Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Механические колебательные системы с поступательными движениями. Возможные формы сочленения звеньев

# 12, декабрь 2012
DOI: 10.7463/1212.0486791
Файл статьи: Елисеев_P.pdf (305.06Кб)
авторы: Директор НИИ Елисеев С. В., доцент Ермошенко Ю. В., Ситов И. С.

УДК 62.752

Россия, НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения.

eliseev_s@inbox.ru

ermosh_emf@irgups.ru

sitov@yandex.ru

 

Введение. В задачах виброзащиты и виброизоляции оборудования и машин, особенно на предварительной стадии оценки динамических свойств, возникает необходимость упрощения исходной расчетной схемы [1, 2]. В последние годы появился ряд работ, посвященных вопросам упрощения механических систем на основе правил преобразования структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления на основе понятий об обобщенных пружинах (или квазипружинах), например, [3], [4]. Определенными возможностями в этом направлении обладают и методы формирования сочленений [5, 6]. Возможности использования сочленений, твердых тел в механических колебательных системах, если сочленение имеет  вид вращательных шарниров, приведены в работах [7, 8]. Вместе с тем, определенный интерес представляют собой системы с элементами, совершающими поступательные вертикальные движения. Исследования показывают, что в таких системах также могут быть реализованы сочленения; чаще всего в таких ситуациях взаимодействующие между собой элементы при очень жесткой упругой связи объединяются в один блок. Такой подход  не  только упрощает исходную систему, но и уменьшает число степеней свободы движений, оставляя при этом возможности оценки легитимности упрощений.

I. Постановка задачи. Общие положения. В предлагаемой статье рассматриваются возможности выбора схем упрощения механической системы с тремя степенями свободы (рис 1). Выражения для кинетической и потенциальной энергии движения можно представить в виде:

,                                (1)

            (2)

где k1, k2, k3,k4, k5, k6 – соответствующие коэффициенты жесткости пружин, соединяющих массы m1 ÷ m3, каждая из которых может представлять собой объект защиты. В рассматриваемой системе (рис.1) имеются кинематические возмущения z1 и z2. При заданной схеме расположения упругих элементов система не может быть отнесена к непланарным системам [9]. Используя обычные приемы [1], получим систему дифференциальных уравнений движения в системе координат y1, y2, y3. В этом случае уравнения движения системы (рис.1) примут вид

                                 (3)

 

Рис. 1. Расчетная схема виброзащитной системы с тремя степенями свободы

 

 

Обозначим правые части уравнений (3) соответственно

, , .                                         (4)

II. Выбор координат относительного движения. Полагая, что свойства сочленения масс m1 и m2будут связаны с другой системой координат, введем соотношение

                                                              (5)

и перейдем  к системе y0, y1, y3. В этом случае выражения (1) и (2) преобразуются к виду

,                             (6)

  (7)

Используя (4) и (5), можно преобразовать систему уравнений движения к координатам y0, y1, y3, что позволяет получить

 (8)

В табл. 1 приведены коэффициенты уравнений (8) в унифицированной форме.

 

Табл. 1.

Значения коэффициентов системы уравнений (8) в координатахy0,y1,y3

 

 

Для системы координат  y0, y1, y3 обобщенные силы имеют вид

,,.                            (9)

При переходе от одной системы координат к другой обобщенные силы обычно определяются через соответствующее  равенство работ на виртуальных перемещениях  в двух сопоставимых системах координат. В данном случае, когда возмущение носит кинематический характер, обобщенные силы получаются одновременно в процессе вывода уравнений.

При сопоставлении математических моделей, отражаемых уравнениями (3) и (8), можно отметить, что диагональный член a11 содержит сумму масс m1 + m2. Изменились и перекрестные связи a12и a21 (табл. 1), которые в отличие от уравнений (3) приобретают не упругий, а инерционно-упругий характер. В частности при частоте внешнего воздействия

                                                                      (10)

возможна развязка движений между парциальными системами a11 и a22 (табл. 1).

III. Особенности различных систем координат. Для введения системы координат вида y1, y2, y00 принимается, что

.                                                       (11)

В этих координатах выражения для кинетической и потенциальной энергий системы (1) и (2), можно записать в виде

,                                       (12)

          (13)

откуда могут быть получены уравнения движения системы (рис.1) в системе координат y1, y2, y00. Соответствующие значения коэффициентов унифицированной системы уравнений приведены в табл. 2.

