение пространственной кривой;

  - единичные вектора касательной, нормали и бинормали.

Gучетом определения матрицы А имеем:

Подставляя выражения для производных (18), получим

Следует подчеркнуть, что в указанном соотношении n_x ... b_z- компоненты нормали, касательной и бинормали в данной точке пространственной кривой - оси тела, выраженные в прямолинейной системе координат X"Y"Z". Итак, dА/ds выражается через ком­поненты матрицы А в данной точке оси, а также через значения кривизны ρ_k и кручения ρ_τ в данной точке, определяемые по формулам:

Для плоской кривой кручение τ=0, поэтому в случае выбора системы координат, ориентированной относительно плоскости изгиба, так что в последней лежат оси X"Y":

Транспонируя с учетом свойств ортогональности и разбивая на сумму двух матриц, получим окончательно для общего случая изгиба:

Заметим, что вектор первых членов при определении производных  есть не что иное, как выражение компонент касательной к искривленной оси в рассматриваемой точке, так что с учетом обозначений:

используя полученные выражения (19) и (20) для матриц А, иdА^-1/dsчерез компоненты σ_x…n_z, K, τ и проводя перемножения в соответствии со свойствами ортогональности ортонормированных базисных векторов, получим из (17)

Подставляя полученные соотношения в выражения для вектора нормали (16), получим компоненты нормали к поверхности тела с произвольно искривленной осью. После перехода в систему X₁Y₁Z₁:

В частном случае для цилиндра

Для элемента площади поверхности в точке (u,v ) известно соотношение:

В то же время для вектора нормали:

Сопоставляя, получим выражение для элементарной площади по­верхности произвольного искривленного тела:

Для искривленного цилиндра с произвольной осью:

С учетом переходных формул и взаимной ориентации систем XYZ и X"Y"Z" имеем также:

Укажем некоторые соотношения для скоростей. Cучетом формул (3) имеем

где С₁, С₂, С₃ - члены вектора С (компоненты скорости набегающего потока в местной системе координат), являющиеся функцией координаты x"или дуги s оси тела, так как А зависит от указанных величин» В этом выражении использовано представление скорости набегающего потока с помощью В - матрицы перехода от связанной к скорости системе координат

Компоненты вектора дополнительной скорости, возникающей при вращении тела, после раскрытия векторного произведения (5) и представления в матричной форме запишутся:

Последнее получено с учетом свойств транспонирования матриц.

Отметим некоторые особенности величин Δx_A, Δy_A, Δz_A. Как показали выше, координаты точки можно представить в виде суммы двух векторов. С учетом выражения для вектора относительного положения текущей точки (6) и центра вращения, компоненты которого рассматриваем, запишем

Тогда

В свою очередь вектор нормали можно представить в виде суммы двух векторов  , где  лежит в плоскости (  ), перпендикулярной оси в данной точке  по продолжению вектора ,  направлен параллельно орту  С учетом коллинеарности векторов и  окончательно

Для цилиндра вектор  направлен по радиус-вектору  , так что

Таким образом, можно рассматривать V_nωкак сумму двух составляющих - определяемой положением соответствующей точки С на оси относительно центра вращения и относительным положением точки C и точки на контуре. Компоненты вектора   запишутся в виде:

где  относительные координаты оси; -  координаты вектора , соединяющего точку на контуре и точку оси, представленные в системе XYZ.

Cучетом вышеизложенного

где D¹ - вектор, определяемый исключительно положением соответствующей проекции рассматриваемой точки на ось -точки С;

D²- вектор, определяемый относительным положением точки на поверхности А и ее проекции C.

Рассмотрим первую часть - вектор D¹. Перейдем от системы XYZ  к системе X"Y"Z".

Для случая плоского искривления оси

где   ε - угол наклона касательной к искривленной оси в данной точке:

Раскрывая вторую часть, получили

Вторую составляющую скорости можно также представить в виде:

где N_p  - вектор-столбец компонент вектора ;

;

 - строки транспониро­ванной матрицы А.

Используя выражения для нормальных составляющих скоростей относительного движения    V_n∞   (26) и    V_nω  (29), мож­но рассчитать в каждой точке поверхности коэффициент давления по (2). При этом предполагается,  что полностью определено по­ложение в пространстве искривленной оси: самое удобное - как функции дуги s , так что можно рассчитать члены переходной матрицы направляющих косинусов А(s), а также задано изменение радиуса тела  r(s,γ).

Разбив поверхность тела на ряд элементов: например по дуге s: Δs  и углу γ: Δγ, можно приближенно (численно) рассчитать интегралы (7), (8) - коэффициенты аэродинамических сил и моментов (в процессе интегрирования проверяются условия за­тенения и соответствующие участки либо не включаются в интеграл, либо давление в них принимается постоянным.

Выводы

Разработан эффективный матричный метод описания геометрии тел с произвольной искривленной осью, на основе которого создана общая методика расчета аэродинамических характеристик таких тел, использующая физическую гипотезу «ньютонова торможения». Указанный подход позволяет рассчитать не только аэродинамические, но и инерционные характеристики искривленных тел и может служить основой для формирования комбинированной методики деформированных тел с головной частью и оперением.

Список литературы

1. Романова И.К., Соловьев В.С. Исследование особенностей аэродинамики  искривленных тел // // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 11. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/249741.html (дата обращения 14.11.2012).

2. Аэродинамика ракет. В 2 кн. / под ред. М. Хемша, Дж. Нилсена; пер. с англ. под ред. А.Д. Хонькина. М.: Мир, 1989.Кн. 1 : Введение в аэродинамику ракет. 426 с.; Кн. 2 : Методы аэродинамического расчёта. 512 с.