Табл. 2.

Значения коэффициентов системы уравнений в координатах y1, y2, y00

 

 

Обобщенные силы системы с координатами y1, y2, y00 имеют вид

, ,.                                (14)

По сравнению с традиционной системой координат y1, y2, yиз таблицы 2 можно установить, что парциальная система в матрице a22 имеет сумму масс m2 + m3. В свою очередь изменяются и формы связей a22 и a32, приобретая инерционно-упругий характер. При частоте  в данной системе происходит развязка движений между парциальными системами a22 и a23.

Для рассмотрения случая сочленения трех тел введем в рассмотрение систему обобщенных координат y1, y2, y000,

где         .                                                                (15)

В этом случае выражения для кинетической и потенциальной энергий  (1) и (2)  преобразуется к виду

,                      (16)

            (17)

В табл. 3 приведены значения коэффициентов унифицированной системы уравнений, которые могут быть получены способом, аналогичными выше приведенным.

Табл. 3

Значения коэффициентов уравнений движения в координатах y1,y2,y000

 

Обобщенные силы для системы с координатами y1, y2, y000 имеют вид

,,.                               (18)

Введение относительных координат  y1, y2, y000 позволяет получить соответствующие частные виды расчетных схем по отношению к исходной системе, приведенной на рис.1.

На рис. 2 (а, б, в) приведены соответствующие расчетные схемы. При этом при «обнулении» y0, y00, y000 соответствующим образом «обнуляются» столбцы и строки матрицы коэффициентов, что упрощает построение.

Рис. 2. Расчетные схемы для ВЗС с сочленениями:

а) y2  y­1 = 0 (y0 = 0);

б) y2  y­3 = 0 (y00 = 0);

в) y1  y­3 = 0 (y000 = 0)

 

IV. Структурные интерпретации систем. Сложные режимы.Структурные схемы эквивалентных в динамическом отношении САУ приведены на рис. 3 (а, б, в, г). Исходные данные для построения соответствующих структурных схем  могут быть взяты из табл. 1÷3. Структурная схема на рис. 3а отражает свойства исходной механической системы (рис. 1); в этой системе динамическое состояние описывается тремя координатами y1, y2, y3. Если предполагается возможность сочленения m1и m2, то структурная схема имеет вид, как показано на рис. 3б: в свою очередь, при сочленении m2 и m3 - имеем структурную схему на рис. 3в; при сочленении m1 и m3 - имеем соответственно структурную схему на рис. 3г. Отметим, что сочленения изменяют  структуру системы; при этом каждое сочленение устраняет одну степень свободы. Остающиеся динамические связи определяются матрицей коэффициентов после исключения соответствующих строки и столбца в таблицах 1÷3. Рассматривая «обнуление» движения ()  как сочленение, можно упростить расчетные схемы, представленные на рис.3(а, б, в, г), до системы с одной степенью свободы.

При развитии предлагаемого способа упрощения (или синтеза) систем, представляет интерес рассмотрение движения  в системе координат y1, y0, y00 (y0 = y2y1, y00 = y2y3). В этом случае выражения для кинетической и потенциальной энергий (1)  и (2) преобразуется к виду

,                 (19)

    (20)

Делая ряд преобразований, аналогичных выше приведенным, получим систему дифференциальных уравнений движения

           (21)

 

а)

б)

в)

 

Рис. 3. Структурные схема ВЗС для различных случаев сочленения при системе координат:
а)
y1, y2, y3 (сочленений нет); б) y1, y1, y(y0 = y2y1 = 0);  
в)
y1, y2, y00 (y00 = y2y3 =0); г) y1, y2, y000 (y000 = y1y3 =0)

 

Значения коэффициентов уравнений (21), приведенного к унифицированной форме представлены в табл.4.

 

  Табл.4.

 

Значения коэффициентов уравнений движения в координатах y1, y0, y00

 

Обобщенные силы системы с координатами y1, y0, y00 имеют вид

, ,  .                 (22)

Если полагать, что y0 = 0 и y00 = 0, то есть y1 = y2 = y3, то система примет вид, как показано на рис. 4 а, б.

 

 

Рис. 4. Расчетная схема исходной системы (рис. 1) для случая сочленения трех тел (а), структурная схема, соответствующая схеме с тремя сочленениями (б)

 

При двух сочленениях исходная система превращается в систему с одной степенью свободы, частота собственных колебаний которой определяется выражением

                                                           (23)

Для оценки возможностей использования сочленений, как способа изменения структуры и ее последующего упрощения, рассмотрим структурную схему эквивалентной в динамическом отношении САУ (рис. 5) в системе координат y1, y0, y00, что соответствует математической модели в виде системы уравнений (21). Для сравнения на рис.6 (а, б, в) приведены структурные схемы эквивалентных САУ для виброзащитных систем в координатах y1, y0, y3 (рис. 6а), координатах y1, y2, y00 (рис. 6б), координатах y1, y2, y000 (рис. 6в).

 

 

Рис. 5. Структурная схема эквивалентной САУ в системе координат ,,

 

 

Рис. 6. Структурные схемы для ВЗС (рис.3.4) в системах координат:
а)
y1, y0, y3 (y­0  0); б) y1, y2, y00 (y­00  0); в)y1, y2, y000 (y­000  0)

 

Отметим, что выбор системы обобщенных координат изменяет не только вид парциальных систем, но изменяет и перекрестные связи. В системе координат y1, y0, y3 (рис. 6а) между движениями по y1, y0возникает  инерционно-упругая связь, что предполагает возможность возникновения  режимов динамического гашения: это зависит от того, каковой, в конечном итоге, будет выбранная система внешних кинематических воздействий z1, z0. Между координатами y0, yсуществует упругая связь, определена упругим звеном k3. В системе координат y1, y2, y00 (рис. 6б) при тех же  внешних кинематических воздействиях между координатами y1, yсуществует упругая связь, а между y2, y00- инерционно-упругая связь, которая при определенной частоте «обнуляется», что исключает прямую связь движений между парциальными системами. Между координатами , ,  (рис. 6в) возникает система упругих перекрестных связей, что исключает появление режимов развязки колебаний между парциальными системами.

Заключение. Приведенное выше представляет собой, по-существу доказательство возможности формирования сочленения, путем соответствующего выбора системы координат. Последующие процедуры проводятся в формализованном порядке и обеспечивают получение соответствующей модели. Доказательная основа подхода, связана с переходом системы с большим числом степеней свободы к системе с меньшим числом степеней, что не затрагивает условия разрешимости уравнений. Получение математических моделей систем с сочленениями может быть получено, и физически это объяснимо, если параметры элементов, соединяющих определенные точки системы (упругие элементы и любые другие из расширенного набора типовых ВЗС) будут принимать предельные значения (или очень большие по сравнению с другими).

 

Список литературы            

 

1. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А.  Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. – Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. – 523 с.

2. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Сочленения звеньев в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы движения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.– Иркутск: ИрГУПС, 2010.– Вып. 4 (28).– С. 8-15.

3. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю. Обобщенная пружина в задачах динамики машин и оборудования // Збiрник наукових праць (галузеве машинобудування, будiвництво).– Полтава: ПолтНТУ им. Ю. Кондратюка, 2009. – Т.1, вып. 3 (25). – С. 79–89.

4. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е., Фомина И.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / ИрГУПС.– Иркутск, 2009. – 128 с. –  Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, №738-В 2009.

5. Насников Д.Н., Фомина И.В., Сигачев Н.П. Развитие подходов к упрощению расчетных схем механических колебательных систем // Информационные и математические технологии в науке и управлении: труды XVI Байкальской Всероссийской конференции с международным участием. Т. 2.– Иркутск, 2010.– С. 23–31.

6. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Транспортные подвески. Математические модели. Выбор систем координат // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.– Иркутск: ИрГУПС, 2011.–Вып. 2 (30).–  С. 8–18.

7.  Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Расширение теоремы о наложении связей для систем с сочленениями // Вестник Белорусского гос. университета. Наука и транспорт.– 2011.– № 1.–С. 89-93.

8. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями звеньев. Метод построения математических моделей // Повышение динамического качества подвижного состава и поезда : межвуз. cб. науч. трудов.– Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, 2011.– С. 6–26.

9. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Непланарность в структурных аналогах механических систем с межкоординатными связями // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.– Иркутск: ИрГУПС, 2011.– Вып. 4 (32). – С. 8–17.


Тематические рубрики:
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2023 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)